Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Я. С. КАЧАТКОЎ, К. С. КАЧАТКОВА
л
лгебра
і элементарныя
функцыі
Вучэбны дапаможнік для вучняў старэйшых класаў сярэдняй школы
Пад рэдакцыяй доктара фізікаматэматычных навук A. М. ГАЛАВІНА
Зацверджан
Міністэрствам асветы РСФСР
ВЫДАВЕЦТВА„НАРОДНАЯ АСВЕТА“ МІНСК 1967
Рукапіс гэтага вучэбнага дапаможніка (часткі I і П) быў у 1964 годзе ўдастоены 1й прэміі на адкрытым конкурсе падручнікаў па матэматыцы для сярэдняй школы, праведзеным Міністэрствам асветы РСФСР.
Пры падрыхтоўцы рукапісу да друку былі ўлічаны шматлікія заўвагі членаў журы конкурсу, а таксама пісьмы, прысланыя ў адрас выдавецтва і асабіста аўтарам.
Аўтары і рэдакцыя матэматыкі выдавецтва «Просвеіценне» прыносяць падзяку ўсім, хто сваімі заўвагамі садзейнічаў паляпшэнню дадзенага дапаможніка.
66—67М
Р а з д з е л I
ЛІНЕЙНЫЯ ЎРАЎНЕННІ I НЯР9ЎНАСЦІ
Вывучэнне алгебры і элементарных функцый мы пачынаем з разгляду лінейных ураўненняў і няроўнасцей. Гэта тэма знаёмая нам яшчэ па курсу VIII класа. Перш чым вывучыць яе больш глыбока, успомнім некаторыя ўжо вядомыя нам паняцці.
§ 1. Тоеснасці
У матэматыцы часта прыходзіцца мець справу з роўнасцямі, гэта значыць з такімі запісамі, у якіх два выразы злучаны знакам = (знакам роўнасці).
Перш за ўсё звернемся да лікаў. Калі a і b — лікі, то роўнасць
а—Ь
азначае, шта a і b — гэта проста адзін і той жа лік. Наадварот, калі a і b — розныя лікі, то пішуць
а^Ь.
Напрыклад,
* 2 = 2, 243 = 5, 23=І,
але
7^6, 743^0, 3—7^4.
Больш цяжкі выпадак, калі роўнасць змяшчае якіянебудзь літары, якімі звычайна мы абазначаем невядомыя велічыні. Раз
гледзім, напрыклад, такія роўнасці:
а44=5, (I)
а2+1 = 3, (2)
1 + / а =а, (3)
(а21) = (а+1)(а1), (4)
3
i i 1
a2—1 a + 1 a — Г
a2 — b2 a — b
= a + b.
(5)
(6)
Абедзве часткі роўнасці (1) маюць сэнс пры любых значэннях а. Гэта азначае, што, якое б лікавае значэнне мы ні надалі літары а, левая і правая часткі роўнасці (1) таксама прымуць некаторыя лікавыя значэнні.
Аналагічную ўласцівасць маюць таксама роўнасці (2) і (4). А вось з роўнасцямі (3), (5) і (6) атрымліваецца інакш.
Правая частка роўнасці (3) вызначана пры любых значэннях а, а левая — толькі пры неадмоўных значэннях а. (Успомніце: здабываць квадратныя корані можна толькі з дадатных лікаў і нуля.) Таму калі роўнасць (3) разглядаць цалкам, то трэба сказаць, што яна мае сэнс для ўсіх неадмоўных значэнняў а. Левая і правая часткі роўнасці (5) вызначаны толькі пры а^=\ і a=# — I. Калі ж a—1 або а— — 1, то ў назоўніках дробаў атрымліваюцца нулі, а дзяліць на нуль нельга. Таму роўнасць (5) мае сэнс пры ўсіх значэннях а, адрозных ад 1 і —1. Правая частка роўнасці (6) вызначана пры любых значэннях а і Ь, а левая частка толькі пры а=^Ь. Таму цалкам роўнасць (6) мае сэнс для любых не роўных адзін другому лікаў а і Ь.
Значэнні ўваходзячых у роўнасць літар, пры якіх маюць сэнс і левая і правая часткі гэтай роўнасці, называюцца дапушчальнымі значэннямі гэтых літар.
Так, дапушчальнымі значэннямі а ў роўнасцях (1), (2) і (4) будуць усе лікі, у роўнасці (3) —усе неадмоўныя лікі, у роўнасці (5) —усе лікі, акрамя 1 і —1. У роўнасці (6) дапушчальныя значэнні a і b складваюцца з разнастайных пар не роўных адзін другому лікаў.
Калі роўнасць змяшчае больш адной літары, то, кажучы аб дапушчальных значэннях гэтых літар, мы павінны мець на ўвазе адначасова кожную з гэтых літар. Напрыклад, можна сказаць, што пары лікаў (1, 2) і (—5, 6) з’яўляюцца дапушчальнымі, а пара (3, 3) — недапушчальнай для літар a і b у роўнасці (6).
Аднак не трэба гаварыць, што значэнне 1 з'яўляецца дапушчальным для літары а, гэтак жа як не трэба гаварыць і тое, што гэта значэнне не з’яўляецца дапушчальным для а. Усё ж залежыць яшчэ і ад таго, якое значэнне прымае пры гэтым літара Ь. Калі не толькі а, але і b роўна 1, то роўнасць (6) траціць сэнс; калі ж 6 ¥= 1, то пры с = 1 гэта роўнасць вызначана.
Хоць у роўнасці (1) дапушчальным з’яўляецца любы лік, левая і правая часткі гэтай роўнасці прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні толькі пры а—1, Пры ўсіх жа астатніх значэннях а левая частка гэтай роўнасці прымае лікавыя значэнні, адрозныя ад 5. Абедзве часткі роўнасці (2) не могуць прыняць аднолькавыя лікавыя значэнні ні пры якім значэнні а. Выраз жа
4
а2+1 прымае толькі дадатныя значэнні, а лік —3 з’яўляецца адмоўным. Прама процілеглую ўласцівасць мае роўнасць (4), Якое б значэнне мы ні надалі літары а, левая і правая часткі гэтай роўнасці прымуць аднолькавыя лікавыя значэнні. Аб роўнасці (5) гэтага сказаць нельга. Пры а=1 і а— — 1 гэта роўнасць наогул траціць сэнс, а ў такім выпадку нельга гаварыць аб тым, аднолькавыя ці неаднолькавыя лікавыя значэнні прымаюць яе асобныя часткі. Але лікі 1 і —1 не ўваходзяць у вобласць дапушчальных значэнняў а. Таму можна сказаць, што абедзве часткі роўнасці (5) прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні пры любым дапушчальным значэнні а. Аналагічна трэба сказаць і аб роўнасці (6). Абедзве яе часткі прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні пры любых дапушчальн ы х значэннях а і Ь.
Роўнасць, абедзве часткі якой прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні пры любых дапушчальных значэннях уваходзячых у яе літар, называецца тоеснасцю.
Да тоеснасцей адносяцца, напрыклад, роўнасці (4), (5) і (6). Што ж датычыцца роўнасцей (1), (2) і (3), то іх аднесці да тоеснасцей, відавочна, нельга.
Уяўляецца зусім натуральным патрабаваць, каб паняцце тоеснасці задавальняла наступнай важнай умове, якая называецца ўмовай транзітыўнасці:
калі роўнасці A = В і В = С з'яўляюцца тоеснасцямі, то і роўнасць A = С з'яўляецца тоеснасцю.
Можна, аднак, паказаць, што ўведзенае намі азначэнне тоеснасці гэтаму патрабаванню задавальняе не заўсёды. Сапраўды, роўнасці
|а| = (/Г)2, (7)
(/а)2 = а ' (8)
у сэнсе нашага азначэння з’яўляюцца тогснаснямі. Кожная з іх мае дапушчальнымі значэннямі ўсе неадмоўныя значэнні а. Аднак роўнасць
|а| = « (9)
мае дапушчальнымі значэннямі ўжо ўсе значэнні а (дадатныя, адмоўныя і нуль), а справядлівая яна толькі для неадмоўных значэнняў а. Значыць, у сэнсе ўведзенага намі азначэння роўнасць (9) не з’яўляецца тоеснасцю.
Высвятленне таго, калі такія непрыемнасці могуць узнікнуць і калі яны на ўзнікаюць, выходзіць за межы ( нашай праграмы і таму не можа быць тут правгдзена. Каб пазбегнуць гэтай непрыемнасці, робяць так. Замест таго каб гаварыць аб тоеснасцях як роўнасцях, справядлівых для ў с і х дапушчальных значэнняў уваходзячай у іх літары а, гавораць аб тоеснасцях, якія маюць месца для якогасьці зададзенага мноства значэнняў а. Тады калі роўнасці A = В [ В — С з’яўляюцца тоеснасцямі на адным і тым жа мностве значэнняў а, то для тых жа значэнняў а будзе тоеснасцю і роўнасць A = С.
Практыкаванні
Для кожнай з дадзеных лікавых роўнасцей (№ 1 —10) высветліць, пры якіх значэннях уваходзячых у іх літар вызначаны:
а) левая частка роўнасці;
б) правая частка роўнасці;
в) роўнасць цалкам.
5
3.
4.
1 1 +2а
“X
4. '.^ ^ХЗ
= зй
с2— с
61 3
7' a2+V
С^в^
8. ab = j—
a2 + b2
9. —
41V ' 10'2^
a + 1 , a2 — a ‘ n > / <д x< іжьіце, што роунасць 2—
еснасцю.
12. Ці можна сказаць, што роўнасці:
й + 2
a2 — a + 1 a3 4 1 '
'62+&+6
1
'П2Н4 8 %%'
<а—4 не з’яўляецца то
а) a3 —63 (a — b) (a2 + ab + b1)’’ t/U
6) a3 + 63 = (a + 6) (a2 — ab ^ 62); ^ ^, >
B у X H7= = ■ ' .
Vx Ух^
выконваюцца пры л ю б ы x значэннях уваходзячых у іх літар? Ці з’яўляюцца гэтыя роўнасці тоеснасцямі?
§ 2. Ураўненні
У папярэднім параграфе ўсе роўнасці, якія змяшчаюць літару, мы разбілі на два класы. Да аднаго класа былі аднесены тоеснасці, гэта значыць такія роўнасці, абедзве часткі якіх прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні пры любых дапушчальных значэннях літары. Прыкладам такіх роўнасцей могуць служыць роўнасці
a2l =(a+1)(а1), L.—* a2— 1 a + 1 a — 1
Да другога класа мы аднеслі ўсе тыя роўнасці, абедзве часткі якіх прымаюць розныя лікавыя значэнні хоць бы пры адным дапушчальным значэнні літары. Да іх адносяцца, напрыклад, роўнаеці:
a + 4 = 5, a2 + 1 = — 3.
Аднак да вывучэння роўнасцей можна падысці і паіншаму. Практыка часта ставіць перад намі задачу высветліць, п р ы я к і х дапушчальных значэннях літары (або некалькіх літар)
6
абедзве часткі той ці іншай роўнасці прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні. На роўнасць у гэтым выпадку мы глядзім як на ўраўненне адносна дадзенай невядомай велічыні.
Так, калі роўнасць
а + 4 = 5 (1) разглядаць як ураўненне адносна велічыні а, то лёгка здагадацца, што абедзве яго часткі прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні толькі пры а=1. Сапраўды, калі а=1, то а+4=5; калі ж а^=\, то аф4#=5. Лік 1 называецца коранем ураўнення (1).
Наогул, коранем ураўнення адносна адной невядомай велічыні называецца кожнае лікавае значэнне гэтай велічыні, пры якім абедзве часткі ўраўнення прымаюць аднолькавыя лікавыя значэнні.
Тое ж самае азначэнне інакш фармулююць наступным чынам: коранем ураўнення адносна адной невядомай велічыні называецца такое значэнне гэтай велічыні, пры якім ураўненне ператвараецца ў лікавую роўнасць (або якое задавальняе дадзенаму ўраўненню).
Вышэй мы прывялі ўраўненне (а+4=5), якое мае толькі адзін корань. Існуюць ураўненні, якія маюць больш аднаго кораня. Напрыклад, ураўненне а2=1 мае два корані: 1 і —1; ураўненне а+2 —24~а мае бясконца многа кораняў: кожны лік з'яўляецца яго коранем (у гэтым выпадку ўраўненне з’яўляецца тоеснасцю). Нарэшце, можна назваць і такія ўраўненні, якія зусім не маюць кораняў. Прыкладам можа служыць хоць бы ўраўненне а2+1 = —3.
Рашыць ураўненне — гэта значыць:
1) высветліць, ці мае яно корані, і
2) калі мае, то знайсці кожны з іх.
Адзначым (хоць гэта і неістотна), шго ў роўнасцях, якія разглядаюцца як ураўненні, невядомыя велічыні звычайна абазначаюцца не пачатковымі літарамі лацінскага алфавіта (а, Ь, с, ...), a канечнымі літарамі (х, у, z), Напрыклад, замест а|4 = 5 пішуць х+4 = 5; замест а241 = —3 пішуць х2+1 = —3 і г. д.
Два ўраўненні адносна адной і той жа невядомай велічыні называюцца эквівалентнымі (або раўназначнымі), калі кожны корань першага ўраўнення з’яўляецца разам з тым і коранем другога ўраўнення, а кожны корань другога ўраўнення з’яўляецца разам з тым і коранем першага ўраўнення.
КНІГІ ОНЛАЙН
