Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
( 2х—Зу=0, /о\ < г х—у=0,
( 7х—5у=0. [ х—у = 0. W
/ ЮОх—2у = 96, ' х+у = 0,
I Зх+57і/=111. [х+у=1. (Ь)
( х—2у= 12, ІЛ\ J [ —х+1,5у = 3,
13// = 3. [ 2х—Зу — —6. (7)
Дарэчы, любую з гэтых сістэм можна назваць сістэмай ураўненняў 1й ступені. Так называюцца сістэмы выгляду (1), у якіх хаця б адно з ураўненняў мае ненулявы каэфіцыент пры х або пры у.
Калі ў сістэме (1) абодва свабодныя члены сі і с2 роўны нулю, то сістэма называецца аднароднай. Калі хаця б адзін з свабодных членаў Сі і с2 адрозны ад нуля, то сістэма называецца неаднароднай.
55
Так, з прыведзеных вышэй сістэм (2) —(7) аднароднымі будуць сістэмы (2) і (5); усе ж астатнія сістэмы неаднародныя.
Рашэннем сістэмы ўраўненняў (1) называецца такая пара AiKay (х0, уо), якая кожнае ўраўненне гэтай сістэмы ператварае ў лікавую роўнасць*:
[ а\Хо~{Ь\уо=С\, 1 aiXo^rbzyg —с%.
Напрыклад, пара лікаў (0, 0) з’яўляецца рашэннем сістэмы ўраўненняў (2), паколькі
( 2030=0, |7050=0.
Пара лікаў (1, 2) будзе рашэннем сістэмы (3), паколькі / 100122 = 96, { 31+572=111.
Пара лікаў (2, 1) не будзе рашэннем сістэмы (3), паколькі f 1002—21+96, ( 32+571 + 111.
Рашэннем сістэмы ўраўненняў (3) не будзе 1 пара лікаў (2, 52). Сапраўды,
1002252 = 96,
але
32+5752+111.'
Сістэмы могуць мець розны лік рашэнняў. Напрыклад, сістэма ўраўненняў (4) мае, відавочна, адзінае рашэнне: х=14, у=1. Сапраўды, з другога ўраўнення гэтай сістэмы вынікае, што у=1. Падстаўляючы затым гэта значэнне у у першае ўраўненне, атрымліваем: х—21 = 12, адкуль х=14.
Сістэма ўраўненняў (5) мае, відавочна, бясконцае мноства рашэнняў. Сапраўды, пры любым а пара лікаў (а, а) ператварае абодва ўраўненні сістэмы ў лікавыя роўнасці. Таму любая такая пара лікаў (а іх бясконцае мноства) з’яўляецца рашэннем дадзенай сістэмы.
Нарэшце, існуюць сістэмы, якія наогул не маюць рашэнняў. Прыкладам такіх сістэм можа служыць сістэма (6). Калі б яна мела рашэнне (х0, уо), то сума двух лікаў х0 і уо павінна была б раўняцца адначасова і 0 і 1. Але гэтага быць не можа.
Такім чынам, існуюць сістэмы лінейных ураўненняў, якія маюць роўна адно рашэнне, бясконцае мноства рашэнняў і, нарэшце, зусім не маюць рашэнняў.
* Гэта азначэнне прыгоднае і для адвольных сістэм ураўненняў з двума невядомымі.
56
Сістэма ўраўненняў, якая мае хоць бы адно рашэнне, называецца сумеснай, а якая не мае ні аднаго рашэння,— несумеснай. Напрыклад, сістэмы ўраўненняў (2) і (4) сумесныя, а сістэма (6) несумесная. ’
Для кожнай аднароднай сістэмы ўраўненняў аіХ^Ьіу—О, а2х\Ь2у=0
пара лікаў (0, 0) з’яўляецца рашэннем. Таму любая аднародная сістэма ўраўненняў сумесная. У прыватнасці, сумеснымі з’яўляюцца прыведзеныя вышэй сістэмы (2) і (5).
Рашыць сістэму ўраўненняў
(а\х\Ь\у=с\, [ а2х\Ь2у=с2
— гэта значыць: 1) высветліць, ці з’яўляецца яна сумеснай і 2) калі яна сумесная, то знайсці ўсе яе рашэнні.
Практыкаванні
220. Ці можна сістэмы
(х+у=0, (2х—3у=3, / Зх=7,
[х+і/=0; [2х—3z/=30; ^2у = 0
назваць сістэмамі двух лінейных ураўненняў з двума невядомымі?
221. Паказаць, што ні пры якіх значэннях а сістэмы ўраўненняў
( 2xj7y=a, . (—11х+6//=5а—1,
[—5х+6у—а+1 [4х—5у=о2
не з’яўляюцца аднароднымі.
222. Даказаць, што калі сістэма двух ураўненняў 1й ступені з двума невядомымі мае нулявое рашэнне (гэта значыць рашэнне х=0, у—0), то яна з’яўляецца аднароднай.
Ці правільнае адваротнае сцверджанне?
§ 27. Вызначальнікі 2га парадку
Калі нам трэба запісаць суму двух лікаў а і Ь, мы выкарыстоўваем знак + і пішам а+Ь\ для запісу рознасці двух лікаў выкарыстоўваецца знак — і г. д. Вялікую ролю ў матэматыцы адыгрывае яшчэ адна форма запісу алгебраічных дзеянняў, якая нам спатрэбіцца для вывучэння сістэм двух лінейных ураўненняў з двума невядомымі. Выглядае гэта форма запісу так:
I a b
I с d '
(1)
57
Чатыры лікі a, b, с і d запісаны ў выглядзе табліцы, якая мае два радкі (a, b) і (с, d) і два слупкі і Злева і справа стаяць вертыкальныя рысачкі. Увесь гэты выраз ужываецца для запісу рознасці ad—be і называецца вызначальнікам 2га парадку. Такім чынам,
L d\~ ad~ be. (2)
Напрыклад, 9 _QI
_5 _g =2(6)(3)(5) = — 1215 = 27;
' 1 _9
g = 1.6 —(—2) ■ (—3) = 6 —6 =0;
д = a ■ a — 11= a2 — 1.
Лікі a, b, c i d называюцца элементамі вызначальніка (1).
Радкі (a, b) i (c, d) вызначальніка j$ ^| называюцца npaпарцыянальнымі, калі хаця б адзін з іх атрымліваецца ў рэзультаце паэлементнага множання другога радка на некаторы лік k.
Растлумачым гэта азначэнне на двух прыватных прыкладах.
Прыклад 1. У вызначальніку
2 6
1 3
першы радок атрымліваецца пры дапамозе множання кожнага элемента другога радка на 2:
2 = 21, 6 = 23.
Значыць, радкі гэтага вызначальніка прапарцыянальныя. У ролі k тут вьіступае лік 2.
У дадзеным выпадку магчыма і іншае тлумачэнне: другі радок вызначальніка атрымліваецца пры дапамозе множання кожнага элемента у першым радку на — ?
'=Т'2 34’6'
Значыць, радкі гэтага вызначальніка прапарцыянальныя. Тут ужо ў ролі й выступае лік ^ .'
58
П р ы к л а д 2. Радкі вызначальніка
0 0
0 1
таксама прапарцыянальныя, паколькі першы з іх атрымліваецца паэлементным множаннем другога радка на нуль:
0 = 00, 0=01.
У гэтым выпадку ролю k адыгрывае лік 0.
У адрозненне ад першага прыкладу тут другі радок не можа быць атрыманы шляхам паэлементнага множання першага радка. Вось чаму ў азначэнні прапарцыянальных радкоў гаворыцца, што з двух такіх радкоў хоць бы адзін павінен атрымлівацца ў рэзультаце паэлементнага множання другога радка на некаторы лік k.
Такім чынам, азначэнне прапарцыянальнасці радкоў (а, Ь) і (с, d) вызначальніка
a b с d
можна запісаць наступным чынам:
або a—kc, b=kd, (3)
або c—k'a, d=k'b, (4)
дзе k і k'— некаторыя лікі. Для некаторых вызначальнікаў выконваюцца абедзве гэтыя ўмовы (гл. прыклад 1, у якім й = 2 к для іншых жа вызначальнікаў мае месца толькі адна
з іх (гл. прыклад 2).
Заўважым, што калі абодва элементы першага радка ў вызначальніку
a b с d
адрозніваюцца ад нуля, то прапарцыянальнасць радкоў можна запісаць у выглядзе:
с d a b
Аналагічна, калі кожны элемент другога радка дадзенага вызначальніка адрозны ад нуля, то прапарцыянальнасць радкоў можна запісаць у выглядзе:
a b
с d
59
Практыкаванні
223. Вылічьшь вызначальнікі:
— 2
а)
— 3
7
3
2 ;
3
Д)
в) 13 6’
01 . I 1—a —a
о|: ЖН a 1+a
224. Як зменіцца вызначальнік 2га парадку, калі:
а) памяняць месцамі яго радкі; '—
б) памяняць месцамі яго слупкі;+ «А
в) памяняць месцамі элементы, якія стаяць на адной дыяганалі; ісс у^
г) усе элементы першага радка памножыць на лік а; к<Х *
д) усе элементы другога радка падзяліць на лік d#=0? >^ ^J
225. Пры якіх значэннях а радкі дадзеных вызначальнікаў
прапарцыянальныя: ^
' 1
а) 2
3
7 5
0 0
3 а — 4 75 С w
a : б) 1 2 : в) a 3a: г) 6 a
?
£
&
226. Дакажыце, што калі ў вызначальніку 2га парадку які
небудзь радок або якінебудзь слупок састаўляецца з адных нулёў, то радкі такога вызначальніка прапарцыянальныя.
(Гэта сцверджанне карысна запомніць. Яно спатрэбіцца нам у наступным параграфе.)
§ 28. Умова, пры якой вызначальнік 2га парадку роўны нулю
Ва ўсіх дадатках да тэорыі вызначальнікаў важную ролю адыгрываюць умовы, пры якіх вызначальнік ператвараецца ў нуль. Гэтыя ўмовы мы і разгледзім у дадзеным параграфе.
Тэарэма 1. Калі радкі вызначальніка
I a b
|с d прапарцыянальныя, то гэты вызначальнік роўны нулю.
Доказ. Прапарцыянальнасць радкоў (a, b) і (с, d) азначае, што
або a — kc, b—kd, або c—k'a, d=k'b.
(Пры гэтым, безумоўна, не выключаецца магчымасць і аднаго і другога.)
60
Калі a—kc, b=kd, to
I a b | c d
kc kd c d
= kcd — kdc = 0.
Аналагічна будзе i ў выпадку, калі c—k'a, d=k'b:
a b _ a b
c d ~ k'a k'b
= ak'b — bk'a = 0.
Тэарэма даказана.
Правільная i адваротная тэарэма.
Тэарэма 2. Калі вызначальнік
роўны нулю, то радкі яго прапарцыянальныя.
Д о к а з. Па ўмове
ad—bc=0, або
ad=bc. (1)
Калі ні адзін з элементаў другога радка (с, d) не роўны нулю, то з (1) вынікае, што
a___b
с d "
Але гэта ўжо азначае, што радкі (a, b) і (с, d) прапарцыянальныя.
Калі абодва лікі с і d роўны нулю, то радкі вызначальніка зноў не будуць прапарцыянальныя (гл. задачу 226 з папярэдняга параграфа).
Застаецца разгледзець толькі выпадак, калі адзін з лікаў с і d роўны нулю, а другі адрозны ад нуля. Няхай, напрыклад, с=0, a d^O. Тады з (1) вынікае, што й = 0. Але ў такім выпадку ў вызначальніку
a b
с d
першы слупок будзе складацца з адных нулёў. Таму радкі вызначальніка будуць прапарцыянальныя (гл. задачу 226).
Даказаныя дзве тэарэмы прыводзяць да наступнага выніку.
Вызначальнік
\а
роўны нулю тады і толькі тады, калі яго радні прапарцыянальныя.
61
Практыкаванні
227. Пры якіх значэннях a прапарцыянальныя:
радкі дадзеных вызначальнікаў
ч a 2 а) 2 a ;
; б)
a — 1 a2
3 la а — 1 3a ’ в' | a + 1 a
?
228. Слупкі.вызначальніка 2га парадку называюцца прапарцыянальнымі, калі хаця б адзін з іх атрымліваецца ў рэзультаце паэлементнага множання другога на некаторы лік k.
Дакажыце, што калі ў вызначальніку 2га парадку прапарцыянальныя радкі, то прапарцыянальнымі будуць і слупкі. Ці правільна адваротнае сцверджанне?
§ 29. Галоўны і дапаможныя вызначальнікі сістэмы двух лінейных ураўненняў з двума невядомымі
Галоі/ным вызначальнікам сістэмы ўраўненняў (alx+b}y = ci, (1)
( а2х+Ь2у = С2
называецца вызначальнік
Оі 1\ а2 Ь2 ’ складзены з каэфіцыентаў пры невядомых х і у. Гэты вызначальнік мы будзем абазначаць грэчаскай літарай А (дэльта), Відавочна, што
^=а{Ь2—а2Ьі.
Першым дапаможным вызначальнікам сістэмы ўраўненняў (1) называецца вызначальнік
I сі ^і
1^2 Ь2 ' яхі атрымліваецца з галоўнага вызначальніка гэтай сістэмы ўраўненняў шляхам замены першага слупка на слупок свабодных членаў. Гэты вызначальнік мы будзем абазначаць Ах. Індэкс (гэта значыць значок) х пры А азначае, што ў галоўным вызначальніку А першы слупок I 0 складзены з каэфіцыентаў пры х у сістэме ўраўненняў (1), заменен на слупок свабодных членаў
Відавочна, што
Ьх=С\Ь2—с2Ь\.
Другім дапаможным вызначальнікам сістэмы ўраўненняў (1) называецца вызначальнік
«і fi
#2 ^2
62
які атрымліваецца з галоўнага вызначальніка гэтай сістэмы шляхам замены другога слупка на слупок свабодных членаў. Гэты вызначальнік мы будзем абазначаць Ду. Відавочна, што
КНІГІ ОНЛАЙН
