Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Эквівалентнымі будуць, напрыклад, ураўненні х+4 = 5 і х—1=0, кожнае з якіх мае адзіны корань 1. Эквівалентнымі з’яўляюцца і ўраўненні х2=4 і 2х2=8. Кожнае з іх мае два корані: 2 і —2.
Ураўненні, якія не маюць кораняў, лічацца таксама эквівалентнымі (напрыклад, х2= —1 і х2|1 = —3).
7
Для рашэння ўраўненняў з’яўляюцца важнымі наступныя ўласцівасці эквівалентных ураўненняў, якія мы напамінаем вучням без доказу:
1. Калі абедзве часткі ўраўнення памножыць або падзяліць на адзін і той жа лік, адрозны ад нуля, то атрымаецца ўраўненне, эквівалентнае дадзенаму.
2. Калі якоенебудзь складаемае перанесці з адной часткі ўраўнення ў другую, памяняўшы пры гэтым яго знах на процілеглы, то атрымаецца ўраўненне, эквівалентнае дадзенаму.
Напрыклад, ва ўраўненні
2х—1 =5—х
— 1 можна перанесці з левай часікі ў правую, а —х, наадварот, з правай часткі ў левую. У выніку атрымаем
2х + х = 5 + 1, або
Зх = 6.
Відавочна, што адзіным коранем гэтага (а значыць, і зыходнага) ураўнення з’яўляецца лік 2.
Практыкаванні
13. Ці эквівалентныя ўраўненні:
aj 25х2=0 'і 5х=0;
б) 9х2=25 і Зх=5;' ^к
в) (2х1)2=1 і 2х1 = 1; /^1
г) х2=—3 і X—1=3; lain
£) х2+1=0 і х2+2 = 0? /ЛА^
14 *. Колькі кораняў мае н’аступнае ўраўненне адносна невядомай велічыні х:
(х — I)2 + (х — а)2 = 0?
^Zvcck ^ * у «^? у +шс< С< ^ ^ ^ с _
§ 3. Лінейныя функцыі і іх графікі
Разгледзім роўнасць j/ = 2x+l. (1)
Кожнаму значэнню літары х гэта роўнасць ставіць у адпаведнасць зусім пэўнае значэнне літары у. Калі, напрыклад х=0, то і/=20+1 = 1; калі х=10, to у=210+1 =21; пры х=2* 0), а на рысунку 2 — графік функцыі у = — 1 (6 < 0).
Калі не толькі а, але і b роўна нулю, то функцыя у=ах]Ь мае выгляд у=0. У гэтым выпадку яе графік супадае з воссю х (рыс. 3).
2. Графік функцыі у = ах. Пры Ь=0 лінейная функцыя у=ах+Ь мае выгляд у=ах. Калі аУ=0, то графікам яе з’яўляецца прамая, праходзячая праз пачатак каардынат і нахіленая да восі х пад вуглом <р, тангенс якога роўны а (рыс. 4), Для пабудавання прамой у=ах дастаткова знайсці якінебудзь адзін яе пункт, адрозны ад пачатку каардынат. Дапускаючы, напры
9
клад, у роўнасці у=ах х=1, атрымаем у=а. Значыць, пунктМ з каардынатамі (I; а) ляжыць на нашай прамой (рыс. 4). Праводзячы цяпер прамую праз пачатак каардынат і пункт М,
атрымліваем шукаемую прамую
у=ах.
У
0 у=і * 1
Рыс. 3.
Рыс. 2.
На рысунку 5 для прыкладу начэрчана прамая у—2х (а>0), а на рысунку 6 — прамая у——х (а<0).
3. Графік функцыі ^ — ах ^ Ь. Няхай & > 0. Тады прамая у = ах ^ Ь атрымліваецца пры паралельным зрушэнні прамой у = ах на b адзінак уверх. У якасці прыкладу на рысунку 7 па
казана пабудаванне прамой у
Рыс. 7.
10
Калі &<0, то прамая y—ax^b атрымліваецца пры паралельным зрушэнні прамой у — ах на b адзінак уніз. У якасці прыкладу на рысунку 8 паказана пабудаванне прамой У=^—3.
Прамую у—ах\Ь можна пабудаваць і іншым спосабам. Любая прамая цалкам вызначаецца дзвюма сваімі пунктамі. Таму для пабудавання графіка функцыі у=ах\Ь дастаткова знайсці якіянебудзь два яго пункты, а затым правесці праз іх прамую лінію. Растлумачым гэта на прыкладзе функцыі у— = 2x43. Пры х=0 у=3, а пры х=1 у=\. Таму два пункты: М з каардынатамі (0; 3) і ^ з каардынатамі (1; 1)—ляжаць на нашай прамой. Адзначыўшы гэтыя пункты на плоскасці каардынат і злучыўшы іх прамой лініяй (рыс. 9), атрымаем графік функцыі у=—2x43. Замест пунктаў М і N можна было б узяць, безумоўна, і іншыя два пункты. Напрыклад, у якасці значэнняў х
С
мы маглі б выбраць не 0 і 1, як вышэй; a — 1 і 2,5. Тады для у мы атрымалі б адпаведна значэнні 5 і —2. Замест пунктаў М і N мы мелі б пункты Р з каардынатамі (—1; 5) і Q з каардынатамі (2,5; —2). Гэтыя два пункты, гэтак жа як і пункты М і N, цалкам вызначаюць шукаемую прамую у=—2x43.
Практык аванні
15. На адным і тым жа рысунку пабудаваць графікі функцый:
а) у ——4; б) у = —2; в) у=0; г) у —2; д) у=4.
Ці перасякаюцца гэтыя графікі з восямі каардынат? Калі перасякаюцца, то ўкажыце каардынаты пунктаў перасячэння.
11
16. На адным i тым жа рысунку пабудаваць графікі функцый:
а) // = ^; б) «/ = ^; в) у = х; г) у = 2х; ц) у = 4х.
17. На адным і тым жа рысунку пабудаваць графікі функцый:
^) У = — ^ б) і/ = —у; в) у=~х г) «/ = —2х; д)у = —4х.
Пабудаваць графікі дадзеных функцый (№ 18—21) і вызначыць каардынаты пунктаў перасячэння гэтых графікаў з восямі каардынат.
18. у=3+х. 20. у=—4—х.
19. у=2х—2: 21. «/=0,5 (1—Зх).
22. Пабудаваць графік функцыі
у—2х—4;
скарыстаўшы гэты графік, высветліць:
а) пры якіх значэннях х «/=0;
б) пры якіх значэннях х значэнні у адмоўныя і пры якіх — дадатныя;
в) пры якіх значэннях х велічыні х і у маюць аднолькавыя знакі;
г) пры якіх значэннях х велічыні х і у маюць розныя знакі.
23. Напісаць ураўненні прамых, дадзеных на рысунках 10
24. Якія з вядомых вам фізічных законаў апісваюцца пры дапамозе лінейных функцый?
25. Як пабудаваць графік функцыі у= — (ах±Ь), калі зададзены графік функцыі у=ах\Ь?
12
§ 4. Лінейныя ўраўненні
Ураўненне называецца лінейным, калі левая і правая часткі яго з’яўляюцца лінейнымі функцыямі адносна невядомай велічыні.
Да такіх ураўненняў адносіцца, напрыклад, любое з ураўненняў:
2х—1=3х—5; 4х=6—7х; 8х—9 = 0.
Агульны выгляд лінейнага ўраўнення такі:
ax\b — cx\d, (1)
дзе a, b, с \ d — зададзеныя лікі, а х — невядомая велічыня.
Калі ва ўраўненні (1) каэфіцыенты а і с адрозныя адзін ад другога, то ўраўненне называецца таксама ўраўненнем 1й ступені. Так, кожнае з прыведзеных вышэй лінейных ураўненняў з’яўляецца разам з тым і ўраўненнем 1й ступені. Ураўненне 0х=1 (гэта таксама ўраўненне!) з’яўляецца лінейным, але нс з’яўляецца ўраўненнем 1й ступені. Відавочна, што кожнае ўраўненне 1й ступені можна назваць і лінейным ураўненнем. Аднак не кожнае лінейнае ўраўненне будзе ўраўненнем 1й ступені.
Як жа рашаюцца лінейныя ўраўненні?
Пераносячы сх з правай часткі ўраўнення (1) у левую, a b з левай часткі ў правую, атрымаем эквівалентнае ўраўненііе (а—c)x = d—b. Такім чынам, усякае лінейнае ўраўненне эквівалентна ўраўненню выгляду
тх=п, (2)
дзе tn і п — некаторыя зададзеныя лікі. Таму ў частцы гэтага параграфа, што засталася, гаворачы аб лінейных ураўненнях, мы заўсёды будзем мець на ўвазе ўраўненні выгляду (2).
Калі т#=0, то ўраўненне (2) мае, відавочна, адзін корань
Калі т —0, a п#=0, то ўраўненне (2) ператвараецца ў
0Х = П.
Такая роўнасць не можа выконвацца ні пры якіх значэннях х. Значыць, у гэтым выпадку ўраўненне (2) не мае кораняў.
Нарэшце, пры т—п=0 ураўненне (2) прымае выгляд 0х=0. Гэта роўнасць правільная пры любых значэннях х. Таму ў дадзеным выпадку ўраўненне (2) мае бясконцае мноства кораняў: любы лік з’яўляецца яго коранем,
П р ы к л а д ы.
1. Рашыць адносна х ураўненне
ах— \ —хф2.
13
Пераносячы х у левую, a — 1 у правую частку і прыводзячы падобныя члены, атрымліваем
(а—1)х=3.
3 „ .
Калі а#=1, то ўраўненне мае адзіны корань х= а_^ . Калі ж
а=1, то ўраўненне прымае выгляд 0х=3. Такое ўраўненне не мае кораняў.
Адказ. Пры а^\ дадзенае ўраўненне мае адзіны корань
3 a—1
а пры а=1 кораняў не мае.
2. Рашыць адносна
х ураўненне a—х= 1—а2х.
Пераносячы а2х у левую, a а ў правую частку і прыводзячы падобныя члены, атрымліваем
(a2—1)х= 1—a.
Калі а21#=0, гэта значыць а=^= 1 і a#= —1, то
1a 1
а21 “ а+1 '
Калі а=1, то ўраўненне, якое разглядаецца, зводзіцца да
такога:
0х=0.
У гэтым выпадку любы лік з’яўляецца яго коранем. Нарэшце, пры а— — 1 атрымліваем
0х = 2.
Такая роўнасць не выконваецца ні пры якіх значэннях х.
Адказ. Калі а#=1 і аУ= —1, то дадзенае ўраўненне мае
адзіны корань х——
——; пры а=1 яго коранем з’яўляецца
(2 *
любы лік, а пры a—— 1 ураўненне наогул не мае кораняў.
Практыкавакні
Дадзеныя ўраўненні (№ 26—35) рашыць адносна х.
26. 3x41= a.
27 54x=ax.
28. 4 = ax.
29. х=а2х.
30. ax—а2=4—2х.
31. а4х = а2х—1.
32. ах—Ь — 1\х.
33. х—Ь—а2х.
34. ах—Ь2=7.
35. 3—а2х=х—Ь.
14
36. Ці можа ўраўненне тх—п мець:
а) роўна адзін корань;
б) роўна два розныя корані;
в) роўна 1 000 000 розных кораняў;
г) бясконца многа розных кораняў?
37. Ці можа ўраўненне йх=1+&2 мець бясконца многа розных кораняў?
38. Ці можа ўраўненне (а—1)х=а2—За+2 не мець кораняў?
39. Бацьку 45 год, а яго сыну 15. Праз колькі год бацька будзе старэйшым за сына:
а) у два разы;
б) у чатыры разы?
Як можна растлумачыць адмоўны корань ураўнення, атрыманы пры рашэнні задачы 396?
40. 3 пунктаў A і В адпраўляюцца насустрач адзін другому адначасова два пешаходы. Першы ідзе са скорасцю th км/гадз, а другі — са скорасцю u2 км/гадз (^і#=^2). Праз некаторы час яны адначасова змяняюць свае скорасці: першы пешаход ідзе са скорасцю u2 км/гадз, а другі — са скорасцю th км/гадз. Сустрэча пешаходаў адбываецца праз гадзіну пасля таго, як яны змянілі свае скорасці, у пункце, роўнааддаленым ад Д і В. Які час знаходзіліся пешаходы ў дарозе?
КНІГІ ОНЛАЙН
