Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
305. Назавіце некалькі натуральных лікаў, квадратныя корані з якіх былі б рацыянальнымі лікамі.
306. Дакажыце, што калі корань квадратны з натуральнага ліку з’яўляецца рацыянальным лікам, то гэты рацыянальны лік з’яўляецца абавязкова цэлым.
92
307. Дакажыце, што ўраўненне х3=5 у мностве рацыяналь ных лікаў не мае кораняў.
§ 40 Сувымерныя і несувымерныя адрэзкі
Адрэзак Д называецца агульнай мерай адрэзкаў Ді і Дг, калі ён укладваецца цэлы лік разоў у кожным з гэтых адрэзкаў. Напрыклад, адрэзак EF, паказаны на рысунку 54, укладваецца ў АВ 2 разы, а ў CD — 3 разы. Таму ён з’яўляецца агульнаіі мерай адрэзкаў AB і CD. Аналагічна гэтаму адрэзак Дг, паказаны на рысунку 55, з’яўляецца агульнай мерай адрэзкаў Ді і Дг, таму што ў Ді ён укладваецца 4 разы, а ў Д2 (у самім сабе)— адзін раз.
4*___?
Рыс. 55.
Рыс. 54.
Ці любыя два адрэзкі маюць агульную меру? Адказ на гэта пытанне будзе дадзен некалькімі радкамі ніжэй. А пакуль мы ўвядзём яшчэ адно азначэнне.
Два адрэзкі, якія маюць агульную меру, называюцца сувымернымі, а якія не маюць агульнай меры,— несувымернымі.
Цяпер пытанне аб тым, ці любыя два адрэзкі маюць агульную меру, можна перафразіраваць такім чынам: ці любыя два адрэзкі з’яўляюцца сувымернымі? Наступная тэарэма дае адмоўны адказ на гэта пытанне.
Тэарэма.
гіая з яго
Дыяганаль любога квадрата несувымерстараной.
Д о к а з будзем праводзіць метадам ад адваротнага. Дапусцім, што дыяганаль AC квадрата ABCD (рыс. 56) сувымерная з яго стараной АВ. Тады існуе агульная мера гэтых адрэзкаў, гэта значыць адрэзак, які ў АВ укладваецца роўна п разоў, а.ў AC — роўна т разоў. Калі прыняць гэты адрэзак за адзінку даўжыні, то даўжыня АВ выразіцца лікам п, а даўжыня AC — лікам т.
На дыяганалі AC пабудуем новы квадрат ACEF, як паказана на рысун
ку 56. Відавочна, што плошча гэтага квадрата ў два разы большая за плошчу квадрата ABCD:
Sacef = ^Sabcd,
93
але
SaRCD = п2, a Sacef = т2.
Таму m2 = 2пг, адкуль
Але гэта роўнасць супярэчыць тэарэме, даказанай у папярэднім параграфе: «Не існуе рацыянальнага ліку, квадрат якога роўны 2».
Значыць, наша зыходнае дапушчэнне няправільнае. Застаецца прызнаць, што дыяганаль любога квадрата несувымерная з яго стараной.
Цяпер мы можам зрабіць два важныя для далейшага вывады.
1. Калі адрэзак CD сувымерны з адзінаай даўжыні АВ, пю даўжыня яго не выражаецца ніякім рацыянальным лікам.
Сапраўды, з прычыны таго, што адрэзкі AB і CD сувымерныя, знойдзецца трэці адрэзак EF, які ў АВ укладваецца роўна п разоў, а ў CD роўна tn разоў. Але ў такім выпадку пя частка адрэзка АВ павінна ўкладвацца ў CD роўна т разоў. Таму т
даўжыня CD выражаецца рацыянальным лікам —.
2. Калі адрэзак CD несузымерны з адзінкай даўжыні АВ, то даўжыня яго не выражаецца ніякім рацьіянальным лікам.
Сапраўды, калі б даўжыня адрэзка CD выражалася некатор
рым рацыянальным лікам, напрыклад —, то^я доля адрэзка
АВ укладвалася б у AB q разоў, a ў CD р разоў. Але ў такім выпадку
КНІГІ ОНЛАЙН
