КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

рабала у=ах2\Ьх\с не перасякае восі х і размешчана цалкам вышэй восі х (рыс. 83). Гэта азначае, што ў дадзеным выпадку няроўнасць ах2\Ьх[с>0 выконваецца пры любых значэннях х.
Калі D = b2—4ac>0, то парабала у—ах2\Ьх\с перасякае вось х у двух пунктах (рыс. 84) з абсцысамі:
— Ь — 1/ Ь2 — 4ас .	— b \ V Ь2 — 4ас
X, =  „1 Х2 = S~ •
1	2й	'	2а
Таму ах2+&х+с>0 пры х<%ь а таксама пры х>%2.
142
Нарэшце, калі D=b2—4ac=0, то трохчлен ax2\bx\c мае b .	.
два роўныя корані ^ = х2 =’■ такім чь1нам, можа быць
дадзены у выглядзе a I х +	1 •
У гэтым выпадку парабала у — ах2 + Ьх \ с датыкаецца да восі х у пункце з абсцысай —~— (рыс. 85). Таму ах2 [ Ьх + с> 0 „ .	b
пры ўсіх значэннях х, акрамя х ^.
В ы п а д а к 2. а<0. У гэтым выпадку парабала у=ах2\\bx\c накіравана ўніз (гл. § 57).
Калі D = b2—4ac<0, то ўраўненне ax2\bx\c—Q не мае сапраўдных кораняў і, значыць, парабала у—ах2\Ьх\с ляжыць цалкам ніжэй восі х (рыс. 86). Таму няроўнасць ах2\Ьх[с>0
не выконваецца ні пры якім значэнні х. Калі D = Ь2 — 4ас > 0, то параба
ла у = ах2 + Ьх + с перасякае вось х у двух пунктах з абсцысамі
— Ь \ УЬ2 — 4ас
Х1 ~ 2о ’
— b — Vb2 — 4ac ~	2а
(рыс. 87). У гэтым выпадку ах2 + + йх + с > 0 пры тых значэннях х, якія размешчаны паміж коранямі ўраўнення ax2 4 &х + с = 0, гэта
значыць пры
^І < ^ < ^2
Нарэшце, калі D — b2—4ac—0, то парабала у — ах2\Ьх\с датыкаецца да восі х у пункце з абсцысай х=(рыс. 88).
143
У такім выпадку няроўнасць ах2[Ьх\с>0 не выконваецца ні пры якіх значэннях х.
Заўвага 1. 3 разгледжанага вынікае, што калі дыскрымінант квадратнага трохчлена ах2\Ьх\с дадатны, то гэты трохчлен можа прымаць як дадатныя, так і адмоўныя значэнні. Калі ж дыскрымінант адмоўны, то ўсе значэнні квадратнага трохчлена маюць адзін і той жа знак, а іменна знак каэфіцыснта пры х2.
3 а ў в a г a 2; Пры рашэнні няроўнасці ах2+6х+с>0 няма неабходнасці дакладна будаваць парабалу у=ах2\Ьх\с (напрыклад, зусім не трэба шукаць вяршыню парабалы, пункт перасячэння з воссю у і г, д.), Дастаткова толькі груба ўявіць сабе гэту крывую. Толькі адно патрэбна зрабіць выключна дакладна — гэта знайсці корані трохчлена ах2ДЬх}с (пры D>0).
§ 62. Прыклады рашэння квадратных няроўнасцей
Прыклад 1. Рашыць няроўнасць 2х2+4х—6>0.
Квадратны трохчлен 2х2+4х—6 мае два сапраўдныя корані Хі = —3, х.2=1. Таму парабала у = 2х244х—6 перасякае вось х у двух пунктах, абсцысы якіх роўны —3 і 1. Паколькі каэфіцыент пры х2 больш нуля, парабала р —2х2+4х—6 накіравана ўверх (рыс. 89). 3 рысунка бачна, што трохчлен 2х2+4х—6 дадатны пры х<—3 і пры х>1.
Прыклад 2. Рашыць няроўнасць —х2+х—1>0.
Дыскрымінант квадратнага трохчлена —х2+х—1 адмоўны: D — —3. Таму пры ўсіх х значэнні функцыі у=—х2+х—1 маюць адзін і той жа знак, а іменна знак каэфіцыента пры х2, гэта значыць мінус. Такім чынам, няроўнасць —х2+*—1>0 не выконваецца ні пры якіх значэннях х.
П р ы к л а д 3. Высветліць, пры якіх значэннях х дроб х2_|2х_3
—~— дадатны і пры якіх — адмоўны,
14!
Спачатку дадзеным вышэй спосабам вызначым знакі лічніка і назоўніка дадзенага дробу, а затым параўнаем іх.
Лічнік х2+2х—3 дадатны пры х<—3 і пры х>1 і адмоўны пры —3<х<1 (рыс. 90, верхняя лікавая вось). Назоўнік 2х—х2 дадатны пры 0<х<2 і адмоўны пры х<0 і пры х>2 (рыс. 90, ніжняя лікавая вось). 3 рысунка 90 бачна, што дадзены дроб будзе да 4 3 2 1 0 1 2 3 датны пры —3<х<0 (у гэтым вы	“*—*——*■—'• вЖйа
падку лічнік і назоўнік адмоўныя)
і пры 1<х<2 (у гэтым выпадку ^^^
лічнік і назоўнік дадатныя); адмоў	°
ным ён будзе пры х<—3 (лічнік	Рыс 90
дадатны, назоўнік адмоўны), пры
0<х<1 (лічнік адмоўны, назоўнік дадатны) і пры х>2 (лічнік дадатны, назоўнік адмоўны),
Практьікаванні
Рашыць дадзеныя няроўнасці (№ 439—446)1
439. х24х+3>0.
440. х2—6х+5<0.
441. 5х2+Зх+2>0.
442. х(1—х)>0.
443. х2+х+К0.
444д х2—х+1^0.
445. х2—6х+10<0.
446. Зх2+2х+1>0.
447.	Знайсці цэлыя значэнні х, якія задавальняюць няроўнасці
4х2+4х3<0.
Рашыць няроўнасці (№ 448, 449):
450.	Знайсці цэлыя значэнні х, якія задавальняюць сістэме няроўнасцей
х2 — 6х + 5
— Зх2 + 2х —’
^<ів. л^
Пры якіх значэннях а дадзеныя няроўнасці (№ 451, 452) за
давальняюцца для ўсіх значэнняў х:
451.	(я—1)х2—(apljx^fflpl)>0.
452.	(a—2)x2+2(2a—3)х+5а—6<0?
453.	Пры якіх значэннях а ўраўненне
мае сапраўдныя корані?
(a3)x22(3a4)x+7a6 = 0
145
454.	Пры якіх значэннях а ўраўненне
5(а+4)х2 10x40 — 0 мае:
а)	сапраўдныя корані;
б)	сапраўдныя корані аднаго знака;
в)	сапраўдныя корані розных знакаў?
455.	He рашаючы ўраўнення
х2— (а+О^Ч* (За—5) =0, вызначыць знакі яго кораняў.
§ 63. Рашэнне некаторых сістэм ураўненняў
У гэтым параграфе мы разгледзім некаторыя тыповыя сістэмы ўраўненняў, рашэнне якіх зводзіцца да рашэння квадратных ураўненняў.
Прыклад 1. Рашыць сістэму ўраўненняў
/ х24*3у2—ху—2x41 =0, |х^=1.
Паколькі другое ўраўненне гэтай сістэмы лінейнае адносна кожнай з пераменных х і у, то адна з гэтых пераменных, напрыклад у, лёгка выражаецца праз другую:
1/=*—1.
Падстаўляючы гэты выраз для у у першае ўраўненне сістэмы. атрымліваем	ч
х2+3 (х1) 2х (х1) 2x41=0, адкуль
4
Зх2—7x44 = 0; Хі=—; х2=1.
Гэтым значэнням х згодна з другі.м ураўненнем сістэмы адпавядаюць наступныя значэнні у:
1/і=4~; 1/2 = 0.
Такім чына.м, дадзеная сістэма ўраўненняў мае два рашэнні:
4	1 •	1	п
Хі=у; уі= — 1 г2=1; 1/2 = 0.
Прыклад 2. Рашыць сістэму ўраўненняў:
f 14х2—5ху43у2= 16,	(1)
( 6х2—ху4у2=8.
148
Характэрная асаблівасць гэтай сістэмы ўраўненняў заключаецца ў тым, што яна змяшчае толькі выразы х2, у2 і ху, сумарная ступень х і у у якіх пастаянная і роўная 2.
Для рашэння дадзенай сістэмы выканаем наступныя пераўтварэнні. Ад першага ўраўнёння сістэмы (1) адымаем другое, памножанае на 2. У рэзультаце атрымаем ураўненне
2х2Зху+у2=0, (2)
правая частка якога роўна 0.
Заўважым, што х^О. У процілеглым выпадку з (2) вынікала б, што у = 0, а гэта яўна супярэчыць ураўненням сістэмы (1). Але калі х^О, то ўраўненне (2) можна пачленна падзяліць на х2, што дае
Мы атрымалі квадратнае ўраўненне адносна ^, 3 яго вынікае, што або — = 1, або — =2.
Разгледзім гэтыя два выпадкі асобна.
1	) Калі “ —1, то У=х. Замена у у першым ураўненні дадзенай сістэмы на х прыводзіць да наступнага рэзультату:
14х25х2+3х2=16, або 12х2=16.
Значыць, Xj = +
Адсюль атрымліваем наступныя два рашэнні дадзенай сістэмы:
2	2	2	2
Хі — —т=*, Uy — —7 } Xg —,  •> У2 —7“*
у 3	] 3	/3	/3
2	) Калі ~ = 2, то у=2х. За.мяняючы у у першым ураўненні дадзенай сістэмы на 2х, атрымліваем
14х2—10х2+12х2= 16, або 16х2=16.
Значыць, х=±1. Адсюль, улічваючы, што у=2х, аірымліваем яшчэ два рашэнні дадзенай сістэмы:
х3—1, Уз = 2;	х4—— 1, У4 — —2.
Праверка паказвае, што ні адно з атрыманых чатырох рашэнняў сістэмы (1) не з’яўляецца «пабочным».
147
Адказ. Дадзеная сістэма ўраўненняў мае 4 рашэнні:
п 2	2	2	2
1)х = —=, у = ■ — ;	2)х ==, у —7=;
/3/3	/3	/3
3)х=1, у = 2;	4)х = —1, у = —2.
Прыклад 3. Рашыць сістэму ўраўненняў
f х+у=6, 1 ху=—7.
Калі толькі дадзеная сістэма ўраўненняў мае рашэнне, то па тэарэме, адваротнай тэарэме Віета, гэта рашэнне павінна складацца з кораняў квадратнага ўраўнення (гл. § 52)'
z26z—7=0.
Гэта ўраўненне мае корані zi =— 1, z2=+7. Значыць, рашэннямі дадзенай сістэмы ўраўненняў могуць быць толькі наступныя дзве пары лікаў:
Xf= —1, уі=7 і х2=7, z/2= —1;
Элементарная праверка паказвае, што кожная з гэтых пар лікаў з’яўляецца рашэннем нашай сістэмы.
А д к а з. Дадзеная сістэма ўраўненняў мае два рашэнні:
Хі = —1, уі = 7 і х2 = 7, у2 = —1.
П р ы к л а д 4. Рашыць сістэму ўраўненняў х—у=8, ху=—7.
3	другога ўраўнення вынікае, што х (—у) =7. Таму f *+(—У)=8, I *'(//) =7.
Мы атрымалі сістэму ўраўненняў, зусім аналагічную сістэме, разгледжанай у прыкладзе 3. Толькі ролю невядомых адыгрываюць не х і у, як у прыкладзе 3, а х і —у. Таму далейшы ход рашэння гэтай сістэмы такі ж, як у прыкладзе 3. Вучням прапануецца правесці яго самастоііна.
Прыклад 5. Рашыць сістэму ўраўненняў
х2[у2=5, ху=—2.
3	другога ўраўнення атрымаем х2у2 —4. Але ў такім выпадку па тэарэме, адваротнай тэарэме Віета, х2 і у2 можна разглядаць як корані квадратнага ўраўнення
z25z+4 = 0,
148
адкуль Zi=4, z2=l. Таму магчымы два выпадкі;
1)	х2=4 і тады у2=1 і 2) х2=1 і тады у2 = 4.
Выпадак 1. Калі х=2, то у = —1 (згодна з другім ураўненнем зыходнай сістэмы ху=—2). Калі х= —2, то у—\.
В ы п а д а к 2. Калі х= 1, то у=—2, калі ж х= —1, то у=2.
Мы атрымалі 4 рашэнні дадзенай сістэмы ўраўненняў:
*і=2, х2=— 2, *з=1, Х4 = — 1,
У1 = —1 1/2=1;
Уз=—2 //4 = 2.
Практыкаванні
Рашыць дадзеныя сістэмы ўраўненняў: 456. (х2\Зху—у2+2х—5у——63, \х—у = —7.
457. Г 2х23ху4у2=25, (х2—6у2=250.
458.	' 7х2 —6ху+ 12у2 = 108, *2 — |*у +1/2 = 18,
.459. 1	х+2у=13,	463. J х|х//|і/= 11, ху=15.	fx—xy|t/=l. ^‘(С
460. 1	2х—Зу= —18,	464. [хі/фі/+х=11, ху= —12.'	(x2yfi/2x —30. х2 — 2у2 =	
461.	4	465. fx3+//3=l, ху=^/	[^у^Х,
462. 1	2у2—Зх2= —19,	466. Гх2—у2=—21, ху = —і.	Іх+£=—3.
§ 64. Графічны слосаб рашэння некаторых сістэм ураўненняў
Некаторыя сістэмы ўраўненняў могуць быць рэшаны графічна. Праілюструем гэта на прыкладзе наступнай сістэмы:
х2+у = 4, х+у = 2.
149
На адным i тым жа рысунку начэрцім дзве крывыя, першая з якіх мае ўраўненне х2+у —4, або у = 4—х2, а другая — ураўненне х\у=2, або у — 2—х. Відавочна, што шукаемымі рашэннямі дадзенай сістэмы ўраўненняў будуць каардынаты пунктаў перасячэння гэтых дзвюх крывых.
Як відаць з рысунка 91, разглядаемыя крывыя перасякаюцца ў двух пунктах: /4 з каардынатамі (— 1, 3) і В з каардынатамі (2, 0). Таму дадзеная сістэма ўраўненняў мае два рашэнні: х=— 1, у = 3 і х = 2, у—0.
Практыкаеанні
Рашыць графічна наступныя сістэмы ўраўненняў
467. (х2+2у=10, I х—у= — 1.
468. ( 2х2—у=—2, ( Зх+у=1.
469.	/ у+2х2=3, (х+у=2.
470.	f у=х2—1,
( у=—х2+2х—1.
§ 65. ІрацыЯкальныя ўраўненні
Iрацыянальнымі ўраўненнямі называюцца ўраўненні, якія змяшчаюць невядомае пад знакам радыкала. Да такіх адносяцца, напрыклад, ураўненні
фГЙ = 3 + /7; /7=5 — 4х;
/2 — х = ^ х 6 + 7х
і г. д:	„	„	.
Мы абмяжуемся разглядам ірацыянальных ураўненняу, якія змяшчаюць толькі квадратныя радыкалы. У сувязі з гэтым трэба напомніць, што квадратныя корані можна здабываць толькі з неадмоўных лікаў. Такія, напрыклад, выразы, якф^—3, /—25, / — ю, не маюць сэнсу. Далей, пад квадратным коранем з дадатнага’ ліку мы заўсёды падразумяваем яго арыфметычнае^гэта значыць дадатнае, значэнне. Так, / 4 = 2, а не —2; }'25= 5, а не _ 5; ^ = 1,4142 ..., а не — 1,4142 ... і г. д.