КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

41.	Есць лом сталі двух сартоў са змяшчальнасцю нікелю Ў Р% і ў 7% (P^q). Колькі трэба ўзяць лому аднаго і другога сорту, каб атрымаць 100 т сталі са змяшчальнасцю нікелю ў г%?
§ 5.	Графічны спосаб рашэння ўраўнення тх = п
Ураўненне выгляду тх=п, да якога зводзіцца любое лінейнае ўраўненне, можа быць лёгка рэшана графічна. На адным і тым жа рысунку пабудуем графікі дзвюх функцый у—тх і у=п. Калі гэтыя графікі перасякуцца, то абсцыса пункта перасячэння і дасць нам корань ураўнення тх—п.
Калі ж гэтыя графікі не перасякуцца, то гэта будзе азначаць, што ўраўненне не мае кораняў.
Разгледзім асобна тры выпадкі.
15
1.	т^О. У гэтым выпадку графікам функцыі у=тх будзе прамая, нахіленая да восі х пад некаторым вуглом ф (рыс. 12). Графікам функцыі у—п з’яўляецца прамая, паралельная восі х. Такія дзве прамыя заўсёды перасякаюцца і прытым толькі ў адным пункце (на рысунку 12 — пункт М). Абсцыса пункта пеп . „
расячэння, —, 1 есць корань ураўнення тх—п.
2,	т=0, п^О, У гэтым выпадку прамая у=тх зліваецца
У,
Цп (п.о) у=тх (то)
0
Рыс. 14,
з воссю х, а прамая у — п паралельная восі х (рыс. 13). Прамыя у=тх і у—п аказваюцца паралелыіымі; пункта перасячэння такіх прамых не існуе. Таму не існуе 1 кораняў ураўнення тх—п.
3.	т=п=0. У гэтым выпадку прамыя у=тх і у = п супадаюць, зліваючыся з воссю х (рыс. 14). Аб такіх прамых можна сказаць, што яны перасякаюцца ў кожным пункце.восі х. Таму ў дадзеным выпадку любы лік з’яўляецца коранем ураўнення тх—п.
Практыкаванні
Рашыць графічна дадзеныя ўраўненні:
42.	2х=4.	46.	—0,8х=0.
43.	Зх=0.	47.	2х=7.
44.	4х=—4.	48.	Зх—х—Зх—2.
45.	0,5х=1,5.	49.	х=2хр2.
§ 6. Ураўненні, якія зводзяцца да лінейных
Да торых
рашэння лінейных ураўненняў зводзіцца рашэнне і некаіншых ураўненняў.
Растлумачым гэта на прыкладзе ўраўнення тфх _____________________т п\х п ’
(1)
дзе т і «  зададзеныя лікі, а х — невядомая велічыня. Гэта ўраўненне нельга назваць лінейным, паколькі яго левая частка не з’яўляецца лінейнай функцыяй адносна х. Але такое ўраўненне лёгка зводзіцца да лінейнага. Перш за ўсё заўважым, што п#=0, інакш правая частка дадзенага ўраўнення не мела б сэнсу.
а с
Цяпер выкарыстаем уласцівасць прапорцын: калі у = то
16
ad=bc. Ужываючы гэту ўласцівасць прапорцый да роўнасці (1), атрымліваем
(т\х)п = (п\х)т, адкуль
тп\пх=пт\тх, або
(п—т)х—0,	(2)
Такім чынам, зыходзячы з нелінейнага ўраўнення (1), мы прыйшлі да лінейнага ўраўнення (2). 3 яго атрымліваем: калі т=/=п, то х = 0; калі ж т—п, то х — любы лік.
He будзем спяшацца з адказам. Пераход ад ураўнення (1) да ўраўнення (2) фактычна звёўся да таго, што абедзве часткі ўраўнення (1) мы памножылі на выраз п(п+х). Але ў такім выпадку ўраўненне (2) можа аказацца і неэквівалентным ураўненню (1). Відавочна, што страціць корані пры пераходзе ад (1) да (2) мы не маглі (дакажыце гэта!). Але, хто ведае, можа мы атрымалі пабочныя корані? Вось чаму цяпер неабходна зрабіць праверку атрыманых кораняў.
Спачатку праверым корань х = 0, атрыманы з ураўнення (2) у дапушчэнні, што т^п. Калі ва ўраўненні (1) узяць х=0, то атрымаем — = —. Значыць, пры т=^п і пУ=0 х=0 — сапраўды корань ураўнення (1). Цяпер праверым, ці будзе любы лік пры т = п=£0 коранем ураўнення (1). Пры т=п гэта ўраўненне прымае выгляд
Любы лік, акрамя —п, задавальняе ўраўненню (3) і, значыць, з’яўляецца яго коранем. Але х=—п нельга лічыць коранем гэтага ўраўнення, паколькі пры х=—п левая частка роўнасці (3) не вызначана. Такім чынам, пры т=п^0 коранем ураўнення (1) з’яўляецца не любы лік, як гэта было для ўраўнення (2), а толькі любы лік, адрозны ад —п.
Цяпер можна даць адказ: калі n^O і т^п, то ўраўненне (1) мае адзіны корань х=0; калі ж m = n^0, то коранем яго з’яўляецца любы лік, акрамя —п.
Практыкаванні
Дадзеныя ўраўненні (№ 50—58) a, b, tn [ п зададзенымі.
5LJ=3
рашыць адносна х, лічачы
_ х+5
= х^9‘
17
* — 5 _ a— x Г+7 ~
ct _______x| 1
' x — 2 — x2—4’
54*.
a
b
l—bx 1—ax
l—bx 55*. a =
\\bx
56.
57.
4 (x2 — b) _ 2x 2x 2bx—b—2x+l ~ b—\	2x—Г
a 2a
x—a x—2a
m n	m2—n2
58*.= . —;.'
x—m x—n x2— {m{n)x\mn
59.	Ураўненне ax—b _________________________ ax\b
рашыць:
a) адносна a; б) адносна b, в) адносна x.
§ 7. Ураўненні, якія змяшчаюць невядомае пад знакам абсалютнай велічыні
Абсалютная велічыня ліку a наступным чынам:
(абазначаецца |а|) вызначаецца
калі a > 0;
калі a < 0;
калі a = 0.
Напрыклад, | 101 = 10; IL | = ^ . | — Ю0 | = 100 і г. д.
Кожнаму значэнню х адпавядае зусім пэўнае значэнне |х|. Таму роўнасць у=\х\ вызначае у як некаторую функцыю аргумента х. Графік гэтай функцыі дадзен на рысунку 15. Пры х>0 |х| =х, а пры х<0 |х| =—х, таму лінія у— |х| пры х>0 супадае з прамой у—х (бісектрыса 1га каардынатнага вугла), а пры х<0 — з прамой у=—х (бісектрыса 2га каардынатнага вугла).
Некаторыя ўраўнеяні змяшчаюць невядомае пад знакам абсалютнай велічыні. Да іх адносяцца, напрыклад, ураўненні [х—1|—2, |6—2х|—Зх+1 і г. д. Рашэнне іх заснавана на тым, што налі абсалютная велічыня некаторага ліку х роўна дадатнаму ліку а, то сам гэты лік х роўны або а, або — а. Так, калі |х| = 10, то або х = 10, або х = — 10.
Разгледзім некалькі прыкладаў.
1.	Рашыць ураўненне |х—1|=2.
18
х—1 павінна быць роўна або +2, або —2. Калі х—1—2, то х=3; калі ж х—1=—2, то х= —1. Праверка паказвае, што абодва гэтыя значэнні задавальняюць дадзенаму ўраўненню.
А д к а з. Дадзенае ўраўненне мае два корані: х1 = 3, х2= —1.
2.	Рашыць ураўненне |6—2х| =3х|1.
Маем: або 62х=3х+1, або 62х=(3x41). У першым выпадку х=1, а ў другім х=—7.
Рыс. 15.	Рыс. 16.
П р а в е р к а. Пры х=1|6—2х| = |4|—4, Зх+1—4; значыць, х=1 —корань дадзенага ўраўнення. Пры х=—7 |6—2х| = |20| =20, 3x41=—20; паколькі 20^=—20, то х = —7 не ёсць корань дадзенага ўраўнення.'
А д к а з. Дадзенае ўраўненне мае адзін корань: х=1.
Падобныя ўраўненні можна рашаць і графічна. Рэшым, напрыклад, графічна ўраўненне |х—1|=2. Для гэтага трэба перш за ўсё пабудаваць графік функцыі у=|х—1|. Гэта можна зрабіць наступным чынам. Спачатку пабудуем графік функцыі у=х—1 (рыс. 16). Тую частку гэтага графіка, якая ляжыць вышэй восі х, пакінем без змянення. Для яе х —1>0 і таму |х—1|=Х—1. . „ .
Тую ж частку графіка, якая ляжыць ніжэй восі х, адаб ем сіметрычна адносна гэтай восі. Для гэтай жа часткі х —1 <0, і таму |х—11 = —(х—1). Атрыманая ў выніку лінія (рыс. 17, суцэльная лінія) і будзе графікам функцыі у=|х 1|. Гэта лі
19
нія перасякаецца з прамой у=2 (рыс. 18) у двух пунктах: Мі з абсцысай —1 і М2 з абсцысай 3. Таму ўраўненне |х—11 =2 мае два корані: хі —— 1, х2=3.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні:
60.	1 —|х|=0,5.
61.	1 + |х|=а.
62.	|1х|=0,5.
63.	|1х|=а.
64.	|х+3|=3+2х.
65.	|7х1|=219х.
66.	|5—xf=]*x+4|.
67.	|13х| = |32xJ.
68.	Пакажыце, што графік функцыі z/= |х—й| (а>0) атрымліваецца пры паралельным зрушэнні графіка функцыі у—\х\ на а адзінак даўжыні ўправа.
Як будуецца графік функцыі і/=|х+й|(а>0)?
69.	Выкарыстоўваючы рэзультат задачы 68, пабудаваць графікі наступных функцый:
а) і/=|х2|; б) z/=|x+3|.
70.	Як пабудаваць графік функцыі у—\ах\Ь\, калі зададзен графік функцыі у=ах{Ь?
71.	Ці можа графік функцыі у=ах\Ь супадаць з графікам функцыі у= \ах+Ь\?
72.	Рашыць графічна ўраўненні:
а) |2+х|=3; б) х=|2х|; в) |2х3|=3х.'
73.	Зыходзячы з геаметрычных меркаванняў, высветліць, ці могуць не мець кораняў наступныя ўраўненні:
а)	х=|«хф6|;	в) \ах\Ь\—с\
б)	|2х+&|=3;	г) |ах+й| = |rx+d|.
74.	Як пабудаваць графік функцыі у—а\х\{Ь, калі зададзен графік функцыі у=ах{Ь?
§ 8. Метад інтэрвалаў
Пры рашэнні некаторых ураўненняў, якія змяшчаюць невядомае пад зпакам абсалютнай велічыні, часта выкарыстоўваюць так званы метад ічтэрвалаў. Прадэманструем гэты метад на прыкладзе ўраўнення
|х+1 | + |х2| =3.	(1)
л	о	Гэта ўраўненне змяшчае дзве
________5_____________£_______ абсалютныя велічыні: |х+1| і |х — 21.
_/	2	Першая з іх ператвараецца ў нуль
пры х=—1, а другая—пры х = 2.
рыс 19	На лікавай прамой адзначым два
пункты: А з абсцысай 1 і В з абсцысай 2 (рыс. 19). Тым самым лікавая прамая разаб’ецца на тры інтэрвалы. Першы (бесканечны) інтэрвал уключае ў сябе ўсе пункты, якія ля20
жаць лявей А. Другі (канечны) інтэрвал змяшчае ў сабе пункты 4 і В, а таксама ўсе пункты, якія ляжаць паміж імі. Трэці (бесканечны) ішэрвал складаецца з усіх пунктаў, якія ляжаць правей В. У любым з гэтых трох інтэрвалаў кожны з выразаў |х + 1| і х— 2| лёгка запісваецца без знака абсалютнай велічыні. Так,
— х — 1 у першым інтэрвале;
х + 1 у другім і трэцім інтэрвалах.
— х + 2 у першым і ў другім інтэрвалах;
х — 2 у трэцім інтэрвале.
І* + 1| =
Аналагічна,
І*2| =
Таму левая частка ўраўнення (1) прадстаўляецца наступным чынам:
у першым інтэрвале (—х—1) + (—х+2) =—2х+1;
у другім інтэрвале (х+1) + (—х+2)=3;
у трэцім інтэрвале (x|l)|(x—2) =2х—1.
Цяпер няцяжка знайсці ўсе корані ўраўнення (1). Адразу ж заўважаем, што любы лік з другога інтэрвалу,
—1^х^2,
з’яўляецца коранем: бо пры любым значэнні х з гэтага інтэрвалу левая і правая часткі ўраўнення (1) прымаюць адно і тое ж лікавае значэнне 3.
Звернемся да першага інтэрвалу. Калі ў ім ёсць корані, то яны павінны, відавочна, супадаць з коранямі ўраўнення
—2х+1=3.
Гэта ўраўненне мае адзіны корань х=—1, які мы ўжо атрымалі раней і які, дарэчы, не пападае ў першы інтэрвал. (Значэнне х=—1 належыць другому інтэрвалу.) Такім чынам, у першым інтэрвале ўраўненне (1) не мае кораняў.
Аналагічна можна ўстанавіць, што ўраўненне (1) не мае кораняў і ў трэцім інтэрвале. Прапануем вучням пераканацца ў гэтым самастойна.
Такім чынам, ураўненне (1) мае бясконцае мноства кораняў. Кожны лік, заключаны ў інтэрвале
—1<х^2,
з'яўляецца яго коранем. Ніякіх іншых кораняў гэта ўраўненне не мае.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні:
75.	|х1| + |х+1|=2.
76.	|5—2х| + |х+3| =2—Зх.
77.	|х| + |х+2| + |2х|^х+1:
78.	|1х||х+ЗІ^|х+2|.
§ 9.	Няроўнасці
Калі а = Ь, то рознасць a—6 роўна нулю. Калі ж а^Ь, то рознасць а—Ь будзе або дадатная, аВо адмоўная.
Калі рознасць а—Ь дадатная, то кажуць, што лік а больш ліку Ь\ запісваецца гэта такім чынам:
a>b.	(1)
21
Калі рознасць a—b адмоўная, то кажуць, што лік а меній ліку Ь\ запісваецца гэта такім чынам: