КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Некаторымі ірацыянальнымі лікамі матэматыкі карысталіся яшчэ ў старажытныя часы. Да іх прыводзілі задачы геаметрыі, якія не маглі быць рэшаны на падставе існаваўшай тады арыфметыкі. Аднак у тыя часы ірацыянальныя лікі разглядаліся не як раўнапраўныя з рацыянальнымі, а як якіясьці выключныя лікі, што парушаюць гармонію арыфметыкі і геаметрыі. Па гэтай прычынё 'некаторыя прапанавалі нават выключыць ірацыянальныя лікі з матэматыкі.
Строгая тэорыя ірацыянальных лікаў была пабудавана толькі ў другой палавіне XIX стагоддзя. Асноўная заслуга ў гэтым належыць нямецкім вучоным Дэдэкінду (1831—1916), Кантару (1845—1918) і Веерш т р ас у (1815—1897).
Практыкаванні
316.	а) Ці любы рацыянальны лік з’яўляецца сапраўдным? А~наадварот?
б) Ці любы ірацыянальны лік з’яўляецца сапраўдным? А наадварот?
317.	Даўжыня ці любога адрэзка выражаецца:
а)	рацыянальным лікам;
б)	ірацыянальным лікам;
в)	сапраўдным лікам?
§ 43. Параўнанне сапраўдных лікаў
У гэтым параграфе, гаворачы аб сапраўдных ліках, мы будзем дапускаць, што ўсе яны зададзены ў выглядзе бесканечных дзесятковых дробаў. Спачатку разгледзім толькі дадатныя лікі.
Два дадатныя сапраўдныя лікі называюцца роўнымі, калі ўсв адпаведныя дзесятковыя знакі іх аднолькавыя*. Калі ж адзін з лікаў змяшчае знак, які не супадае з адпаведным знакам дру
* Бесканечныя перыядычныя дзесятковыя дробы з перыядам 9 мы выключаем з разгляду.
98
гога ліку, то лікі называюцца няроўкымі. Напрыклад, лік 5,6389.,. не роўны ліку 3,6389...; лік 0,146... не роўны ліку 0,148 . . . і г. д.
Няхай а і 0* — не роўныя паміж сабой дадатныя сапраўдныя лікі. Калі цэлыя часткі гэтых лікаў розныя, то большым лічыцца той з іх, які мае большую цэлую частку. Напрыклад:
5,6348... > 3,9901 .,:;
1,0000... > 0,5777.’,. .
Дапусцім цяпер, што цэлыя часткі няроўных лікаў a і 0 роўныя паміж сабой. Тады параўнаем іх першыя пасля коскі дзесятковыя знакі. Калі знакі розныя, то большым будзе той з лікаў a і 0, у якім большы першы дзесятковы знак. Калі ж і гэтыя знакі аднолькавыя, то параўнаем другія пасля коскі знакі. Большым з лікаў a і 0 будзе той, у якога другі пасля коскі дзесятковы знак большы. Калі ж і гэтыя знакі аднолькавыя, то параўнаем трэція пасля коскі знакі і г. д. Рана ці позна мы прыйдзем да розных знакаў: у адваротным выпадку лікі a і 0 аказаліся б роўнымі адзін другому.
П р ы к л а д ы.
37,1269... > 37,0394...;
110,0057..: > 110,0049...;
0,3333 ... > 0,3332 ....
Цяпер пакажам, як параўноўваюцца паміж сабой адмоўныя сапраўдныя лікі. Два адмоўныя сапраўдныя лікі a : 0 называюцца роўнымі, калі роўныя іх абсалютныя значэнні:
|аМ0|.
Калі ж |а|#=|0|, то адмоўныя лікі a 1 0 называюцца няроўнымі. Напрыклад:
5,6389...#=3,6389... 5
0,146..’. ^0,147... ,
3 двух адмоўных лікаў большым лічыцца той, абсалютная велічыня якога меншая. Напрыклад:
— 37,1269 .. .< — 37,0394 . .. , паколькі 37,1269 . . .>37,0394. . .; — 0,3333 ... < —0,3332 ... , паколькі 0,3333 ... > 0,3332 ....
Нам засталося ўстанавіць, як параўноўваюцца паміж сабой сапраўдныя лікі розных знакаў.
Будзем лічыць, што любы дадатны лік болыйы за любы адмоўны лік і лік 0, а лік 0, у сваю чаргу, большы за любы адмоўны лік.
* a і 0 — грэчаскія літары; чытаюцца адпаведна: альфа і бэта.
4*
99
Практыкаванні
318.	Паміж дадзенымі лікамі паставіць адзін а наступных трох 'знакаў: >, <, —.
а)	5,63479 :., ^і 5,63497 ... ;
б)	3,4833 . ^ і 3,5829 . .. ;
в)	16,0010 . .хСі 16,0001	;
. 61
г)	15,25...^	1 4;
Д) 0	^ і —0,0003..'. ;
319.	Высветліць, які з двух дадзеных лікаў большы і які меншы (або паказаць, што гэтыя лікі роўныя адзін другому);
а)	71,7171,,< і 7,1717...;
б)	8	— і 0,375...;
х 5
в)	д сі і 0,5555... (адны пяцёркі);
г)	0,3333 .. ,^ і 4
§ 44. Геаметрычнае ізабражэнне сапраўдных лікаў
Геаметрычна сапраўдныя лікі, гэтак жа як і рацыянальныя, паказваюцца пунктамі прамой.
Няхай I — адвольная прамая, a О — некаторы яе пункт (гл. рыс. 58). Кожнаму дадатнаму сапраўднаму ліку а паставім у адпаведнасць пункт А, які ляжыць справа ад О на адлегласці ў a адзінак даўжыні.
Калі, напрыклад, a—2,1356..., то
2<а<3
2,1<а<2,2
2,130, і злева ад 0, калі а<0. Відавочна, што пры гэтым двум няроўным сапраўдным лікам будуць адпавядаць два розныя пункты прамой I. На самай справе, няхай ліку a адпавядае пункт А, а ліку £ — пункт В. Тады, калі a>p, то А будзе знаходзіцца правей В (рыс. 62, а); калі ж а<₽, то А будзе знаходзіцца лявей В (рыс. 62,6).
Гаворачы ў § 34 аб геаметрычным ізабражэнні рацыянальных лікаў, мы паставілі пытанне: ці любы пункт прамой можна разглядаць як геаметрычны вобраз некаторага рацыянальнага ліку? Тады мы не маглі даць адказу на гэта пытанне; цяпер жа мы можам адказаць на яго зусім пэўна. На прамой
aj
5)
8 д
^8
Рыс. 62.
Рыс. 63.
ёсць пункты, якія служаць геаметрычным ізабражэннем ірацыянальных лікаў (напрыклад, ^2). Таму не ўсякі пункт прамой абазначае рацыянальны лік. Але ў такім выпадку напрошваецца другое пытанне: ці любы пункт лікавай прамой можна разглядаць як геаметрычны вобраз некаторага сапраўднага ліку? Гэта пытанне рашаецца ўжо станоўча.
На самай справе, няхай A — адвольны пункт прамой /, які ляжыць справа ад 0 (рыс. 63). Даўжыня адрэзка ОА выражаецца некаторым дадатным сапраўдным лікам a (гл. § 41). Таму пункт А з’яўляецца геаметрычным вобразам ліку а. Аналагічна ўстанаўліваецца, што кожны пункт В, які ляжыць злева ад О, можа разглядацца як геаметрычны вобраз адмоўнага сапраўднага ліку — р, дзе р — даўжыня адрэзка ВО. Нарэшце, пункт 0 служыць геаметрычным ізабражэннем ліку 0. Зразумела, што два розныя пункты прамой / не могуць быць геаметрычным вобразам аднаго і таго ж сапраўднага ліку.
У выніку адзначаных вышэй прычын прамая, на якой дадзе102
ны ў якасці «пачатковага» некаторы пункт 0 (пры зададзенай адзінцы даўжыні), называецца лікавай прамой.
Вывад. Мноства ўсіх сапраўдных лікаў і мноства ўсіх пунктаў лікавай прамой знаходзяцца ва ўзаемна адназначнай адпаведнасці.
Гэта азначае, што кожнаму сапраўднаму ліку адпавядае адзін, зусім пэўны пункт лікавай прамой і, наадварот, кожнаму пункту лікавай прамой пры такой адпаведнасці адказвае адзін, зусім пэўны сапраўдны лік.
Практыкаванні
320.	Высветліць, які з двух пунктаў знаходзіцца на лікавай прамой лявей і які правей, калі гэтыя пункты адпавядаюць лікам:
а)	1,454545..,	і	1,455454...;
б)	—12,0003...	і	—12,0002...;
в)	0	і	1,56673...;
г)	13,24...	і	13,00... .
321.	Высветліць, які з двух пунктаў знаходзіцца на лікавай прамой далей ад пачатковага пункта О, калі гэтыя пункты адпавядаюць лікам:
а)	5,2397. .. і 4,4996 . .. ;
б)	15,0001	і 15,1000.,.;
в)	0,3567 ...	і 0,3557 ....
322.	У гэтым параграфе было паказана, што для пабудавання адрэзка даўжынёй у V п пры дапамозе цыркуля і лінейкі можна зрабіць наступнае: спачатку пабудаваць адрэзак даўжынёй у V 2, затым адрэзак даўжынёй у V 3 і г. д., пакуль не дойдзем да адрэзка даўжынёй у 1' п. Але пры кожным фіксаваным п^З гэты працэс можна паскорыць. Як бы, напрыклад, вы пачалі будаваць адрэзак даўжынёй у / Гб?
323*. Як пры дапамозе цыркуля і лінейкі знайсці па лікавай
1
прамон пункт, які адпавядае ліку —, калі становішча пункта, які адпавядае ліку а, вядома?
§ 45.	Дзесятковыя набліжэнні сапраўдных лікаў
Няхай а ёсць некаторы дадатны сапраўдны лік, дадзены ў выглядзе бесканечнага дробу. Спачатку мы дапусцім, што гэты дроб не з’яўляецца перыядычным з перыядам 0, (Напрыклад, у якасці a не можа выступаць лік 0,5 = 0,5000 ... .) Тады дзесятковыя набліжэнні ліку a з недахопа.ч вызначаюцца як лікі, якія