КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Ду=аіСг—^гСі
П р ы к л а д. Для сістэмы ўраўненняў
—х+2у = —5,
—7х+3у ——13
Д
Д =
— 1
— 7
— 5
— 13
2 =(_ 1) . 3 —(—7) • 2 = —3+14 = 11,
Ау
— 1
2
3
5
= (—5) 3 —(— 13) 2 = — 15 + 26 = 11,
— 7 —13
= (—!)•(— 13) _(_7) . (—5) = 13—35 = —22.
Пытанне аб тым, якую карысць аказваюць уведзеныя намі вызначальнікі Д, Дх і Ду пры рашэнні сістэмы ўраўненняў (1), мы высветлім у наступных параграфах.
Практыкаванні
Знайсці галоўны і дапаможныя вызначальнікі для наступных сістэм ураўненняў:
	I 1	1	.
’«‘(ii+^e: 231	
	х — у = 0.
	У
[ ах + У = ^’	232 { х + ау = а.	х	— = — а, a Зах + «/ = 5а.
§ 30. Правіла Крамера
Тэарэма. Калі галоўны вызначальнік сістэмы ўраўненняў
(a1x + b1y = clt	(1)
1 а2х + Ь2ў = f 2
не роўны нулю, то гэта сістэма ўраўненняў сумесная і мае адзінае рашэнне:
63
Напрыклад, для сістэмы
/ —х+2у=—5, t 7х+3^=13,
разгледжанай у канцы папярэдняга параграфа, Д —11, ДЖ=Ц, Ду=—22. Паколькі Д=#0, то сістэма сумесная і мае адзінае рашэнне:
Доказ тэарэмы мы разаб’ём на два этапы.
1)	Спачатку пакажам, што пры Д#=0 сістэма (1) не можа мець больш аднаго рашэння.
Няхай (х0, уо)~ рашэнне сістэмы (1). Тады
аіХ<г\Ьіуо=сі,	(2)
СІ2Хо{Ь2Уо = С2.	(3)
Памножым першую з гэтых роўнасцей на b2, а другую на —Ьі і атрыманыя суадносіны складзём. Тады атрымаецца:
(aibi — ciob^ х0 4 (bjbz — Ь^) у9 = b^Ci — Ь^г, або
Дх0=Дх.
Затым да роўнасці (2), памножанай на —а2, дададзім роўнасць (3), памножаную на а\. У рэзультаце атрымаем
(— a^Oi 4* ^і^г) *0 4~ (— a^bi 4~ ^іЬі) у9 — — #2^1 4" аіС2, або
Дуо = Ду.
Такім чынам, калі сістэма ўраўненняў (1) мае рашэнне (х0, і/о), то
Дх0=Дх, Дг/о = Ду.
(4)
У выніку таго што Д^О, х0 павінен быць роўны
а Уо—Ніякімі іншымі лікамі х0 і уо быць не могуць. Але
гэта і азначае, што дадзеная сістэма мае не больш аднаго рашэння.
2)	Даказваючы адзінасць рашэння сістэмы ўраўненняў (1), мы д а п у с ц і л і, што рашэнне існуе. Але ці правільнае такое дапушчэнне? Цяпер гэта пытанне высветліць няцяжка. Мы ўжо
61
паказалі, што рашэннем сістэмы ўраўненняў (1) могуць быць
. . Дх ДУ
ТОЛЬКІ ЛІКІ Xo=V> Wo=—7—■ д д
Таму цяпер нам трэба будзе
проста падставіць гэтыя значэнні х і у ва ўраўненні сістэмы (1) і паглядзець, ці ператворацца пры гэтым ураўненні ў лікавыя роўнасці. Калі ператворацца, то тым самым мы дакажам, што сістэма ўраўненняў (1) мае рашэнне х0= д~. Уо— д— і, зна
чыць, з’яўляецца сумеснай. Гэта і ёсць другі этап доказу нашай тэарэмы.
Маем:
Дг Д Й! (М — ^Сг) МаіСг—а^і) «1*0 + «1 ^0 = «1д7 + «1  д = д 4д =
«1^2«! — афхСг 4 &і«іСг — Мг«і «I («1^2 — «2^1) «I Д
Аналагічна паказваецца, што
«2*о4^2*/О = С2.’
Такім чынам, калі для сістэмы ўраўненняў (1) Д=#0, то гэта сістэма мае і прытым адзінае рашэнне. Яго можна атрымаць па наступнаму правілу: знаходзім Дж, Ду, а затым вылічваем шукаемыя велічыні х і у па формулах
Гэта правіла названа імем швейцарскага матэматыка Крамера (1704—1752), які адным з першых прыйшоў да паняцця вызначальніка і даказаў прыведзеную тут тэарэму,
Умова
азначае, што радкі (a, b) і (с, d) гэтага вызначальніка непрапарцыянальныя адзін другому (гл. § 28). У такім выпадку гавораць, што каэфіцыенты пры невядомых х і у у сістэме ўраўненняў (1) непрапарцыянальныя. Таму атрыманы рэзультат можна сфармуляваць наступным чынам.
Калі каэфіцыенты пры невядомых х і у у сістэме ўраўненняў
агх + І^у = сь
а2х + Ь2у = с2
непрапарцыянальныя, то гэта сістэла сумесная і мае адзінае рашэнне.
3 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
65
Пытанне аб прапарцыянальнасці каэфіцыентаў пры невядомых часта рашаецца вусна. Таму вусна можа быць устаноўлена сумеснасць такіх, напрыклад, сістэм, як
х~^~2у = 1, ( Зх у = 5, Г X!у—^, 2х+%=0; [Зх—2у = 6; \х—у—Ь
і г. д. Разам з тым вусна высвятляецца, што кожная з дадзеных сістэм мае толькі адно рашэнне.
Практыкаванні
233.	Дадзеныя сістэмы рашыць па правілу Крамера:
/ х + 2у = 2, а' 1 —2х —Зу =
8;
б)
0,Зх1 £/ = 1, — 6х + 5у =— 19;
/ 2х — Зу — — 3, 4x + f/ = 1.
234. Ці можна рашаць па стэмы:
( ах + 4# = 9, аЦ9х + ^ = 1;	°'
. / — х + ОД = 0, в' [ ау + х — а?
правілу Крамера наступныя сі
У
х — — = — а, a
Зах j у = 5а;
235.	Рашыць сістэму ўраўненняў:
f—1—+ —1—=1
1 — ax I + ау__2_______3_ = _ £
1 —ax \ + ау 3 ‘
§ 31.	Выпадак, калі галоўны вызначальнік сістэмы ўраўненняў роўны нулю, а хаця б адзін з дапаможных вызначальнікаў адрозны ад нуля
Тэарэма. Калі галоўны вызначальнік сістэмы ўраўненняў
(я1х + М = <;і>
I а2х + Ь2у = с2	' '
роўны нулю, а хаця б адзін з дапаможных вызначальнікаў адрозны ад нуля, то сістэма несумесная.
Фармальна доказ гэтай тэарэмы няцяжка атрымаць метадам ад адваротнага. Дапусцім, што сістэма ўраўненняў (1) мае рашэнне (х0, уо). Тады, як паказана ў папярэднім параграфе,
66
Дх0=Дх, by0=ky.	(2)
• Але па ўмове Д = 0, а хоць бы адзін з вызначальнікаў Дх і Д„ адрозны ад нуля. Такім чынам, роўнасці (2) адначасова выконвацца не могуць. Тэарэма даказана.
Аднак цікавей больш дэталёва высветліць, чаму сістэма ўраўненняў (1) у разглядаемым выпадку несумесная.
Умова
Д = |“‘ 4
азначае, што каэфіцыенты пры невядомых х \ у у сістэме ўраўненняў (1) прапарцыянальныя. Няхай, напрыклад,
ai — ka2, bi — kb2.
Умова
Дг = с b °
азначае, што каэфіцыенты пры у і свабодныя члены ўраўненняў сістэмы (1) непрапарцыянальныя. Паколькі b\ — kb2, то
C\=^kC2.
Значыць, сістэма ўраўненняў (1) можа быць запісана ў наступным выглядзе:
f ka2x\kb2y—c\, ( a2x+b2y=c2.
У гэтай сістэме каэфіцыенты пры невядомых адпаведна прапарцыянальныя, але каэфіцыенты пры у (або пры х) і свабодныя члены непрапарцыянальныя. Такая сістэма, безумоўна, несумесная. Сапраўды, калі б яна мела рашэнне (х0, уо), то выконваліся б л і к а в ы я роўнасні
ka2Xo\kb2yo=C\, а2Хо=Ь2уо=с2
Ал^ адна з гэтых роўнасцей супярэчыць другой: бо c\^kc2.
Мы разгледзелі толькі выпадак, калі Дх^О. Аналагічна можа быць разгледжан выпадак, калі Д^О.
Даказаную тэарэму можна фармуляваць і такім чынам,
Калі каэфіцыенты пры невядомых х і у у сістэме ўраўненняў (1) прапарцыянальныя, а каэфіцыенты пры янойнебудзь з гэтых невядомых і свабодныя члены непрапарцыянальныя, то гэта сістэма ўраўненняў несумесная.
Лёгка, напрыклад, пераканацца ў тым, што кожная з дадзеных сістэм будзе несумеснай:
J х4у=0,	f 2х—0,5z/ = 3,	f х—у — 0,
}2х42у*=1;	[4х—у=1;	|2хф2і/=7.
3‘
67
Практыкаванні
236.	(В у с н а.) Паказаць, што кожная з дадзеных сістэм ураўненняў несумесная:
. р2г/=0, б)(2ху=3,	fx+3i/=2,
^|4Х_8У=5; °Цх0,5у=1; \ {2x6t/=l.
Рашыць сістэмы ўраўненняў:
237.
5ах — у = 8, — ах + у = 0.
239.
a . 2 х + у а’ Ў+4Н
238.
( 8х + 2ш/ = 1, | 5х} 4ау = 2.
240.
ах 4=1 — х, a — 1
х + у — 1 = а2х — а.
§ 32.	Выпадак, калі і галоўны і абодва дапаможныя вызначальнікі сістэмы ўраўненняў роўны нулю
У папярэдніх параграфах, вывучаючы сістэму ўраўненняў f аіх+Ьіу^і, \ а2х\Ь2у=С2,	'
мы разгледзелі два выпадкі:
1)	выпадак, калі казфіцыенты пры невядомых х і г/ не з’яўляюцца адпаведна прапарцыянальнымі (А#=0);
2)	выпадак, калі каэфіцыенты пры невядомых х і у адпаведна прапарцыянальныя, а каэфіцыенты пры якімнебудзь невядомым і свабодныя члены не з’яўляюцца адпаведна прапарцыянальнымі (А=0, а хоць бы адзін з вызначальнікаў Ах і Ау адрозны ад нуля).
Засталося разгледзець яшчэ адзін выпадак, калі і каэфіцыенты пры невядомых х і г/ і свабодныя члены адпаведна прапарцыянальныя, гэта значыць
a\—kd2, b\=kb2, C\ — kc2 або
a2=k'ai, b2=k'bi, C2—k'ci.
Для пэўнасці мы разгледзім першы з гэтых двух варыянтаў. Сістэма ўраўненняў (1) у гэтым выпадку мае выгляд: ka2x+kb2y=kc2, а2х+Ь2у=С2.
Відавочна, што кожная пара лікаў (хо, уа), якая задавальняе другому ўраўненню сістэмы (2), павінна задавальняць і перша
68
му ўраўненню гэтай сістэмы. Таму, для таго каб рашыць сістэму ўраўненняў (2), дастаткова рашыць адно толькі другое ўраўненне гэтай сістэмы. Іншымі словамі, дастаткова знайсці ўсе такія пары лікаў (х0, уо), якія ператвараюць ураўненне
а2х+Ь2у=с2
у лікавую роўнасць.
Дапусцім, што ў гэтым ураўненні хоць бы адзін з каэфіцыентаў а2 і Ь2 адрозны ад нуля. Няхай, напрыклад, Ь2у=0. Тады ў якасці Хо можна выбраць любы лік /; уо у гэтым выпадку знойдзецца з умовы
а2іігЬ2уо—с2,
адкуль
c2—a2t
Такім чынам, у разглядаемым выпадку сістэма ўраўненняў (2) мае бясконцае мноства рашэнняў. Усе яны задаюцца формуламі
дзе t — любы лік.
Гэты рэзультат мы атрымалі ў дапушчэнні, што хоць бы адзін з каэфіцыентаў а2 і Ь2 адрозны ад нуля. А калі абодва яны роўны нулю? Тады сістэма ўраўненняў (2) мае выгляд:
0*+0у=сі, (3) 0х\0у=с2.
Такая сістэма не з’яўляецца цікавай. Калі сі = с2=0, то рашэннем яе з’яўляецца любая пара лікаў (х0, у0). Калі ж хоць бы адзін з лікаў Сі і с2 адрозны ад нуля, то сістэма (3) несумесная.
Відавочна, што выпадак а2—Ь2=0 будзе аўтаматычна выключаны, калі дадаткова патрэбаваць, каб сярод каэфіцыентаў пры невядомых х і у у сістэме ўраўненняў (1) быў хоць бы адзін адрозны ад нуля каэфіцыент.
Мы даказалі наступную тэарэму:
Калі каэфіцыенты пры невядомых і свабодныя члены ў сістэме ўраўненняў (1) адпаведна прапарцыянальныя і сярод каэфіцыентаў пры невядомых ёсць хоць бы адзін каэфіцыент, адрозны ад нуля, то сістэма ўраўненняў (1) мае бясконцае мноства рашэнняў, Усе яны атрымліваюцца як рашзнні аднаго таго ўраўнення, якое змяшчае адрозны ад нуля каэфіцыент пры невядомым.
69
П р ы к л а д. Рашыць сістэму ўраўненняў
(х—2у=3, | 2х—4у=6.
Каэфіцыенты пры невядомых і свабодныя члены гэтай сістэмы ўраўненняў адпаведна прапарцыянальныя. Таму ўсе рашэнні дадзенай сістэмы ўраўненняў можна атрымаць з аднаго толькі першага ўраўнення
х—2у=3.
Дапускаючы x—t, знаходзім, што у— ^ (/—3).
Такім чынам, дадзеная сістэма ўраўненняў мае бясконцае мноства рашэнняў:
x=t, у=1(/3),
дзе / — любы лік. У прыватнасці, пры /=0 атрымліваецца ра3
шэнне х=0, у — —— ; пры ^=5 — рашэнне х=5, у— 1 і г. д.
Даказаную вышэй тэарэму карысна фармуляваць і ў тэрмінах вызначальнікаў.
Калі каэфіцыенты пры невядомых і свабодныя члены сістэмы ўраўненняў (1) адпаведна прапарцыянальныя, то, як лёгка атрымаць непасрэдна, выкарыстоўваючы (2),
А = ДХ=АУ=О.
Можна даказаць і адваротнае сцверджанне. Калі А=АХ=ЛУ=О і хоць бы адзін з каэфіцыентаў пры невядомых сістэмы ўраўненняў (1) адрозны ад нуля, то каэфіцыенты пры невядомых і свабодныя члены такой сістэмы ўраўненняў будуць адпаведна прапарцыянальнымі. На доказе гэтага факта мы спыняцца не будзем, хоць у прынцыпе гэта і можна было б зрабіць. Але прыняўшы яго на павер, мы можам цяпер даказаную вышэй тэарэму сфармуляваць наступным чынам: