• Газеты, часопісы і г.д.
    • Алгебра і элементарныя функцыі

    Алгебра і элементарныя функцыі


    Выдавец: Народная асвета
    Памер: 659с.
    Мінск 1967
    395.43 МБ
    Тое ж для вуглоў 215° і —145°.
647.	Выкарыстоўваючы вось тангенсаў і вось катангенсаў, паказаць, што tg 45°=ctg 225°—1.
648.	Ці правільныя сцверджанні:
а)	кожнаму вуглу ф адпавядае адзін зусім пэўны пункт восі тангенсаў;
б)	кожнаму пункту восі тангенсаў адпавядае зусім пэўны вугал ф?
646.	Ці можа сінус некаторага вугла быць роўны — ? о
£50.	Ці можа секанс некаторага вугла быць роўны ^ ?
651.	Дакажыце геаметрычна, выкарыстоўваючы вось тангенсаў і вось катангенсаў, што для любога вострага вугла ф
tg1, тады пабудаваць такі вугал немагчыма, таму што сн наогул не існуе (сінус любога вугла па абсалютнай велічыпі не перавышае адзінкі). Калі ж |а|^1, тады робім наступнае. Праводзім акружнасць радыуса 1 з цэнтрам у пачатку каар
228
дынат. На восі Оу адзначаем пункт В з ардынатай а (рыс. 140) і праводзім праз яго прамую, паралельную восі абсцыс. Пункты перасячэння гэтай прамой з акружнасцю абазначым праз Лі і Л2. Вектары ОА\ і ОА2 маюць адзінкавую даўжыню, а іх ардынаты роўны а. Таму ўсе вуглы, для якіх ОАі і ОА2 з’яўляюцца канечнымі старанамі, маюць сінус, роўны а.
3	а ў в а г а. Калі a—1, то апісаным вышэй спосабам мы —►
атрымаем не два, а толькі адзін вектар ОВ, які ўтварае шукаемыя вуглы з дадатным напрамкам восі абсцыс (рыс. 141, а). У гэтым выпадку (р=90°+360°п. Аналагічна будзе і пры а — — 1 (рыс. 141,6). У гэтым выпадку ф = —90°+360°п.
3 а д а ч a 2. Пабудаваць вугал ср, косінус якога роўны а.
Як і ў задачы 1, патрабуемае пабудаванне можна выканаць толькі пры )а^1.
На восі Ох адзначаем пункт В з абсцысай а і праз яго праводзім прамую, паралельную восі ардынат (рыс. 142, на гэтым рысунку лік а адмоўны). Пункты перасячэння гэтай прамой з адзінкавай акружнасцю абазначым праз Лі і Л2 Шукаемымі вугламі будуць вуглы, для якіх канечнымі старанамі з’яўляюцца ОА\ і ОА2.
3 а д а ч a 3. Пабудаваць вугал ф, тангенс якога роўны а.
На восі тангенсаў адзначаем пункт В з ардынатай а (рыс. 143). Усе вуглы, канечныя стораны якіх ляжаць на прамой ОВ, маюць тангенс, роўны а.
3 а д а ч a 4. Пабудаваць вугал ф, катангенс якога роўны а.
229
На восі катангенсаў адзначаем пункт В з абсцысай а (рыс. 144). Усе вуглы, канечныя стораны якіх ляжаць на прамой ОВ, маюць катангенс, роўны а.
Практыкаванне
652. Пабудаваць вугал $ па наступных даных:
1)	1 sin cp= —; o	7)	і?ф = 3;
2)	sin ф = —0,5;	8)	1ёФ = 2;
3)	sin cp=l;	9)	ctg ф=5;
4)	1 cos ф =	— ;	10)	dg Ф = —4;
5)	cos ф —0,4;	H)	sec ф= 1,5;
6)	cos ф = 1;	12)	cosec ф = —2.
§ 98. Значэнні трыганаметрычных функцый некаторых вуглоў
1.	Няхай вектар адзінкавай даўжыні ОА ўтварае з воссю абсцыс вугал ф=0° (рыс. 145). Тады яго каардынаты х і у роўны адпаведна 1 і 0. Такім чынам,
sin0°=y—0, cos0°=x=l.
Рыс. 145.	Рыс. 146.
Адсюль
tg о = = 0, sec 0 = 		= 1. е cosOcosO
Катангенс i касеканс гэтага вугла не вызначаны.
2.	Калі ср = 90° (рыс. 146), то каардынаты вектараОЛ адзінкавай даўжыні роўны х = 0, у=1. Такім чынам,
sin90°=t/=l, cos90°=x=0.
Таму
ctg90° = sin 90^ = °’ cosec S0°= sin 90° = 1
230
Тангенс і секанс гэтага вугла не вызначаны.
3.	Пры ф—180° (рыс. 147) х= —1, у —0. Таму sin 180°=0, cos 180°— — 1, tg 180°=0, sec 180° — — 1. Катангенс і касеканс гэтага вугла не вызначаны.
Рыс. 147.
Рыс. 148.
4.	Пры ф=270° (рыс. 148) х=0, у = —1. Таму sin 270°= —1, cos270°=0, ctg270°=0, cosec 270° = — 1. Тангенс i секанс гэтага вугла не вызначаны.
5.	Няхай ф=30° (рыс. 149). Тады х=ОВ, у=АВ.
3 трохвугольніка АОВ знаходзім: AB—— (катэт, які ляжыць
супраць вугла ў 30°, роўны палавіне гіпатэнузы). Выкарыстоўваючы тэарэму Піфагора, атрымліваем:
ОВ = іА~ОА^АВ^ = 1 /1 — — =
Г 4	2 '
т	1
Таму х = ^, і/ = —.
X
Такім чынам,
sin30°=b cos 30°=^
tg30° = Ц; ctg30’=y3.
6.	Няхай cp= 135° (рыс. 150). Тады калі ОА = 1, то
х = — ОВ = —
1
у = АВ = ^ /2
(у △ ОАВ OB = АВ,
паколькі Z АОВ = 45°).
231
Такім чынам, sin 135° = cos 135° =^; tg 135° =
V 2	1/2
= — 1; ctg 135° = — 1; sec 135° = — /I; cosec 135° = /1.
Аналагічна можна было б знайсці значэнні трыганаметрычных функцый і некаторых іншых вуглоў. Значэнні трыганаметрычных функцый вуглоў 0°, 30°, 45°, 60°, 90° трэба ведаць на памяць.
Прыводзім табліцу гэтых значэнняў.
a	0°	30°	45°	60°	90°
sin a		1	/2		
	0	2	2	2	1
COS a	1	/3	1 2	1	о
		2	2	2	
tg«	0	3	1	/^	не існуе
ctg a	не існуе	/3	1	3	0
Практыкаванні
Вылічыць (№ 653—659):
653.	2 sin 30° + 3 cos 30° — 2 tg 30° — 4 ctg 30° + + sec 30° — cosec 30°.
654/ 5 sin 45° + 2 cos 45° + 3 tg 45° — 10 ctg 45° — — 4 sec 45° — 7 cosec 45°.
655? sin 60° 4 cos 60° — tg 60° — ctg 60° + sec 60’ — cosec 60°.
656.	3 sin 0° — 5 cos 0° + 7 tg 0° + sec 0°.
657.	sin 90° — 6 cos 90° + 3 ctg 0° + 5 cosec 0°.
658.	sin 270° + cos 270° — ctg 270°.
659.	y sin 180° — /3 cos 180’ + ^|]|j + sec 180°.
660.	Знайсці трыганаметрычныя функцыі вуглоў: a) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.
232
Вылічыць:
sin 45° cos 60° — cos (—45°) sin (— 60')
661	• tg2 30° — sin2 90° • cos3 270°
sec (— 30°) + cosec (— 30°)  sin2 (— 30°) + cosec2(— 30°)'
§ 99. Цотнасць трыганаметрычных функцый
Вуглы ф і —ф утвараюцца пры павароце праменя ў двух процілеглых напрамках (па гадзіннікавай стрэлцы і_супраць гадзіннікавай стрэлкі). Таму канечныя стораны ОА\ і ОА2 гэтых вуглоў сіметрычны адносна восі абсцыс (рыс. 151). Каардынаты вектараў адзінкавай даўжыні ОА = (хь уг) і ОА2 = (х2,у2) задавальняісць суадносінам:
х2 = ^ь У2 = Уі
Таму
COS (—ў) = COS ср, sin (—ф) = — sin <р.
Такім чынам, сінус з’яўляецца няаотнай, а косінус — цотнай функцыяй вугла.
Далей маем:
. .	. sin (—ф>)	— sincp ,
g( ?) — cos(—^	cos? —
ctg(—y)=
6'	sin (— 



   
    
	
    2007-2025
    
	
    Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
    або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
     пішыце ў кантакты