Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
2) Для ўраўнення Зх2—6х+3=0 D=(—6)2—433 = 0. Гэта ўраўненне мае два роўныя сапраўдныя корані:
6 1
Х1 *2 23
3) Для ўраўнення 5х2+4хН~7=0 О=42—457= —124<0. Гэта ўраўненне не мае сапраўдных кораняў.
4) Высветліць, пры якіх значэннях а квадратнае ўраўненне х2+«х+1=0:
а) мае два роўныя корані;
б) мае два розныя корані;
в) зусім не мае кораняў.
Дыскрымінант дадзенага квадратнага ўраўнення роўны О=а2—4.
Пры |а|=2 Д = 0; у гэтым выпадку ўраўненне мае два роўныя корані. Пры |а|>2 D>0; у гэтым выпадку ўраўненне мае два розныя корані. Нарэшце, калі |а|<2, то дадзенае ўраўненне не мае кораняў.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні (№ 364. 6х2—х—1=0.
365. Зх2—5х+1=0.
366. х2—х+1=0.
364369):
367. —х2+8х16=0.
368. 2х2—12х+12=0.
369. 2х—х2—6=0.
120
370. Ці можна лік 15 запісаць у выглядзе сумы двух складаемых так, каб іх здабытак быў роўны 70?
371. Пры якіх значэннях а ўраўненне
х2—2ах\а{\\а) —0:
а) мае два розныя корані;
б) мае толькі адзін корань;
в) не мае кораняў?
372. Пры якіх значэннях а ўраўненне
(1—а)х2—4ах+4(1—а) =0:
а) не мае кораняў;
б) мае не больш аднаго кораня;
в) мае не менш аднаго кораня?
373. Пры якім значэнні а ўраўненне х2+ах+1=0 мае адзіны корань? Чаму ён роўны?
374. У якіх межах знаходзіцца лік а, калі вядома, што ўраўненні х2+х+а=0 і х2+х—а=0 маюць аднолькавы лік кораняў?
375. Што вы можаце сказаць аб велічыні а, калі ўраўненні 4а(х2+х)=а—2,5 і х(х—1) = 1,25—а маюць аднолькавы лік кораняў?
376. Поезд быў затрыманы на станцыі на t мін. Каб нагнаць страчаны час, машыніст павялічьгў скорасць на а км/гадз і на ііаступным перагоне ў b км. ліквідаваў спазненне. 3 якой скорас!ію поезд ішоў да затрымкі на станцыі?
377. Два пад’ёмныя краны, працуючы разам, разгрузілі баржу за t гадз. За які час можа разгрузіць баржу кожны кран паасобку, калі адзін з іх траціць на гэта на а гадз менш, чым другі?
378. Адзін з заводаў выконвае некаторы заказ на 4 дні хутчэй, чым другі. За які час можа выканаць заказ кожны завод, працуючы асобна, калі вядома, што пры сумеснай рабоце за 24 дні яны выканалі заказ у 5 разоў большы?
Рашыць ураўненні (№ 379, 380).
(Звярніце ўвагу на тое, што ў гэтых ураўненнях невядомае змяшчаецца ў назоўніках дробаў. Атрыманыя корані неабходна будзе праверыць!)
®^ + ^ = 4г+''
380. 4— =2+4^Т.
х\а а—х а2—х2
381*. Пры якіх значэннях а ўраўненні
х2+ах+1—0 і х2+х+а=0
маюць хаця б адзін агульны корань?
121
§ 51. Прыватныя віды квадратных ураўненняў
У гэтым параграфе мы вывучым некаторыя найбольш важныя прыватныя віды квадратных ураўненняў. Пры гэтым кожны раз, не гаворачы аб гэтым спецыяльна, мы будзем дапускаць, што дыскрымінант разглядаемага квадратнага ўраўнення неадмоўны.
1. Ураўненне з цотным каэфіцыентам пры х. Калі ва ўраўненні ах2 + 6х + с = 0 каэфіцыент пры х мае выгляд b — 2k (напрыклад, b = 4, b = 2 \^ 2 і г. д.), то формула для кораняў гэтага ўраўнення некалькі спрошчваецца.’ Падставіўшы ў суадносіну ________________________________
— b + V Ь2 — 4ас
*= 2а '
замест Ь лік 2k, атрымаем
— 26 + |/ 4k2 — 4ас — k + V k2 — ас х = _..
a
Такім чынам, корані квадратнага ўраўнення ax2\2kx\c = Q можна запісаць у выглядзе дробу, у лічніку якога палавіна каэфіцыента пры х, узятага з процілеглым знакам, плюсмінус корань квадратны з квадрата гэтай палавіны безздабытку каэфіцыента пры х2 і свабоднага члена, а ў • л'ІЧнік^—каэфіцыент пры х2. k4by?'<^*cvty
Напрыклад, каб рашыць ураўненне
5х2—16х+3 = 0, няма неабходнасці прымяняць агульную формулу — b + УЬ2 — 4ас х ==—~—.
У дадзеным выпадку трэба аддаць перавагу даказанай вышэй формуле
— k + V k2 — ас
Скарыстоўваючы яе, атрымаем
8 + / 64 — 15 8 ± ] 49 8 ± 7
5 " 5 ~ 5 ;
Xj = і; ,х2 = 3.
2. Прыведзенае квадратнае ўраўненне. Квадратнае ўраўненне пазываецца прыведзеным, калі каэфіцыент пры х2 роўны 1. Агульны выгляд прыведзенага квадратнага ўраўнення такі:
122
x2+px+q=0, ц)
дзе р \ q — некаторыя корані.
Дапускаючы ў агульнай формуле для кораняў квадратнага ўраўнення
— b + У Ь'~ — 4ас X =
а=1, b—p і c—q, атрымаем формулу для кораняў прыведзенага квадратнага ўраўнення:
2 “ 2 * Г 4 “
Такім чынам,
Корані прыведзенага квадратнага ўраўнення роўны палавіне каэфіцыента пры х, узятага з процілеглым знакам, плюсмінус корань квадратны з квадрата гэтай палавіны без свабоднага «*лена.
Прыклад. Няхай х244х—12=0.
Тады
х = — 2 + р 4 + 12 = — 2 + 4, або
Хі = 2; х2——6.
3 а ў в а г а. Любое квадратнае ўраўненне м8фЬфс=0 можна звесці да прыведзенага квадратнага ўраўнення пры дапамозе дзялення на а:
ах2{Ьх\с=0,
х24—— х4—~ =0. a a
Практ ыкаеа нні
382 . Рашыць ураўненні, скарыстоўваючы ў кожным выпадку найбольш зручную формулу:
а) Зх25х+2=0; г) х2+7х30 = 0;
б) Зх220х52 = 0; д) 5х2+9х14=0;
в) х210x424 = 0; е) 4х2х+Ю = 0.
123
§ 52. Тэарэма Віета
У § 51 мы атрымалі наступныя формулы для кораняў прыведзенага квадратнага ўраўнення з неадмоўным дыскрымінантам:
2 + 2 / q х2 — 2 V ўУ) ~ ^'
3 іх вынікае, што
хі+х2=—р,
^ ■ ^ н+j/(l Н ■ Н /Ш' Здабытак сумы двух лікаў на іх рознасць роўны рознасці квадратаў гэтых лікаў. Таму
*іха = (^ ~[У \^] —Р) = Ч
Такім чынам,
Хі фХг = — р, х^ ■ х2 = q.
Калі прыведзенае квадратнае ўраўненне мае сапраўдныя корані, то сума іх роўна каэфіцыенту пры х, узятаму з процілеглым знакам, а здабытак—свабоднаму члену гэтага ўраўнення.
Гэта ўласцівасць кораняў прыведзенага квадратнага ўраў. нення носіць назву тэарэмы Віета*.
Прыклад. Для ўраўнення х2—7х—8=0 D=81>0. Таму ўраўненне мае два розныя сапраўдныя корані Хі і х2. Па тэарэме Віета
^і+х2=7, хіх2=—8.
Прапануем вучням рашыць дадзенае ўраўненне і пераканацца ў справядлівасці атрыманых намі суадносін.
Квадратнае ўраўненне агульнага выгляду ах2{Ьх]с=0 дзяленнем на а зводзіцца да прыведзенага квадратнага ўраўнення
х2+ — х+ — =0. a a
Калі зыходнае ўраўненне ах2[Ьх\с—0 мае сапраўдныя корані Хі і х2, то ўраўненне х2+ ~х+“ =® павінна мець тыя ж
* Віет (1540—1603) —французскі матэматык.
124
самыя корані Хі і х2. Пры гэтым па тэарэме Віета павінна быць b с
Х1+Х2 =, Х1'Х2 =—
a a
Прыклад. Ураўненне 2х2—2х—3=0 мае дыскрымінант
D=28>0. Таму яно мае два сапраўдныя корані хі і х2, прычым
__2 3 3
Хі+х2=2~=1; ХгХ2= ^ =—Т'
Прапануем вучням рашыць дадзенае ўраўненне і пераканацца ў справядлівасці атрыманых суадносін.
У далейшым нам патрэбна будзе тэарэма, адваротная тэарэме Віета. Фармулюецца яна наступным чынам.
Калі існуюць сапраўдныя лікі Хі і х2 такія, што Хі + х2^ — р, х^ х2 = q, то гэтыя лікі (Xl і х2) з’яўляюцца коранямі квадратнага ўраўнення х2 + рх + q=0.
Д о к а з. Калі Хі+х2=—р, то х2=—р—Хі. Падстаўляючы гэты выраз для х2 у суадносіну Хіх2=^, атрымліваем
Хі(—Р — хі) = Р> — рхі — Xt = q, х^ + рх! + q = 0.
Але гэта азначае, што лік Хі з’яўляецца коранем ураўнення х2+рх+7 = 0. Аналагічна даказваецца, што коранем гэтага ўраўнення з’яўляецца і лік х2. Аднак гэта і так зразумела: лікі ж Х| і х2 уваходзяць у фармулёўку нашай тэарэмы зусім сіметрычна.
Прахтыкаванні
383. (Вусна.) Рашыць ураўненні:
1) х2—Зх+2=0; 2) х2+99х—100=0;
3) х2+548х549=0; 4) х2+6х5 = 0;
5) —х2—7х+8=0; 6) х27х+12=0;
7) Зх2+х—2=0; 8) х2—5х+6=0.
384. Абазначым праз Хі і х2 корані ўраўнення х2—7х+10 = 0.
He знаходзячы гэтых кораняў, вызначыць:
\ 2 , 2 .3,3 \ , 1
a) Х1 + х2; б) Хі + х2; в)1;
Xj %2
125
385. Toe ж, што і ў задачы 384, зрабіць для ўраўнення Зх2+х+24=0.
386. Пры якіх значэннях х выраз (х—1)(х+5) роўны (аП(а+5)?
387; Даказаць, што корані ўраўнення ах2{Ьх\а=0 (калі тольді яны існуюць!) уяўляюць сабой узаемна адваротныя лікі.
388.' Вызначыць лік т так, каб ураўненне
х2—12х+т = 0
мела два сапраўдныя корані, адзін з якіх большы за другі на
389. Вызначыць лік а так, каб адзін з кораняў ураўнення 4х2—15х+4а3=0
быў квадратам другога.
390. Пры якіх значэннях а ўраўненне
х2—4х+« —0
мае:
а) сапраўдныя корані;
б) сапраўдныя корані аднаго знака;
в) сапраўдныя корані розных знакаў;
г) адзін корань нулявы, а другі — дадатны;
д) адзін корань нулявы, а другі — адмоўны?
§ 53. Даследаванне знакаў кораняў квадратнага ўраўнення па яго каэфіцыентах
Выкарыстоўваючы тэарэму Віета, можна, не рашаючы ўраўнення х2+рх+7 = 0, вызначыць, якімі будуць яго корані — дадатнымі ці адмоўнымі. Але пры гэтым, безумоўна, трэба быць упэўненым у тым, што разглядаемае ўраўненне мае корані. Калі ж кораняў няма, то гаварыць аб знаках кораняў не мае сэнсу. Таму на працягу ўсяго гэтага параграфа мы будзем дапускаць, што разглядаемае прыведзенае квадратнае ўраўненне х2+рх+ 4^ = 0 мае корані, гэта значыць дыскрымінант яго неадмоўны.
1) Няхай 7>0, тады абодва корані маюць аднолькавыя знакі, паколькі Хіх2=?>0. Калі да таго ж р<0, то х1+х2=—р>0 і, значыць, абодва корані дадатныя. Калі ж р>0, то хі+х2= = —р<0, і тады абодва корані адмоўныя. У выпадку, калі р=0, ураўненне не будзе мець сапраўдных кораняў, таму што сума двух дадатных або двух адмоўных лікаў не можа быць роўна нулю.
2) Дапусцім цяпер, што ^<0. Тады адзін з кораняў павінен быць дадатным, другі — адмоўным, паколькі Хіх2=7<0. Калі пры гэтым р>0, то Хі+^2——р<0 і, значыць, абсалютная велічыня адмоўнага кораня больш дадатнага кораня. Калі ж
126
р<0, то хі+х2 = —р>0. Гэта магчыма толькі тады, калі дадатны корань больш абсалютнай велічыні адмоўнага кораня. Пры р=0 х1+х2=0, адкуль Хі = —х2. У гэтым выпадку корані роўныя па абсадютнай велічыні і процілеглыя па знаку.
'З) Засталося разгледзець выпадак, калі ^=0. Тады Хіх2=0, таму хаця б адзін з кораняў роўны нулю. Няхай для пэўнасці Хі=0; тады другі корань знойдзецца з умовы хі+х2=—р, адкуль Х2=—р Значыць, у гэтым выпадку адзін корань роўны нулю, а другі з’яўляецца лікам, процілеглым каэфіцыенту р. Калі ж і р=0, то ўраўненне мае два роўныя корані: хі=х2=0.
Атрыманыя рэзультаты даследавання знакаў кораняў дадэены ў табліцы.
9 > 0 <7 < 0 9 = 0
р > 0 р < 0 Р = о | Р>0 р < 0 р = 0
Xj < 0 Хг<0 X] >0 х2>0 Гэты выпадак нсмагчымы з прычыны зыходнага дапушчэння, што D > 0 Корані розных знакаў: *1 < о, *2 > ° 1 *1 1 > *2 Корані розных знакаў: Xj < 0, х2 > 0, 1 *1 1 < *2 Корані ўзаемна процілеглыя: %! = — х2 Xj= 0 *2= —Р
Яшчэ раз адзначым: дадзеныя тут разважанні правільныя толькі ў дапушчэнні, што даследуемае ўраўненне мае сапраўдныя корані, гэта значыць яго дыскрымінант неадмоўны.
КНІГІ ОНЛАЙН
