Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
рыма£м_ = —___Г3.
П р ы к л а д 2. Вызваліцца ад радыкала ў назоўніку дробу
ГІ2
Лік 12, які стаіць пад знакам радыкала, раскладзём на сумножнікі: 12 = 223. Да поўнага куба не хапае, відавочна, множніка 232=18. Памножыўшы лічнік і назоўнік дадзенага дробу на / 18, атрымаем
5 5 /~18 5 /~18___ 5J/T8 _ _5_
{<12 ~ {<12 • /18 ~ / 2^73 • /2 <3* “ 2 • 3 ~ 6 1
П р ы к л а д 3. Вызваліцца ад радыкалаў у назоўніку дробу /~3 —/~2 /14 /1 '
Памножыўшы лічнік і назоўнік дадзенага дробу на /3 —/2 (гэты выраз называецца супрэжаным да выразу /3 4/2), атрымаем
/~3 —/~2 _ (/1 —/I)2_______
/1 + /1 ~ (/1 + / 1) (/1 /2) “
= (/31/2)’ _ (^ _
Прыклад 4. Вылічыць
3 — 2/ 642 = 5 — 2 /^
= з дакладнасцю да 0,1.
Разглядаючы прыклад 3, мы атрымаем
/34/2
/3”— / 2
= 5 + 2/6.
Але 2 / 6_= /4 • 6 = / 24^4,8 (з дакладнасцю да 0,1), таму 5 42 1/ 6^9,8 (з дакладнасцю да 0,1).
Калі б мы замест гэтага ў зыходны дроб падстаўлялі набліжаныя значэнні / 3 і / 2 з дакладнасцю да 0,1:
то атрымалі б
F1 + /]
/3 — / 2
/3^1,7; /2^1,4,
3,1
0,3
10,3, што дае значную памылку.
191
Прыкл ад 5. Вызваліцца ад радыкалаў у назоўніку дробу 4
1 + ПІ —/I’
Вызваліцца ад радыкалаў у назоўніку дадзенага дробу можна ў два прыёмы. Спачатку памножым лічнік і назоўнік дадзенага дробу _на 1 + J/ 3 + / 2. У рэзультаце мы вызвалімся ад радыкала / 2:
J . /[(і +/з) + і/2]_
1 + / 3/2 [(1 + / 3)/ 2] [(1 + /3) +/2]
4 [1 + / 3 + / 2] 4 (1 + / 3 + / 2)
(1 + /1)2(/1)2 (4+ 2/1)2
4 (1 + / 3 + / 2) _ 2 (1 + /3 + /2)
2 + 2 J/ 3 1 + / 3
За'тым лічнік і назоўнік атрыманага дробу памножым на 1 — / 3. У рэзультаце атрымаем
2 (1 + / 3 + / 2)
1 + /3
2 (1 + /3 + /2) (1 /3) (1 + /1) (1/1)
2(1 — / 3 + / 3—3+/2 —/6) 1—3
= 2 — / 2 + /6.
П р ы кл а д 6. Вызваліцца ад радыкалаў у назоўніку дробу
/1 + /1
' /1/1 '
Памножым лічнік і назоўнік дадзенага дробу на няпоўны квадрат сумы лікаў / 5 і /1, гэта значыць на (П)2 + + / 5 • / 3 + (/I)2. Тады ў назоўніку атрымаецца рознасць кубаў л'каў /5 і v 3 : (/I)3—(/ З)3 = 5 — 3 = 2, а ў ліч
ніку (/ 5 + / 3) (/52 + /5 • 3 + / З2 ) = /53 + / 52 • 3 +
+ /5 • 32+ /3 • 52+ /5 • 32+ /З3 = 5 + /75+ /45 + /75 +
+ /45 + 3 = 8 + 2 / 75 + 2 /45.
т /1 + /3 8 + 2/75 + 2/45 3— 3
Таму ^71=О= 4 + / 75 + / 45.
У □ / U "
192
Практыкаванні
576. Вызваліцца ад радыкалаў у назоўніках дробаў:
1) 5)
/5 / 7 + / 6 П + 7
2) /Т’ 6) V^iTT’ ^ /25/24’
3) 37=; 7) J—£2; Ц) I2 _ ■
/75 1 + / 2 34/2 — / 5
4) 8) ; 12) Д—.
/18 у З —У 5 2 4/2 — /5
577. .3найсці набліжаныя значэнні выразаў з дакладнасцю да 0,01:
/б + ^ 1Ь£І. В) 365/J7
/6/5’ ' /3 —1 ’ 7 2 —/ 17 ‘
578. Вызваліцца ад радыкалаў у назоўніках дробаў:
1) ——1——; 2) 1 _; 3) F^"1'^
У 5+/ 2 2 —/ 24/ 3—/6 //1 + /6
§ 84. Ступень дадатнага ліку з дадатным дробавым паказчыкам
У § 80 мы даказалі наступнае сцверджанне. Калі a — адвольны дадатны лік, a m і п натуральныя лікі (п^2), прычым т дзеліцца без астатку на п, то
n г
/ ат = ап .
Зусім натуральна жаданне абагульніць гэту формулу для выпадку адвольных натуральных лікаў. Але дзяленне ў вобласці натуральных лікаў, наогул кажучы, невыканальнае. Таму дзель — можа быць дробавым лікам. Такім чынам, мы сутыкаемся з неабходнасцю разгляду ступені з дробавымі паказчыкамі.
Азначэнне, Няхай a — адвольны дадатны лік і лікі т і п — адвольныя натуральныя лікі. Тады
т — п / ап = у ат.
(1)
7 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
193
5 _ ______ _
Напрыклад, 94 = yV’ = {^94 • 9 = 9 ^ 9 = 9 ’/ 3;
2 _
8 з = /82 = /26 = 4.
Ступень дадатнага ліку з дадатным дробавым паказчыкам ёсць корань, паказчык якога роўны назоўніку дадзенага дробавага паказчыка, а падкарэнны выраз — ступень зыходнага дадатнага ліку з паказчыкам, які роўны лічніку дадзенага дробавага паказчыка.
3 а ў в а г а. Уведзенае азначэнне не распаўсюджваецца на ступені з адмоўнымі асновамі. Для адмоўных а формула
(I) можа наогул не мець сэнсу. Напрыклад, пісаць (—2)4 = = >Д— 2 нельга, паколькі выраз У — 2 не вызначаны.
Як мы ведаем, велічыня дробу — не зменіцца, калі лічнік і назоўнік гэтага дробу памножыць на якінебудзь натуральны лік k або падзяліць на якінебудзь іх агульны дзельнік р.
m
m mk _ tn p
n nk ’ n ~ n'
P
tn
Зусім зразумела, што ўведзенае намі азначэнне ступені ап будзе карэктным толькі ў тым выпадку, калі
m mk
а^ = а^, (2)
tn
m _п_
а^ = аР . (3)
I гэтыя суадносіны сапраўды выконваюцца*. Дакажам, напрыклад, формулу (2), Маем:
пг — п / а п = у ат,
— nk /7
ank = у amk,
Але y am — y amk.
Адсюль i атрымліваецца суадносіна (2).
. m . n
* Паколькі p ёсць агульны дзельнік лікаў m і n, то лікі — i — з’яуляюцца цэлымі.
194
Формула (3), калі яе чытаць справа налева, т п т а р = а",
выражае па сутнасці тое ж самае, што і формула (2). Толькі т п
ролю пг тут адыгрывае цэлы лік —, ролю я — цэлы лік —, а ролю k — лік р. Таму ў спецыяльным доказе формула (3) не мае патрэбы.
Формулы (2) і (3) выражаюць наступны факт: велічыня ступені дадатнага ліку з дадатным дробавым паказчыкам не зменіцца, калі назоўнік і лічнік паказчыка памножыць на якінебудзь натуральны лік або падзяліць на іх агульны сумножнік.
Напрыклад, _ JL
а3 = а8 = а9 = ... , £ д 2
а 16 = а8 = а 4 = ... .
Практыкаванне
579. Вылічыць: 2 4
а) 64 3; б) 27 3;
г) у I д) 125 6: 5;
з
е) 144 4: 9.
§ 85. Асноўныя ўласцівасці ступені дадатнага ліку з дадатным дробаяым паказчыкам
У гэтым параграфе мы разгледзім асноўныя ўласцівасці ступені дадатнага ліку з дадатным дробавым паказчыкам. Паколькі ступень адмоўнага ліку з дадатным дробавым паказчыкам, наогул кажучы, не вызначана, то заўсёды, не агаворваючы гэта спецыяльна, мы будзем дапускаць, што аснова ступені ёсць лік дадатны.
Пералічым асноўныя ўласцівасці ступені, якія мы хочам разгледзець:
— р т А р
• 1) a " • аЎ = а~п Н
т т т
2) (а • b) n — a п ■ Ьп \
т
195
Раней чым прыступіць да разгляду гэтых уласцівасцей, на. помнім аб тым вельмі важным факце, аб якім мы гаварылі ў папярэднім параграфе.
Велічыня ступені з дробавым паказчыкам не зменіцца, калі лічнік і назоўнік паказчыка памножыць на любы натуральны лік або падзяліць на іх агульны множнік:
т mk
ап = a nk\ tn
tn п a” = af.
Цяпер пяройдзем да доказу 1й уласцівасці ступені: т р tn р a”" а ч = ап ч.
Каб перамножыць дзве ступені з аднолькавымі асновамі, дастаткова паказчыкі ступеней скласці, а аснову пакінуць ранейшай.
Сапраўды, т mq р рп ап = anq, aq = aqn.
Значыць, LL Hq HL пЧ/. nq
an . a q = anq ■ aqn = y amq • y aP".
Па правілу множання кораняў з аднолькавымі паказчыкамі пу/ amq • у^ = ^ amq ■ арп = ^aL^+P^.
Але mq^ рп т р amq + рп = a nq = a п q .
Таму т р т р ап • a q = ап q ,
што і трэба было даказаць* 196
П р ы к л а д ы.
1 _2_ 1 । L
Зз . з з~ = з'з + з = 31 = з;
2 4 2 | 2 22
а3 • a5 = a 3 5 = a15 (a > 0).
1я ўласцівасць ступені, якую мы даказалі для двух сумножнікаў, на самай справе правільная і для любога ліку сумножнікаў. Напрыклад,
ап • а^ • as = ап Q s.
Астатнія ўласцівасці ступеней з дробавым паказчыкам прапануем вучням сфармуляваць і даказаць самастойна.
Практыкаванні.
580. Даказаць тоеснасці:
а) (a 2 + 62) (a2 — b2} = a — b;
$) (a 3 + ^ 3) (a 3 — a3 63 + 63 ) = a 4 ft;
[a3 — b3) \a3 + a3 b3 \ b3 )= a — b. 581. Што больш:
а) 8 2 або 124; в) 122 або 183;
б) 64 3 або 362; г) 4 або Д 3
\ / \ ^/
582. Спрасціць:
583. Спрасціць выразы:
, а^Ь4 —Ь2 \
а) “222Г :
\а2 — а< Ь' /
з з
^ — У х2 — у2 . ]/ х—ў у х — у
2 2 2 2
a — b a 3 + а3Ь3 у Ь3
1
У а~У\ b
.(аЬ) + 1.
197
584. Якое значэнне прымае выраз
/ 3 127х1й/ —
^х з р _ 4 2 • ——;——jo + 6 ]/ х пры ўмове, што х3 = З10.
§ £6. Ступень дадатнага ліку з адмоўным дробавым паказчыкам
Падобна да таго як у § 71 мы вызначылі ступень а~п ліку a з адмоўным цэлым паказчыкам —п, можна вызначыць і ступень _ ” „ т
a ” дадатнага ліку а з адмоўным дробавым паказчыкам—.
Няхай a — адвольны дадатны лік, a m і п — натуральныя лікі. Тады па азначэнню
1 a " =
a п
Ступень дадатнага ліку з адмоўным дробавым паказчыкам роўна адзінцы, падзеленай на ступень таго ж ліку з паказчыкам, процілеглым паказчыку дадзенай ступені.
1 11
Напрыклад, 8 3 = —— = т= = у;
2 / о _ _ — — ——= = — =—.
2Д ^27* ГЗ15 УЗ5 9/3
Цяпер мы ведаем, што ўяўляе сабой ступень дадатнага ліку з любым рацыянальным паказчыкам.
Ступені з рацыянальнымі паказчыкамі маюць наступныя асноўныя ўласцівасці:
m р 271 1 —
\) а^а~ = а'; /
m m tn
2) (ab)п =^ап • Ьп;
m tn
4 bn
/ р m р
4) ал ? =ап ’ «;
198
5)
т a"
р ач
т
= 0"
Р ч.
Часткова гэтыя ўласцівасці былі даказаны намі ў папярэдніх параграфах, але толькі для дадатных паказчыкаў. Зараз жа мы можам даказаць іх для адвольных рацыянальных паказчыкаў.
Дакажам, напрыклад, уласцівасць 1. tn р
Для дадатных паказчыкаў — і у доказ быў дадзены ў папярэднім параграфе. Таму нам трэба разгледзець наступныя выпадкі:
1) абодва паказчыкі адмоўныя;
2) адзін з паказчыкаў адмоўны, а другі — дадатны;
3) хаця б адзін з паказчыкаў роўны нулю.
Няхай tn, п, р і q — натуральныя лікі.
Пакажам, што
т р т р
а п • а ч = а п ч .
Сапраўды, па азначэнню ступені з адмоўным паказчыкам
а п = ~^ a ’ = —.
ап ai
таму
т р т р
ап ач ап + ч
але
адкуль і вынікае патрэбная суадносіна.
Мы разгледзелі выпадак, калі паказчыкі кожнай з дзвюх ступеней адмоўныя, Зараз разгледзім выпадак, калі адзін з іх дадатны, а другі адмоўны. Дакажам, напрыклад, што
т р т р
ап • a 4 = ап ч.
Маем:
tn
ап ■ а ч =—— р
ач
199
Калі — > —, то па ўласцівасці. разгледжанан у папярэднім параграфе, m
a1*
Калі — < —, то
п q m а^ 1
р Л. —
aq aq п
але
1
р m
HL—JL
= a ^q п1 = ап q.
Нарэшце, калі — = —, то
m
а п — —
^ = 1=^ aq
Тут мы скарыстоўваем азначэнне а°=1. Такім чынам, пры . • m • Р
любых суадносінах паміж — 1 —
m р m р ап а q = ап q.
Нам засталося разгледзець выпадак, калі з дзвюх ступеней з аднолькавымі асновамі хаця б адна мае нулявы паказчык. Дакажам, напрыклад, што
™ ™+о
ап ■ а° = а п
Сапраўды, а° = 1 ' Д^ + ^ = Таму
m mm
ап ■ а° = ап ■ \ = ап,
^+о
ап =ап.
Уласцівасць 1 даказана.
Аналагічна можна даказаць і ўсе астатнія ўласцівасці. Заў
200
важым, што калі ў папярэднім параграфе мы маглі гаварыць аб уласцівасці 6 голькі пры —> —, то цяпер, выкарыстоуваючы азначэнне ступені дадатнага ліку з адмоўным дробавым паказ«
КНІГІ ОНЛАЙН
