Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Калі і галоўны і абодва дапаможныя вызначальнікі сістэмы ўраўненняў (1) роўны нулю і сярод каэфіцыентаў прьі невядомых ёсць хоць бы адзін адрозны ад нуля каэфіцыент, то сістэма ўраўненняў (1) мае бясконцае мноства рашэнняў. Усе яны атрымліваюцца як рашэнні аднаго таго ўраўнгння, якое змяшчаг адрззня ад нуля каэфіцыенгп пры невядомым.
70
Практыкаванні
241. (By сн а.) Паказаць, што кожная з дадзеных сістэм ураўненняў мае бясконцае мноства рашэнняў:
ч / 7х — у = 3, / 2х + Зі/ = 0, ч ( 2х — 1,5у = 3,
аЧ 14х —2у = 6; О,(4х + 6у=0; вЦЗу —4х = —6.
Рашыць сістэмы ўраўненняў (№ 242—244):
242 / ^—У—^t 243 J Зх 5у — 0, 944 ^^ ^У 1$«
(3(/3х = 3. ( —15х+25у = 0. (3,5ху = 8.
245. Дадзена сістэма ўраўненняў:
f 2х—Зу— — 1, .
| 4х—By — — 1.
а) Колькі рашэнняў мае кожнае ўраўненне гэтай сістэмы?
б) Колькі рашэнняў мае сістэма?
246. Колькі розных рашэнняў мае аднародная сістэма ўраўненняў
( йіХ|"^і(/—0,
( 02x462)/= 0,
калі:а)к 62Н°; б> k б2|=0?
~^
§ 33. Табліца асноўных рэзультатаў аб сістэме двух лінейных ураўненняў з двума невядсмымі
Усе рэзультаты аб сістэме ўраўненняў
( а\Х\Ьху—с\, [ а2х+Ь2у=с2,
якія атрыманы ў § 30—32, даюцца ў наступнай табліцы:
Д 0 4 = 0
хоць бы адзін з вызначальнікаў 4V і Ду не роўны нулю дл. = Ду = 0, і хоць бы адзін з каэфіцыентаў пры невядомых адрозны ад нуля
1ы выпадак 2і выпадак Зі выпадак
Сістэма сумесная і мае адзінае рашэнне: 4г Ду Сістэма несумесная Сістэма сумесная і мае бясконцае мноства рашэнняў. Усе гэтыя рашэнні атрымліваюцца як рашэнні толькі аднаго таго ўраўнсння, якое мае адрозны ад нуля каэфіцыент пры , невядомым
71
П р ы к л а д. Рашыць сістэму ўраўненняў
/ ах—у—3,
| —х+ау=—3.
Для гэтай сістэмы
Няхай а2—1^=0, гэта значыць а^ —1 і а^І. Тады Д^О (выпадак 1), і таму сістэма мае адзінае рашэнне:
Дж За —3 3 Ду — За + З 3
* ~ Д ~ a2 — 1 “ a + Г У ~ ~ a2] = ~ a + Г
Калі а = — 1, то Д=0, Дт=—6, Ду=6. У гэтым выпадку сістэма будзе несумеснай (выпадак 2). Калі ж а=1, то Д=Дж=Ду=0 (выпадак 3). У гэтым выпадку сістэма будзе мець бясконцае мноства рашэнняў, прычым усе яны атрымліваюцца ў выніку рашэння аднаго толькі першага (другога) ураўнення. Пры a—1 першае ўраўненне ператвараецца ў х—у = 3. Усе рашэнні гэтага ўраўнення можна запісаць у выглядзе x — t, y—t—З, дзе t — любы лік.
Такім чынам, да дадзенай задачы можна даць наступны адказ: калі а#=1 і а^ —1, то дадзеная сістэма ўраўненняў мае адзінае рашэнне
3 3
Х=ЙГ’ .^^r;
калі a = —1, то сістэма несумесная; пры а=1 сістэма мае бясконцае мноства рашэнняў, якія можна запісаць у выглядзе
x=t, y=t—3,
дзе / — любы лік.
Метад рашэння сістэмы двух лінейных ураўненняў з двума невядомымі, з якім мы пазнаёміліся ў гэтым раздзеле, заснаваны на выкарыстанні вызначальнікаў 2га парадку. У курсе вышэйшай алгебры ўводзіцца паняцце вызначальніка парадку п для любога натуральнага п і выкладаецца метад рашэння сістэмы п лінейных ураўненняў з п невядомымі пры дапамозе такіх вызначальнікаў. Гэты метад вельмі важны як пры рашэнні тэарэтычных пытанняў, так і пры даследаванні сістэм ураўненняў з літарнымі каэфіцыентамі. Ён шырока ўжываецца (як і само паняцце вызначальніка) не толькі ў вышэйшай алгебры, але і ў іншых раздзелах вышэйшай матэматыкі, у механіцы, у тэарэтычнай фізіцы.
72
Аднак для практычнага рашэння сістэм лінейных ураўненняў з л і к ав ы м і каэфіцыентамі самым эканомным (у сэнсе аб’ёму выконваемых вылічэнняў) аказваецца добра вядомы вам па курсу VIII класа метад паслядоўнага выключэння невядомых. Іменна ім карыстаюцца заўсёды на практыцы.
Практыкаванні
Рашыць сістэмы ўраўненняў (№ 247—249):
247. (2х\ау=—3, 248. f Зх—ау=6—а,
{ах\8у=\2. \—ах]Зу=3—2а,
249. 1 ах— (а— 1)у=0,5, '—
[ (а—1)х—ау=а.
250. Даказаць, што кожная з дадзеных сістэм ураўненняў не можа мець бясконцае мноства розных рашэнняў:
a— 1 , a _ 1— о,
J («+1)х+у = 0, У
I х+(а —афІ) t/= 1; a a + 1 „
251. Даказаць, што кожная з дадзеных сістэм ураўненняў або несумесная, або мае бясконцае мноства рашэнняў:
х (4х—6у=а, 1 (4—а)х+у=—а,
[2х—Зу=1; ■' ( (2а—8)х—2у = а.
252. (В у с н а.) Высветліць, колькі рашэнняў мае кожная з дадзеных сістэм ураўненняў:
а)
б)
в)
х+2у—0, х—Зу=0;
4х—6^=5, —8х+12у= 10;
Зх—у = 6, 6х—2у=12;
. 12х+у=9, [8х—4у=—36; fx+17y=0, (2х+34у=1;
. 1 х—у= 100, е) (2х+3у=17.
§ 34. Графічны спосаб рашэння сістэм лінейных ураўненняў
Дапусцім, што ў кожным ураўненні сістэмы
а\х\Ь\у=с\, а2х\Ь2у=с2
(1)
хаця б адзін з каэфіцыентаў пры невядомых х і у адрозны ад нуля. Тады любое з гэтых двух ураўненняў можна разглядаць як ураўненне прамой у прамавугольнай сістэме каардынат.
73
Сапраўды, возьмем, напрыклад, першае ўраўненне аіх+Ьіу = сь
Калі &і#=0, то ўраўненне прымае выгляд:
У bl bl ‘
Гэта ўжо знаёмае нам ураўненне прамой (гл. § 3).
Пры 6і=0 ураўненне аіх]Ьіу=сі прымае выгляд аі%=сі, або
Гэту суадносіну можна разглядаць як ураўненне прамой, паралельнай восі у і перасякаючай вось х у пункце з абсцысай — (глядзі, напрыклад, рысунак 41, на якім дадзены прамыя х= — 1 і х=2).
Таму сістэму ўраўненняў (1) лёгка ' ^ рашыць графічна. Для гэтага на ад0*х НЬ1М j ТЬ1М жа чарцяжы трэба пабуда
ваць дзве прамыя — прамую оіхф+ ^і'/=Сіі прамую а2х+Ь?.у=С2 (рыс. 42). Калі гэтыя прамыя перасякуцца, то каардынаты (х0; уо) пункта перасяНыс' чэння М гэтых прамых і дадуць ра
шэнне нашай сістэмы.
Прыклады. 1. Сістэме ўраўненняў
х+у = 3,
Х—у=1
адпавядаюць прамыя, дадзеныя на рысунку 43. Яны перасякаюцца ў адным пункце з каардынатамі (2; 1). Значыць, дадзеная сістэма мае адзінае рашэнне х=2, у=1.
74
2. Сістэме ўраўненняў
х—у=2, 2х—2у=6
адпавядаюць паралельныя прамыя, дадзеныя на рысунку 44. Яны не перасякаюцца ні ў адным пункце. Дадзеная сістэма ўраўненняў несумесная.
3. Для сістэмы ўраўненняў
2х+у=1,
6х+3у=3
адпаведныя прамыя зліваюцца ў адну прамую лінію (рыс. 45). Пра такія прамыя можна сказаць, што яны перасякаюцца ў бяс
концым мностве пунктаў, а іменна ў кожным сваім пункце. Таму дадзеная сістэма ўраўненняў мае бясконцае мноства рашэнняў. Усе гэтыя рашэнні можна прадставіць як каардынаты пунктаў, якія ляжаць на гэтай прамой. Калі х прыняць за t, то для у атрымаем y—l—2t.
Практыкаванні
Рашыць графічна наступныя сістэмы ўраўненпяў (№ 253— 258):
253. 1 [ 2х—у—5, 256. (х—у=\, [Зх—у=П. [у—2х—1.
254. 1 [хфу —4, 257. ( х—у—3, [2х[2у — 8. [ 2х=4.
255. 1 [ 2хЗу = 0, 258. f хф2у=0, [ х—1,5у—1,5. | Зу = 6.
259. Як геаметрычна можна інтэрпрэтаваць той факт, што любая аднародная сістэма двух лінейных ураўненняў з двума невядомымі сумесная?
75
Задачы на паўтарэнне
2110. Пры якіх значэннях а ўраўненне ах=2х{а:
а) не мае кораняў;
б) мае і прытым толькі дадатныя корані;
в) мае і прытым толькі адмоўныя корані;
г) мае корані?
261. Бацьку 40 год, а сыну 10. Праз колькі год бацька будзе ў k разоў старэйшы за сына?
262. Рашыць адносна х ураўненне
3?8а _ Зх х
2ах—2а—Зх+З 2а—3 х—Г
263. Колькі пунктаў перасячэння мае прамая у=ах{Ь:
а) з воссю абсцыс;
б) з воссю ардынат?
Даказаць няроўнасці (№ 264—268):
264. > f й + }ГЬ.
у b у a
265. (ac+bd)2^(a2+b2) (c2+d2).
266. (a + Hc)^ + y + yj>9 (а>0, 6>0, с>0).
267. (й+&+с)ЧЗ(й2+Нс2).
268*. й4|Ь4+с4^йк(а+Нс);
269. Дзе маторная лодка хутчэй пройдзе адлегласць у 30 км і вернецца назад: па возеры ці па рацэ?
Рыс. 46.
270. Даказаць, што калі ajbjс^З, то і а2{Ь2\с2'^3.
271. Як больш выгадна (з пункту гледжання эканоміі металу) штампаваць металічныя шайбы: як паказана на рысунку
76
46, а або як паказана на рысунку 46, б? Кожная пласціна, з якой штампуюцца шайбы, мае форму прамавугольніка са старанамі а і Ь, а дыяметр шайбы роўны d.
272. Громаадвод засцерагае ад маланкі ўсе прадметы, адлегласці якіх ад яго асновы не перавышаюць яго падвоенай вышыні. Якой павінна быць вышыня h громаадвода, каб ім можва было засцерагчы ад маланкі прамавугольны ўчастак шырыпбй а м і даўжынёй b м> У якім месцы гэтага ўчастка лепш за ўсё ўстанавіць громаадвод?
Рашыць няроўнасці (№ 273, 274):
273. 3< <5. 274. 3<ІХ2І<4.
2х—3 1 1
275. Рашыць сістэму няроўнасцей:
2х — 1
х + 1
Рашыць сістэмы ўраўненняў
[*+ау=Ь, \ах\у=Ь.
278.
277*
'1=1+а, = 1—а.
279.
(№ 276279):
X У
X у
2х + ау = а2, . a + 2
х + ^р.
280. Пры якіх значэннях т і п прамыя Зх—ту=п і 2х43у —5 паралельныя?
281. Пры якіх значэннях а прамыя Ах—Зу—а і —5%+ш/ = 8 перасякаюцца ў пункце, каардынаты якога адмоўныя?
282. Пры якіх значэннях a і b прамыя ах—у—Ь і 4х+3у = 10 зліваюцца ў адну прамую?
283. У якім выпадку аднародная сістэма ўраўненняў
—•.
f aiXjbly—0,
( а2х+Ь2у=0
а) мае толькі нулявое рашэнне, гэта значыць рашэнне х=0, '/ = 0;
б) мае ненулявое рашэнне, гэта значыць такое рашэнне (х0, Уо), што хаця б адзін з лікаў х0 і уо адрозны ад нуля?
77
284. Пры якіх значэннях а рашэнне сістэмы ўраўненняў
( 5x|3t/—a
задавалыіяе ўмове х<0, у>0?
285. 3 якой дакладнасцю можна знайсці х і у з сістэмы ўраўненняў
(2х—у=а,
(х\Зу = Ь, калі замест лікаў a і b вядомы іх набліжаныя значэнні з дакладнасцю да 0,01? Што можна вызначыць больш дакладна: х або у?
286. (Вусна.) Колькі розных рашэнняў мае кожная з сістэм ураўненняў:
6х — = 5,
а) ( 2х—у=0, г)
{Зх+4!/=1; —х^2(/ = —;
о
б)
в)
х+у = 5. 2х+2у=1;
7х+3(/ = 2, 7х—3у — а\
д) [ х—3,5t/ —0, ( 2х—7і/—0;
е) J 2х—Зу= 1, | ах\6у=2'?
287. а) Вядома, што ўраўненне ах~Ь мае бясконцае мноства кораняў. Ці вынікае адсюль, што любы лік Хо з’яўляецца коранем гэтага ўраўнення?
б) Вядома, што сістэма ўраўненняў
аіх+Ь1у=с1, а2х+Ь2у—с2
мае бясконцае мноства рашэнняў. Ці вынікае адсюль, што любая пара лікаў (х0| уо) з’яўляецца рашэннем гэтага ўраўнення?
288^ У якіх межах заключаны лікі т і п, якія задавальняюць сістэме ўраўненняў
tn—5n = a, 2m]3n^b,
калі 0,1<а<0,2, а 1,3<6<1,4?
Р а з д з е л II
САПРАЎДНЫЯ ЛіКі
§ 35. Рацыянальныя лікі
Першай матэматычнай аперацыяй, з якой сутыкнуўся чалавек, было лічэнне прадметаў. У выніку лічэння прадметаў атрымліваюцца цэлыя дадатныя лікі, якія інакш называюцца натуральнымі. Усе разам яны ўтвараюць натуральны pad лікаў:
1, 2, 3, 4 ...:
Пасля натуральных лікаў у матэматыку былі ўведзены darn
датныя Вробы, гэта значыць лікі выгляду —, дзе m і л адвольныя натуральныя лікі. Увядзенне гэтых лікаў у матэматыку было выклікана неабходнасшо рабіць вымярэнні.
КНІГІ ОНЛАЙН
