Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Практыкаванні
331. Дадзеныя здабыткі запісаць у выглядзе дзесятковых дробаў, указаўшы не менш двух правільных знакаў пасля коскіі ^а) /"2 • /1; дДij • /1;
(б) /2 • A; е) ^ (/1);
в) (/I) • /1; Ж) A • (/*6);
і г) ў^ • (/5); з) ’ / 2 • / 3.
332. Знайсці некалькі першых дзесятковых набліжэнняў (з недахопам і з лішкам) для сапраўдных лікаў:
а) ± . О б) /1 ■ /7; в) /1 • (/7).
333. Зыходзячы з азначэння здабытку сапраўдных лікаў, даказаць, што для любога ліку a
a 1 = о.
ill
334. Ці заўсёды здабытак двух бесканечных дзесятковых неперыядычных дробаў з’яўляецца неперыядычным дробам?
§ 48. Адыманне і дзяленне сапраўдных лікаў
Лсноўнымі алгебраічнымі дзеяннямі ў мностве ўсіх сапраўдных лікаў, гэтак жа як і ў мностве ўсіх рацыянальных лікаў, з’яўляюцца складанне і множанне. Што ж датычыцца адымання і дзялення, то гэтыя дзеянні вызначаюцца як адваротныя ў адносінах да дзеянняў складання і множання.
1. Адыманне сапраўдных лікаў
Рознасцю a—р двух сапраўдных лікаў a і р называецца такі лік у, які ў суме з р дае a.
Іншымі словамі, рознасць a—0 вызначаецца як корань ураўнення
P+x=a. (1)
Як і ў выпадку рацыянальных лікаў (гл. § 36), ураўненне (1) заўсёды мае і прытым адзінае рашэнне. Такім чынам, для любых сапраўдных лікаў а і $ рознасць « — р існуе і вызначана адназначна.
Пакажам, напрыклад, як могуць быць знойдзены набліжаныя значэнні рознасці
Замяніўшы ў гэтым выразе лік V' 2 яго любым дзесятковым набліжэннем з недахопам (1; 1,4; 1,41; 1,414; ...), а лік^—яго любым дзесятковым набліжэннем з лішкам (1; 0,4; 0,34; 0,334; ...), мы атрымаем, відавочна, набліжанае значэнне рознасці ]/2з недахопам. Наадварот, калі ў выразе ]/ 2лік р^ 2 замяніць яго любым дзесятковым набліжэннем з лішкам (2; 1,5; 1,42; 1,415; ...), а лік ^яго любым дзесятковым набліжэннем з недахопам (0; 0,3; 0,33; 0,333; ...), то атрыманая рознасць будзе, відавочна, уяўляць сабой набліжанае значэнне У 2 з лішкам. У прыватнасці,
1 — 1 <К2 —4<2О,
112
або
Гэта вельмі грубая няроўнасць. Для атрымання больш дакладны.х даных аб рознасці )^ 2~ возьмем іншыя набліжэнні
о
/■2 і
1,4 — 0,4 < < 1,5 — 0,3,
або
1,0 < 1.2.
Гэта няроўнасць дае ўжо значна больш інфармацыі аб рознасці 1 2—^. 3 яе, у прыватнасці, вынікае, што з дакладнасцю да 0,1
Калі такая дакладнасць нас не задавальняе, мы можам прадоўжыць нашы разважанні:
1,41—0,34 што з яўляецца квадратам ліку — 7 У рэзультаце атрымаем
/ b № \ Ь2 с
ах2 + Ьх + с = а х2 4 2 • ^— ■ х 4 4
\ 2a 4a2 / 4a2 a
Заўважаючы цяпер, што
+ 2 2a + 4a2 \ + 2a / ’
117
атрымліваем
ах2 + bx \ с — a
b
2а .
2 Ь2
с
4а2 г a
= a
Ь 2а
2 Ь2 — 4ас 4а2
6 V Ь2 — 4ас
2а
4а
Такім чынам.
а№ + 6х + с = а х + ^—
2 Ь2 — 4ас
4а
(1)
Пераўтварэнне квадратнага трохчлена да выгляду ваецца вылучэннем поўнага квадрата. Пакажам гэта
(1) назыпераўтва
рэнне
на некаторых
прыватных прыкладах:
1)
— 2х2 — 4х + 5
= _ 2іх2+ 2х—
= — 2 [(х2
4 2х
1 + 1)1~|
7
= 2 (х+1)2т =~2(х+1)2 + 7.
X'
.2
л__5х + 7 = * (х2 15х + 21) = о □
2)
2 о 15
х 2т
225
4
^ 4
421
Практыкаванні
Вылучыць поўны квадрат у наступных выразах (№ 354—361):
354.
355.
2х2+4х—3.
4~х24х+16.
W
358. (х—2)(х—4).
359. й?4й2х+4й3+3.
356. —5х2+20х—13. 360. 6й2х9й3йх2+й1(
357^0,5х0,25х22,25. 361. (х+а)(х+&). )
362. Даказаць, што квадратны трохчлен х2+х+1 пры ўсіх значэннях х прымае дадатныя значэнні.
363. Даказаць, што квадратны трохчлен —Зх2+12х—13 пры ўсіх значэннях х прымае адмоўныя значэнні.
118
§ 50. Квадратныя ўраўненні
Ураўненні выгляду
ах2\Ьх\с=0,
(1)
дзе х — невядомая велічыня, а, Ь, с — дадзеныя лікі (а^О), называюцца квадратнымі.
Вылучаючы ў левай частцы квадратнага ўраўнення поўны квадрат (гл. формулу (1) § 49), атрымліваем
або
а х
b2 — 4ас
= 0,
(2)
Відавочна, што ўраўненне (2) эквівалентна ўраўненню (1) (гл. § 2). Ураўненне (2) можа мець сапраўдныя корані толькі тады, калі———^О, або Ь2—4ас^0 (паколькі 4а2>0),
3 прычыны той асобай ролі, якую адыгрывае выраз D = b2— —4ас пры рашэнні ўраўнення (1), гэтаму выразу дадзена спецыяльная назва — дыскрым.інант квадратнага ўраўнення ax2tbxjc — 0 (або дыскрымінант квадратнага трохчлена ах2\Ьх}с). Такім чынам, калі дыскрымінанш квадратнага ўраўнення адмоўны, то ўраўненне не мае сапраўдных кораняў.
Калі ж D — b2—4ac'^0, то з (2) атрымліваем
. b , л Г ^ — 4ас , V Ь2 — 4ас х + = ± = ±о.
2а ~ у 4а2 2а
або
— b±v b2 — 4ас —b + VD
* ~ 2а ~ 2а '
Калі дыскрымінант квадратнага ўраўнення неад.моўны, то гэта ўраўненне мде два сапраўдныя корані. Яны запісваюцца ў выглядзе дробу, у лічніку якога стаіць каэфіцыент ураўнення пры х, узяты з адваротным знакам, плюсмінус корань квадратны з дыскрымінанта, а ў лтггЕУ — падвоены каэфіцыент пры х2.
Калі дыскрымінант кв&драгпнага ўраўйгння дадатны, то ўраўненне мае два розныя сапраўдныя корані:
b + V D b V D
Х' =2^ 1 Х^й
119
Калі дыскрымінант квадратнага ўраўнення роўны нулю, то ўраўненне мае два роўныя сапраўдныя корані:
b
Х1 = Х2 = "27
(У гэтым выпадку часам гавораць, што ўраўненне мае адзін b \
корань х 2^. I
П р ы к л а д ы.
1) Для ўраўнення 2х2—х—3=0 дыскрымінант D=(—l)2—
—42(—3) =25>0. Ураўненне мае два розныя корані:
1 + /25 3
%1 ~ 4 “ 2 ’
КНІГІ ОНЛАЙН
