Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
г) мае аднолькавыя корані;
д) мае корані аднолькавага знака;
е) мае корані розных знакаў?
Рашыць сістэмы ўраўненняў 499. \^ х — У у = 2, 1 ху == 27. 500. [ L = _ 1 х у 10 ху = 50. (№ 499502): 501. 1 х2 —7 = а, 1 х — у = Ь. 502. — + ^ = 3, У * . х + у = 2.
Рашыць ураўненні (№ 503—505):
503*. /1 4 м = х4/1 — ах.
504. рТ+х 4 /1х = 1.
505. /22^7—/ІО^х = 2,
506. He рашаючы ўраўнення х242йх+(й24й~1) =0,
вызначыць знакі яго кораняў.
507. Даказаць, што корані ўраўнення «х24^х4с = 0 (калі толькі яны існуюць!) адваротныя кораням ураўнення
сх2+&х4й=0.
157
508. Ці могуць коранямі ўраўнення х2+м4я=0 быць лікі р і
509. Пры якіх значэннях а сума квадратаў кораняў ураўнення х^^ах^^а—2)=0 будзе мінімальнай?
510*. Пры якіх значэннях а сума кубаў кораняў ураўнення Зх2+3(а+1)%4«2=0 будзе максімальнай?
рыс. 93а. рыс. 93б
511. Квадратнае ўраўненне Зх2+&х+с—0 мае адзіны корань, роуны 1. Чаму роўны b і с?
512. На неабмежаванай прамой, якая злучае дзве крыніцы святла рознай сілы /і і /2, вызначыць пункт, роўнаасветлены аоедзвюма крыніцамі. Адлегласць паміж крыніцамі роўна а.
Указанне. Асветленасць адваротна прапарцыянальна квадрату адлегласці ад крыніцы святла.
513. Патрэбнасць калгаса ў ячменю 4000 ц. Калі павялічыць ураджай ячменю на 8 /; 3 1 га, то можна будзе паменшыць плошчу пасеву ячменю на 25 га. Колькі гектараў засеяна ячменем і які ўраджай у цэнтнерах з 1 га?
514. Напісаць ураўненні парабал, прыведзеных на рысункал
Р а з д з е л /V
СТУПЕНЬ 3 РАЦЫЯНАЛЬНЫМ ПАКАЗЧЫКАМ. СТУПЕННАЯ ФУНКЦЫЯ
§ 68. Ступень з натуральным паказчыкам. Узвядзенне ў ступень здабытку і дзелі
Няхай a — адвольны сапраўдны лік, а п — натуральны лік, большы або роўны 2. Тады пя ступень ліку a (абазначаецца ап) ссць здабытак. п лікаў, кожны з якіх роўны а:
ап ~ a ■ a ■ a.. .a.
п
Напрыклад,
23 = 2 • 2 • 2 = 8,
\ 3/ \ 3 / \ 3 / \ 3 / \ 3 81 ’
Лік a y выразе an называецца асновай, an — паказчыкам. ступені. Першай ступенню сапраўднага ліку называецца сам гэты лік а. Па аналогіі з nй ступенню (п>2) ліку а першую ступень гэтага ліку трэба было б запісваць як а1, але паколькі гэты выраз роўны а, то адзінку ў запісу а1 звычайна апускаюць і пішуць проста а.
Ступені з натуральнымі паказчыкамі маюць рад важных уласцівасцей, якія мы разгледзім ніжэй.
Тэарэма 1. Ступень дадатнага ліку з любым натуральным паказчыкам дадатная.
Ступень адмоўнага ліку з цотным паказчыкам дадатная, а з няцотным паказчыкам адмоўная.
Сапраўды, калі а>0, то ап як здабытак дадатных лікаў дадатны. Калі а<0, to a2h як здабытак цотнага ліку адмоўных лікаў дадатны, а а2А+1 як здабытак няцотнага ліку адмоўных лікаў адмоўны.
159
П р ы к л а д ы.
(—З)4—81 (цотны лік адмоўных сумножнікаў);
(—2)5 = —32 (няцотны лік адмоўных сумножнікаў).
Тэарэма 2. Каб узвесці ў стулень здабытак, дастаткова ўзвесці ў гэту етупень кожны сумножнік і рэзультаты перамножыць, гэта значыць
(а • Ь)п = апЬп.
Д о к а з. Па азначэнню ступені (а • by = (ab) ■ (ab) • ... • (ab). п
Выкарыстоўваючы камутатыўны і асацыятыўны законы множання, атрымліваем:
(ab) • (ab)•... • (ab) =(аа • ... • а) • (Ь ■ b ■ .. .Ь) = апЬп,
п п п
што і трэба было даказаць.
Мы атрымалі правіла ўзвядзення ў ступень для выпадку двух сумножнікаў. На самай справе яно дакладнае для любога ліку сумножнікаў, напрыклад,
(а ■ b • с • dy = anbricndn.
Формулу (ab)n — c.rbn часам больш карысна чытаць справа налева:
anbn = (aby.
Каб перамножыць ступені з аднолькавымі паказчыкаліі, дастаткоза перамножыць асновы гэтых стуfieneu, а паказчык пакінуць ранейшым.
Напрыклад, 23 • З3 = (2 • З)3 = 63 = 216;
125 • = 12 • = З5 = 243;
\ 4 / \ 4 /
164 • 4‘ = ( 16 • • 4?= 24 = 16.
Тэарэма 3. Каб узвесці ў ступень дроб, дастаткова ўзвесці ў гзту ступень асобна лічнік і назоўнік і першы рэзультат падзяліць на другі, гэта значыць
{ а
(Ь^^
Д о к а з. Па азначэнню ступені і правілу множання дробаў
/ a \п_ a a \Т) ~ ~ь ’ ~ь
a a ■ a ■ ... ■ a an
b ~ b • b • ... ■ b ~ bn '
150
П р ы к л а д ы.
/ 2 V 24 16,
I 3 / ~ З4 ~ 81 ’
L 5 V 53 125
I 4 / ~ 43 “ 64 *
Практыкаванні
515. (В у с н а.) Якія з дадзеных лікаў з’яўляюцца дадатнымі і якія — адмоўнымі:
1) 4 ; 5) ; 9)(/2/3)17;
2)L4; б) 10) (2Г5)в; .
3) (3)5; 7) (д/3)5; 11)^/7тр
4) — (— /I)6; 8) (— а/1)99; 12) (1—а)13? г ^4
516. Спрасціць выразы: т <
517/ Ступені якіх лікаў не змяняюцца пры адвольным змяненні паказчыка?
§ 69. Множанне і дзяленне ступеней з аднолькавымі асновамі
Тэарэма 1. Каб перамножыць ступені з аднолькавымі асновамі, дастаткова паказчыкі ступеней скласці, а аснову пакінуць ранейшай, гэта значыць
ат • ап = ат±п.
Д о к а з. Па азначэнню ступені
ат ■ an = a ■ a ■ ... • a • a • a • ... • a = a • a ■ ... • a = am+n.
tn n m]n
Напрыклад,
22 ■ 23 = 25 = 32; (— 3) • (— 3)3 = (— 3)4 = 81.
Мы разгледзелі здабытак дзвюх ступеней. На самай жа справе даказаная ўласцівасць дакладная і для любога ліку ступеней з аднолькавымі асновамі.
6 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
161
Напрыклад,
ат • ап • cP • a1 — am+n+k+l .
Тэарэма 2. Каб падзяліць ступені з аднолькавымі асновамі, калі паказчьіх дзялімага большы за паказчык дзельніка, дастаткова ад паказчыка дзялімага адняць паказчьнс дзельніха, а аснову пакінуць ранейшай, гэта значыць пры т> п
ат _=атп (а^О).
Д о к а з. Напомнім, што дзеллю ад дзялення аднаго ліку на другі называецца лік, які пры множанні на дзельнік дае дзялімае. Таму даказаць формулу
дзе а=^0,— гэта ўсё роўна, што даказаць формулу
ат~г. . ап ^ ат_
Калі т>п, то лік т—п будзе натуральным; такім чынам, па тэарэме 1
ат~п • ап = а^т~п^+п = ат.
Тэарэма 2 даказана.
Q10
Напрыклад, ^ = 310“8 = З2 = 9; = 483 = 43 = 64.
Трэба звярнуць увагу на тое, што формула
^^ат п (а^0)
даказана намі толькі ў дапушчэнні, што т>п. Таму з даказанага пакуль нельга рабіць, напрыклад, такіх вывадаў:
_ Q8—10 _ Q—2
310 ° ° '
Да таго ж ступені з адмоўнымі паказчыкамі намі яшчэ не разглядаліся, і мы пакуль што не ведаем, які сэнс можна надаць выразу З2.
Тэарэма 3. Каб узвесці ступень у ступень, дастаткова перамножыць паказчыкі, пакінуўшы аснову ступені ранейшай, гэта значыць
(ап}т = апт.
162
Д 0 к а з. Выкарыстоўваючы азначэнне ступені і тэарэму 1 гэтага параграфа, атрымліваем
т
(a”)"1 = ап • ап • ... • ап = ап+п+ • •• +п = апт,
гп
што і трэба было даказаць. Напрыклад, (23)2=26 = 64,
Формулу (ап)т = апт часам карысна чытаць справа налева:
апт = (ап)т.
Прахтыкаванні
518. (Вусна.). Вызначыць х з ураўненняў:,
1) 2 22 • 23 21 • 25 • 2e = 2 V; , V
' r zZ г
2) 3 • З3 • З5 • З7 • З9 = 3'';
3) 42 . 44 . 4в . 48 . 4ю = 2 v; угг1 (rfCj ў «
1 1 1 1 _ 1 7' A
' 5 ’ 2Д ' 12^ ' 625 5 ‘ ‘ 6
519. (В у с н а.) Спра^іць: ^^’
521. Дадзеныя выразы запісаць у выглядзе ступеней з ад
нолькавымі асновамі:
1) 32 і 64; 2 Г ^ 4) —27 і —243;
2) — 1000 і 100; 5 .5) 4100 і 3260;
3) 85 і Іб^.Т' <О) 8 1 75 8200 і З600 ^^.
Спрасціць выразы: / /
522. (— 2а)« — (— 8а3)2 — [— (2a)2]3VW (—
523. (2a)10 — ( 1 За5)2 [ (2а)2]5 [2 • ( a
6 of
2
525 Г( тпр V ^1?] q3^4cY. / d'&c1
У і^)^ 2* 2“ 2* •=■?”■
§ 70. Параўнанне ступеней
Тэарэма 1. 3 дзвюх ступеней з аднолькавымі паказчыкамі і дадатнымі асновамі болыаая тая, аснова якой болыйая. Іншымі словамі, калі a > 6 > 0, то пры любым натуральным п
ап > Ьп.
Гэта ўласцівасць была даказана намі ў раздзеле I (§ 12).
П р ы к л а д. Які лік большы: 2300 або З200?
Для рашэння гэтай задачы запішам дадзеныя лікі ў выглядзе ступеней з аднолькавымі паказчыкамі, выкарыстоўваючы тоеснасць
атп = (ат)п.
Маем:
2зоо _ 2з юо _ ^з^оо = 8100,
3200 _ 32100 _ ^32^100 _ діоо
Паколькі 9 > 8, to 9100 > 8100. Такім чынам,
3200 ^ 2зоо
Т э а р э м а 2. Калі 0 < a <. I, то з дзвюх ступеней ат і ап большая тая, паказчык якой меншы.
Калі а^ 1, то з дзвюх ступеней ат і ап болыйая тая, паказчык якой большы.
Д о к а з. Няхай т~>п. Тады m—n\k, дзе Л — некаторы натуральны лік. Таму
am=an+h=anakt
164
Калі 0<а<1, то 01, то ^>1; Значыць, ат=апak>an.
Напрыклад,
3100 > 350
Практыкаванні
526. Дадзеныя выразы запісаць у выглядзе ступеней з аднолькавымі паказчыкамі і параўнаць іх па велічыні:
____5> 1
Я^Л? / 1 V00 /1 \500
3) 1252 і 253; 7) і .
4) 4зоо і 3400.
527. Дадзеныя выразы запісаць у выглядзе ступеней з аднолькавымі асновамі і параўнаць іх па велічыні:
1) 85 і 163; 3) (3)75 і (27)15;
2) 4100 і 3250; 4) 811508200 і 3600167\
528. Што больш: (ап)т ці (ат)п?
§^^«Ступені з нулявымі і адмоўнымі паказчыкамі
У § 69 мы даказалі (глядзі тэарэму 2), што пры т>п
^^ап (а^О).
Зусім натуральнае жаданне распаўсюдзіць гэту формулу і на выпадак, калі т^п. Але тады лік т—п будзе або адмоўны, або роўны нулю. А мы да гэтага часу гаварылі толькі аб ступенях з натуральнымі паказчыкамі. Такім чынам, мы сутыкаемся з неабходнасцю ўвесці ў разгляд ступені сапраўдных лікаў з нулявымі і адмоўнымі паказчыкамі.
Азначэнне 1. Любы лік а, не роуны нулю, у нулявой ступені роўны адзінцы, гэта значыць пры а=#0
а°=1.
Напрыклад, (— 13,7)° = 1; ° = 1; (]/ 2)° = 1.
(1)
Лік 0 нулявой ступені не мае, гэта значыць выраз 0° не вызначаны.
165
Азначэнне2. Калі о=#0 і п — натуральны лік, то
1 а~п =,
ап
(2)
гэта значыць ступень любога ліку, не роўнага нулю, з цэлым адмоўным паказчыкам роўна дробу, лічнік якога ёсць адзінка, a
назоўнік — ступень таго ж ліку а, але з паказчыкам, лым паказчыку дадзенай ступені.
Напрыклад, 3“2 = ^ = ^;
процілег
Прыняўшы гэтыя азначэнні, можна даказаць, што пры а#=0 формула
— =ат~п (3)
ап '
правільная для любых натуральных лікаў m і п, а не толькі для т>п.
Для доказу дастаткова абмежавацца разглядам двух выпадкаў: т=п і т<п, паколькі выпадак т>п ужо разгледжаны Ў § 69.
ат ап
Няхай т — п: тады ==1. Значыць, левая частка
ап ап
роўнасці (3) роўна 1. Правая ж частка пры т=п ператвараецца ў
атп — апп—а0
Але па азначэнню а°=1. Такім чынам, правая частка роўнасці (3) таксама роўна 1. Значыць, пры т — п формула (3) правільная.
Падзяліўшы лічнік і назоўнік
Цяпер дапусцім, што т<п.
, ат
дробу на ат, атрымаем
ат _ ап —
1
ап
ап „
Паколькі п>т, то —— =ап т. Таму ат
ат ______1 — апт ‘
166
Выкарыстоўваючы азначэнне ступені з адмоўным паказчыкам, можна запісаць = а{пт)—атп _ Значыць, пры т<:п
КНІГІ ОНЛАЙН
