Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
150. Вядома, што з дакладнасцю да 0,01 a«—3,05; 6«3,01.
Знайсці набліжаныя значэнні выразаў:
a) 2а+76; б) За—56; в) —а—46.
Вызначыць дакладнасць атрыманых набліжэнняў.
151. Лікі а і 6 зададзены з аднолькавай дакладнасцю е. Якім павінна быць е, каб з дакладнасцю да 0,001 можна было знайсці:
а) а+6; б) а—Ь; в) a—106?
§ 20. Эквівалентныя няроўнасці і іх уласцівасці
Да гэтага часу мы разглядалі тоесныя няроўнасці, гэта значыць такія няроўнасці, якія выконваюцца (ператвараюцца ў лікавыя няроўнасці) пры ўсіх дапушчальных значэннях уваходзячых у іх літар. Да такіх адносяцца, напрыклад, няроўнасці:
a + 1 > a, a2 > 0, а ^— > / ab.
40
Цяпер мы пераходзім да вывучэння няроўнасцей, якія выконваюцца не пры ўсіх, а толькі пры некаторых (а магчыма, і ні пры якіх!) дапушчальных значэннях літар. Прыкладам такой няроўнасці можа служыць няроўнасць
2х>0.
Яна выконваецца пры любых дадатных значэннях х, хоць дапушчальнымі значэннямі х з’яўляюцца ўсе лікі, у тым ліку і адмоўныя,
Рашыць няроўнасць, якая змяшчае невядомую велічыню,— гэта значыць знайсці ўсе значэнні гэтай невядомай велічыні, пры якіх дадзеная няроўнасць выконваецца.
Падобна да рашэння ўраўненняў, рашэнне няроўнасцей звычайна праводзіцца шляхам звядзення іх да больш простых эквівалентных (або раўназначных) няроўнасцей.
Дзве няроўнасці, якія змяшчаюць адну і тую ж невядомую велічыню, называюцца эквівалентнымі (або раўназначнымі), калі яны выконваюцца пры адных і тых жа значэннях гэтай велічыні.
Прыкладам эквівалентных няроўнасцей могуць служыць няроўнасці 2х>0 і —Зх<0, справядлівыя пры ўсіх дадатных значэннях х. Няроўнасці х>0 і х2>0 не эквівалентны, паколькі першая з іх правільная толькі пры дадатных значэннях х, а другая — як пры дадатных, так і пры адмоўных значэннях х.
Няроўнасці, кожная з якіх не выконваецца ні пры якіх значэннях невядомай велічыні, таксама лічацца эквівалентнымі. Прыкладам такіх няроўнасцей могуць служыць няроўнасці
х2<1 і _(5х4+3)>0.
Эквівалентныя няроўнасці маюць рад важных уласцівасцей, якія мы прыводзім без доказу.
Уласцівасць 1. Калі да абедзвюх частак няроўнасці дадаць або ад абедзвюх частак адняць лік або выраз, вызначаны для ўсіх значэнняў невядомай велічыні, то атрымаецца няроўнасць, эквівалентная дадзенай.
Прыклады. 1. Калі да абедзвюх частак няроўнасці х>2—х дадаць лік —2, то ў рэзультаце атрымаецца няроўнасць х—2>—х. Гэта няроўнасць, як пацвярджае ўласцівасць 1, павінна быць эквівалентна дадзенай няроўнасці х>2—х.
2. Дададзім да кожнай часткі няроўнасці — < 1 выраз
1 х
.2_і , • У рэзультаце атрымаем
41
Выраз маная
вызначаны пры ўсіх значэннях х. Значыць, атры х2+1।
няроўнасць эквівалентна дадзенай няроўнасці — <1.
Істотнай умовай у 1й уласцівасці эквівалентных няроўнасцей з’яўляецца тое, што выраз, які мы дадаём да кожнай часткі зыходнай няроўнасці, павінен быць вызначаны для ўсіх значэнняў невядомай велічыні. Калі гэта ўмова не выканана, то дадзеная і атрыманая з яе няроўнасці могуць аказацца і не эквівалентнымі. Растлумачым гэта на наступным прыкладзе. Дадаўшы да абедзвюх частак няроўнасці х>0 выраз _у> мы атрымаем няроўнасць
/ х+ —.
X—1 х—1
Зыходная няроўнасць правільная пры ўсіх дадатных значэннях х і, у прыватнасці, пры х=1. Атрыманая ж няроўнасць пры х—1 не мае сэнсу. Таму пры х=1 яна выконвацца не можа. Такім чынам, разглядаемыя няроўнасці не эквівалентны.
3 1й уласцівасці эквівалентных няроўнасцей можна зрабіць важны для далейшага вынік. Лю5ое складаемае, вызначанае для ўсіх значэнняў невядомай велічыні, можна перанесці з адной часткі няроўнасці ў дрўгую, памяняўшы знак гэтага складаемага на процілеглы.
Сапраўды, няхай дадзена няроўнасць
P(x)+Q(x)>R(x), (1)
дзе Р(х), Q(x) і R(x) уяўляюць сабой некаторыя выразы, якія залежаць ад х, прычым Q(x) вызначана для любых значэнняў х. Нам трэба даказаць, што такая няроўнасць эквівалентна няроўнасці
P(x)>R(x)Q(x). (2)
Доказ гэтага факта вельмі просты: няроўнасць (2) атрымліваецца, калі ад абедзвюх частак няроўнасці (1) адняць Q(x).
Прыклад. Няхай дадзена няроўнасць Зх|1<2—х. Перанёсшы —х з правай часткі ў левую, a 1, наадварот, з левай часткі ў правую, атрымаем
Зх+х<2—1, або
4х<1.
Апошняя няроўнасць выконваецца, відавочна, пры ўсіх значэннях х, меншых . Пры гэтых жа значэннях х павінна, значыць, выконвацца і дадзеная няроўнасць Зх+К2—х.
42
Наогул можна даказаць, што пераносіць з адной часткі няроўнасці ў другую можна любое складаемае. Напрыклад, складаемае — д у няроўнасці
1 1
х—1 > 1
можна перанесці з левай часткі ў правую. У выніку такога пераўтварэння атрымаецца няроўнасць
1 1
х> х 1 х—1'
эквівалентная дадзенай (абедзве няроўнасці выконваюцца пры ўсіх дадатных значэннях х, акрамя 1). А вось такое простае пераўтварэнне, як прывядзенне падобных членаў, патрабуе большай асцярожнасці. Так, калі б мы ў правай частцы апошняй няроўнасці прывялі падобныя члены, то атрымалі б няроўнасць
х>0, якая ўжо не эквівалентна зыходнай няроўнасці.
Уласцівасць 2. Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на дадатны лік або выраз, які прымае толькі дадатнае значэнне і вызначаны для ўсіх значэнняў невядомай велічыні, то атрымаецца няроўнасць, эквіваленпгная дадзенай.
П р ы к л а д ы. 1) Калі абедзве часткі няроўнасці х>2—х памножыць на дадатны лік 3, то атрымаецца няроўнасць Зх>6—Зх, эквівалентная дадзенай.
2) Выраз х2+1 прымае толькі дадатныя значэнні і вызначаны для ўсіх значэнняў х. Таму няроўнасць х<1 эквівалентна няроўнасці
х(х2+1) <х2+1, або
х3+х<х2+1.
Трэба асоба падкрэсліць, што той выраз, на які мы памнажаем абедзве часткі зыходнай няроўнасці, павінен задавальняць двум патрабаванням:
а) ён абавязан прымаць толькі дадатныя значэнні і
б) быць пэўным для ўсіх значэнняў невядомай велічыні.
Калі хаця б адно з гэтых патрабаванняў не задавальняецца, то зыходная і атрыманая з яго няроўнасці могуць аказацца і неэквівалентнымі. Растлумачым гэта на наступных прыкладах.
1) Няроўнасць х>0 выконваецца толькі для дадатных значэнняў х. Памножыўшы яе пачленна на х, мы атрымаем няроўнасць х2>0. Яна правільная як для дадатных, так і для адмоўных значэнняў х. Неадпаведнасць гэтага рэзультату з уласцівасцю 2 лёгка растлумачыць. Выраз жа х, на які мы памножылі абедзве часткі зыходнай няроўнасці х>0, прымае як дадатныя, так і адмоўныя значэнні. А на гэты выпадак уласцівасць 2 не дае ніякіх гарантый.
43
2) Памножыўшы няроўнасць х>0 на выраз
атрымаем няроўнасць
х
Ф
Прапануем
(х1)2’ мы вучням сама
стойна паказаць, што гэта няроўнасць не эквівалентна дадзенай, і растлумачыць, чаму 2я ўласцівасць эквівалентных няроўнасцей тут не прымяніма.
Уласцівасць 3. Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адмоўны лік або выраз, які вызначаны для ўсіх значэнняў невядомаа велічыні і прымае толькі адмоўныя значэнні, а знак няроўнасці змяніць на процілеглы <> на <; < на >>, то атрымаецца няроўнасць, эквівалентная дадзенай.
Гэта ўласцівасць зусім аналагічная 2й уласцівасці. Таму падрабязна спыняцца на ёй мы не будзем.
Практыкаванні
152. Ці эквівалентныя няроўнасці:
а) х2>х—1 і х2+1>х;
б) 2x^0 і 2x4—^—;
• в) х—1>0 і (х—1)| ———;
7 v 7 4—х 4_х
г) Зх+1>0 і (Зх+1) + (х—4) >х—4?
153. Ці эквівалентныя няроўнасці:
а) 2х>3 і 62х>63;
б) 2х>3 і —62х<—63;
в) 2х>3 і 2х(х2+1) >3(х2+1);
г) 2х>3 і 2х3>Зх2;
д) 2х>3 і 2х2>3х;
9 v 3
ж) 2х>3 і >——; х—1 X—1
§ 21. Лінейныя няроўнасці
Так называюцца няроўнасці, левая і правая часткі якіх уяўляюць сабой лінейныя функцыі адносна невядомай велічыні, Да іх адносяцца, напрыклад, няроўнасці
44
2х— 1 ^— х+З, 5>4—6х, 7x^0, 9—х<х+5
і г. д. Для пэўнасці мы разгледзім толькі няроўнасці, якія змяшчаюць знак >. Лінейная няроўнасць, якая змяшчае знак >, мае выгляд
ax+b>cx\d. (1)
Калі ў няроўнасці (1) а^=с, то такая няроўнасць называецца таксама няроўнасцю 1й ступені. Відавочна, што ўсякая няроўнасць 1й ступені з’яўляецца разам з тым і лінейнай няроўнасцю. Адваротнае сцверджанне няправільнае. Напрыклад, няроўнасць 0х>—2 з’яўляецца лінейнай, але не з’яўля’ецца няроўнасцю 1й ступені.
'Пераносячы сх з правай часткі няроўнасці (1) у левую, a b з левай часткі ў правую, атрымаем
(a—c)x>d—b. *
Такім чынам, любая лінейная няроўнасць зводзіцца да эквізалентнай няроўнасці выгляду
тх>п, (2)
дзе т і п — некаторыя зададзеныя лікі, а х — невядомая велічыня.
Калі т>0, то, дзелячы абедзве часткі няроўнасці (2) на т, п
атрымаем х> —. Гэта няроўнасць і вызначае мноства ўсіх тых значэнняў велічыні х, пры якіх выконваецца няроўнасць (2). Геаметрычна гэта мноства можна пакЭзаць у выглядзе той часткі лікавай прамой, якая ляжыць справа ад пункта з абсцып п
сай — (рыс. 23). Сам пункт " у гэта мноства не ўключаецца.
На рысунку гэта адзначана стрэлачкай, якая звернута да пунк
X » п
та з абсцысан —, tn
Калі т<0, то, дзелячы абедзве часткі*няроўнасці (2) на пі і мяняючы пры гэтым знак няроўнасці на процілеглы, атрымліваем
Гэта няроўнасць вызначае мноства ўсіх тых значэнняў велічыні х, пры якіх у дадзеным выпадку выконваецца няроўнасць
45
(2). Геаметрычна гэта мноства паказваецца ў выглядзе той часткі лікавай прамой, якая размешчана злева ад пункта з абсцысай ~ (рыс. 24). Сам пункт х= — у гэта мноства не ўклю
п т
^^222^2x2^
п т
Рыс. 23. Рыс. 24.
чаецца. На рысунку гэта адзначана стрэлачкай, звернутай да пункта з абсцысан — .
' ^ ^ Цяпер дапусцім, што т=0. Тады няроўнасць (2) прымае вйгляд:
0х>п.
Калі лік п адмоўны, то гэта няроўнасць выконваецца прьі ўсіх значэннях х. У адваротным выпадку яна не мае рашэнняў.
Мы разгледзелі лінейныя няроўнасці, якія змяшчаюць знак
>. Няроўнасці, якія змяшчаюць знакі ^, < і ^, рашаюцна аналагічна. Разгледзім некалькі прыкладаў.
1. Рашыць няроўнасць
х+4>2^+3.
Пераносячы —2х у левую, a 4 у правую частку, атрымліваем
Зх> —1, адкуль х>д.
На лікавай прамой (рыс. 25) адзначаны ўсе тыя значэнні х, якія задавальняюць дадзенай няроўнасці.
1
3
^&йшхяаі&ма&^^
Х
КНІГІ ОНЛАЙН
