Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
а<Ь. (2)
Напрыклад, 5>3, паколькі рознасць 5—3 — 2 дадатная; —7<—6, паколькі рознасць (—7) —(—6)= —1 адмоўная.
Запісы (1) і (2) называюцца лікавымі няроўнасцямі, а знакі > і <, якія ўдзельнічаюць у іх,— знакамі няроўнасці.
Лікавыя няроўнасці дапускаюць простую геаметрычную інтэрпрэтацыю. Будзем прадстаўляць лікі пунктамі лікавай прамой. Няхай ліку а адпавядае пункт A, а ліку b — пункт В. Тады, й А калі а>Ь, то пункт А будзе ляжаць
°) “—° правей пункта В (рыс. 20, а). Калі ж
а а<Ь, то пункт А будзе ляжаць ля
вей пункта В (рыс. 20,6).
ў) ~ В_________ да гэтага часу МЬІ гаварылі голь
а 6 кі аб лікавых няроўнасцях. Аднак у
рыс 20. матэматыцы часта прыходзіцца раз
глядаць і такія няроўнасці, якія змяшчаюць літары (гэтымі літарамі, як і ў выпадку роўнасці, мы абазначаем невядомыя велічыні). Прь^Д кладамі такіх няроўнасцей могуць служыць няроўнасці: дД
Дапушчальнымі значэннямі літар, уваходзбчых у няроўнасць, называюцца такія значэнні гэтых літар, пры якіх абедзве часткі няроўнасці маюць сэнс.
Відавочна, што дапушчальнымі значэннямі а ў няроўнасці (3) служаць усе дадатныя лікі, у няроўнасці (4)—усе лікі, акрамя нуля, і ў няроўнасці (5)—усе лікі. Для няроўнасці (6) дапушчальныя значэнні a і b складваюцца з разнастайных пар неадмоўных лікаў.
Разгледзім падрабязней няроўнасць (3). Яна, як мы ўжо гаварылі, вызначана для ўсіх неадмоўных значэнняў а. Аднак не кожны з дадзеных лікаў задавальняе гэтай няроўнасці. Сапраўды, пры a = 0,25 У а=0,5. Паколькі 0,5>0,25, то лік а=0,25 задавальняе няроўнасці (3). А вось лік 4 яму ўжо не задавальняе, паколькі К4<4. Такім чынам, няроўнасці, якая змяшчае літару, могуць задавальняць адны дапушчальныя значэнні гэтай літары і не задавальняць іншыя дапушчальныя значэнні гэтай літары.
22
Няроўнасць, якой задавальняюць усе дапушчальныя значэнні ўваходзячых у яе літар, называецца тоеснай няроўнасцю. Прыкладам такой няроўнасці можа служыць хоць бы няроўнасць (5). Пры любым значэнні а а—1<а. Няроўнасць (4) нельга аднесці да тоесных няроўнасцей; ёй не задавальняе, на
. 1 прыклад, значэнне а=1.
Практыкаванні
79. Знайсці дапушчальныя значэнні літар, уваходзячьгХ у ня ) роўнасці: 1 г
а)> 5;
a »)^<гЬ’
Г) /1^1 <^2+і: К
і *4 / ^ Ь
д) Ы
а\
е)
> *;
1
і
а2 4 Ь2
80. Ці можна сказаць, што няроўнасцям с • a2—1
Р“+5>'1
задавальняюць любыя значэнні ўваходзячых у іх з’яўляюцца гэтыя няроўнасці тоеснымі?
літар? Ці
§ 10. Асноўныя ўласцівасці лікавых няроўнасцей
1. Калі a>b, mo b <а, і, наадварот, калі а <Ь, то Ь> а.
Д о к а з. Няхай а>Ь. Па азначэнню лік (а—Ь) дадатны. Калі мы перад ім паставім знак мінус, то атрыманы лік — (а—Ь) будзе, відавочна, адмоўным. Таму —(а—&)<0, або b—а<0. А гэта (зноў жа па азначэнню!) і гаворыць аб тым, што Ь<а.
Адваротнае сцверджанне прапануем вучням даказаць самастойна.
Даказаная ўласцівасць няроўнасцей дапускае простую геаметрычную інтэрпрэтацыю: калі пункт А ляжыць на лікавай прамой правей пункта В, то пункт В ляжыць лявей пункта А, і на
адварот (гл. рыс. 20).
2. Калі а> b, а Ь>с, то а>с.
Геаметрычна гэта ўласцівасць за
С В A
с 8 a
Рыс. 21.
ключаецца ў наступным. Няхай пункт
А (адпаведны ліку а) ляжыць правей пункта В (адпаведнага ліку b), а пункт В, у сваю чаргу, ляжыць правей пункта С (адпаведнага ліку с). Тады пункт А і тым больш будзе ляжаць
правей пункта С (рыс. 21).
23
Прывядзём алгебраічны доказ гэтай уласцівасці няроўнасцей.
Няхай a>b, a b>c. Гэта азначае, што лікі (а—Ь) і (Ь—с) дадатныя. Сума двух дадатных лікаў, відавочна, дадатная. Таму (а~^) + (6—с) >0, або а—с>0. Але гэта і азначае, што a>c.
3. Калі а> Ь, то для любога ліку с a \ с ^ b [ с і а ~ с ^J^ — с' Іншымі словамі, калі да абедзвюх частак лікавай няроўнасці дадаць або ад абедзвюх частак адняць адзін і той жа лік, то няроЎнасць не парушыцца.
Д о к а з. Няхай а^Ь. Гэта азначае, што а—&>0. Але а~Ь== (а]с) (Ь\с), Таму (а}с)— (Нс)>0. А па азначэнню гэта і гаворыць аб тым, што a\cZ>b\c.
Аналагічна паказваецца, што a—c>b—с.
^Напрыклад, калі да абедзвюх частак няроўнасці 5>4 дадаць 'У’то атрымаем 6 — >5 — ; Адымаючы ад абедзвюх частак дадзенай няроўнасці лік 5, атрымаем 0> —1.
Вынік. Любое складаемае адной часткі няроўнасці можна перанесці ў другую частку няроўнасці, памяняўшы знак гэтага складаемага на процілеглы.
Няхай, напрыклад, а\Ь>с. Трэба даказаць, што aZ>c—b. Для доказу ад абедзвюх частак дадзенай няроўнасці дастаткова адняць лік Ь.
4. Няхай а>Ь. Калі с > 0, mo ас>Ьс. Калі ж с <0, mo ас < be.
Іншымі словамі, калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на дадатны лік, то няроўнасць не парушыцца; калі ж абедзве часткі няроўнасці памножыць на адмоўны лік, то знак няроўнасці зменіцца на процілеглы.
Карацей гэта ўласцівасць фармулюецца такім чынам:
Няроўнасць захоўваецца пры піічленным множанні на дадатны лік і змяняе знак на процілеглы пры пачленным множанні на адмоўны лік.
Напрыклад, памножыўшы няроўнасць 5>1 пачленна на 7, атрымаем 35>7. Пачленнае множанне той жа няроўнасці на 7 дае 35<7.
Доказ 4й уласцівасці.
Няхай а>Ь. Гэта азначае, што лік а—Ь дадатны. Здабытак двух дадатных лікаў a—b і с, відавочна, таксама дадатны, г. зн. с(а—6)>0, або са—cb>0. Таму ca>cb.
Зусім гэтак жа разглядаецца выпадак, калі лік с адмоўны. Здабытак дадатнага ліку a—b на адмоўны лік с, відавочна, адмоўны, г. зн. с(а—Ь) <6, таму са—cb<0, адкуль ca1 памножыць пачленна на
а) а2+1; в) а;
б) |о|; г) 1—2а+л2
так, каб знак няроўнасці захаваўся?
82. Ці заўсёды 5х больш 4х, а —у менш у?
83. Якім можа быць лік х, калі вядома, што —х>7?
84. Размясціць у парадку ўзрастання лікі:
а) й2, 5й2, 2а2;
б) а, 5а, 2«;
в) а, а2, а3.
85. Размясціць у парадку ўбывання лікі:
а—Ь, a—2b, a—3b.
86. Даць геаметрычную інтэрпрэтацыю 3й уласцівасці лікавых няроўнасцей.
§ 11. Пачленнае складанне і адыманне няроўнасцей
Пра дзве няроўнасці, якія маюць аднолькавыя знакі няроўнасці (абедзве знак > або абедзве знак <), гавораць, што яны аднолькавага сэнсу. Напрыклад, няроўнасці а>Ь і 3>2 аднолькавага сэнсу, паколькі абедзве яны маюць адзін і той жа знак >; няроўнасці a, а другая знак <, то такія няроўнасці называюцца няроўнасцямі процілеглага сэнсу. Напрыклад, 16 >0 і 5<а — няроўнасці процілеглага сэнсу.
Тэарэма 1. Няроўнасці аднолькавага сэнсу можна пачленна складваць.
Д о к а з. Няхай a>b і c>d. Дакажам, што a\Ob\d.
Паколькі а>Ь і c7>d, то лікі (а—Ь) і (с—d) дадатныя. Сума двух дадатных лікаў таксама дадатная: (а—6) + (с—d) >0. Але (a—b) + (c—d) = (a+c) — (b+d).
Таму лік (a+c) — (b\d) дадатны, А гэта і азначае, што flf"^^ b~\~d.
25
Выпадак, калі складваюцца няроўнасці a —100
+ I 65 > 64
65 >— 36
[ 14 < 15
+ I —20 < — 15
— 6 < 0
Тэарэма 2. Дзве няроўнасці процілеглага сэнсу можна пачленна адымаць, пакінуўшы знак той няроўнасці, ад якой мы адымаем.
П р ы к л а д ы.
f 10< 15
і 3> 2
7< 13
Доказ. Няхай a>b і cb—d.
Пачленнае множанне няроўнасці c—d. Склаўшы гэту няроўнасць з дадзенай няроўнасцю а>Ь, атрымаем a—Ob—d.
Выпадак, калі ad, прапануем вучням разгледзець самастойна.
3 а ў в а г а. Няроўнасці аднолькавага сэнсу пачленна адымаць, наогул кажучы, нельга. Напрыклад, калі б мы ад няроўнасці 2>0 аднялі пачленна няроўнасць 0>—5, то прыйшлі б да супярэчнасці: 2 больш 5.
Практыкаванні
Даказаць няроўнасці:
87. |/ 5 4 /10 > 5.
88. . /7 + 1/75 < 7.
90. / 37 — О >6/15.
91. /ТбТ —/35 > 4.
89. /21 — / 5>/20—/6. 92. — 16 b і Od, прычым лікі a, b, с і d дадатныя. Дакажам, што ac~>bd.
Памножыўшы няроўнасць а>Ь пачленна на дадатны лік с, атрымаем ас>Ьс. Памножыўшы затым няроўнасць c>d пачленна на дадатны лік Ь, атрымаем bc>bd. Цяпер маем: ас>Ьс, a bc>bd. Але тады па другой асноўнай уласцівасці няроўнасцей (§ 10) павінна быць ac>bd.
26
Аналагічна можа быць разгледжан выпадак, калі а<Ь і c 1 [ 5> 3 | 1 < 7
X < 16 ^ > 4 х х < х 100 > 10 1 9 < 10
12 > 4 500 > 30 9 < 70
Вынік 1. Калі а>Ь, прычым лікі a і b дадатныя, то для любога натуральнага п
ап > Ьп.
Сапраўды, памнажаючы пачленна няроўнасць а>Ь саму на сябе, атрымаем а2>Ь2. Памнажаючы затым пачленна атрыманую няроўнасць на зыходную няроўнасць а>Ь, атрымаем а?>№ і г. д.
Вынік 2. Калі лікі a і b дадатныя і
an>bn ’; (1)
(п — натуральны лік), то а^Ь.
Сапраўды, магчымы адзін з трох выпадкаў: a—b, aЬ. Калі а = Ь, то ап — Ьп. Пры а<Ь мы мелі б: Ь>а і таму па выніку 1 bn>an. I першае, і другое супярэчыць няроўнасці (1). Застаецца прызнаць, што а>Ь.
Прыклад. Вызначыць, які лік большы: |/5 + /б або /7 + /8.
Узвядзём абодва лікі ў квадрат:
(/Т + УІ)2 = 5 + 2/30 + 6= 11 +2/30;
(/~3 + / 8)а =3 + 2 /24 + 8= 11 + 2 / 24.
Квадрат першага ліку большы за квадрат другога ліку. Паколькі гэтыя лікі дадатныя, то па выніку 2
/"5 + /"6 > /'З + /“8.
Практыкаванні
93. Ці любыя дзве няроўнасці аднолькавага сэнсу можна пачленна памнажаць? (Разгледзець прыклад: 3> —10 і —2>—7.)
94. а) Ці заўсёды з а>Ь вынікае, што an>bn? Адказ растлумачыць на прыкладах.
б) Ці абавязкова з an
КНІГІ ОНЛАЙН
