Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
637. Напісаць агульны выгляд вуглоў, якія заканчваюцца:
а) на дадатнай частцы восі абсцыс:
б) на адмоўнай частцы восі абсцыс;
в) на дадатнай частцы восі ардынат;
г) на адмоўнай частцы восі ардынат;
д) на бісектрысе 1га каардынатнага вугла;
е) на бісектрысе 1га або на бісектрысе 3га каардынатнага вугла;
ж) на бісектрысе 4га каардынатнага вугла.
* ^ — грэчаская літара; чытаецца: фі.
219
§ 94. Тэарэма аб адносінах каардынат вектара да яго даўжыні
Няхай два вектары ОЛі —(хь у^ і ОА2=(х2, у2), даўжыні якіх роўны адпаведна Гі і г2, ляжаць на адной прамой і накіраваны ў адзін і той жа бок, як паказана на рысунку 125. Тады Х\ = ОВ\, уІ=А1ВІ; х2—ОВ2, у2—А2В2. 3 падобнасці трохвугольнікаў ОАіВ[ і ОА2В2 вынікае, што
А^ А2В2 . 0Вх 0В2 0А1 “ 0Л2 1 04 ~ 0Л2 '
Калі б вектары ОЛі і 0Л2 ляжалі ў другой чвэрці (рыс. 126), то аналагічна папярэдняму мы мелі б
Хі = — 0В\, у\=А\В\\
х2=— 0В2, у2=А2В2:
А1В1 А2В2 ОВ^ 0В2
~0Аі = 0А2 ’ ОД = 0А2 ’ або
Уі_=У2_ ~хі = ~ *2
G г2’ г2 г2 ’
адкуль зноў атрымліваюцца суадносіны (1). Такім жа чынам
—► —>
можна было б разгледзець і выпадкі, калі вектары ОЛі і 0Л2 ляжаць у 3й або 4й чвэрцях. Мы тады прыйшлі б да суадносіны (1).
Формулы (1) справядлівыя таксама і ў выпадку, калі век—> —>
тары ОЛі і 0Л2 ляжаць на якойнебудзь восі каардынат. Напрыклад, у выпадку, паказаным на рысунку 127,
*і=0; уі = гі; х2=0; у2=г2.
220
Таму
Уі =\ = Уі. A = о = — Гі Г2 ’ Г1 Г2 ’
Вучні могуць самастойна разгледзець і іншыя магчымыя выпадкі размяшчэння вектараў ОА\ і ОА2 на восях каардынат і пераканацца, што формулы (1) правільныя ў гэтых выпадках.
Роўнасці
{/1 _ j _ ^2
/"1 ~ ^2 <1 ^2
„ ■ х . у
гавораць аб тым, што адносіны — і — каардынат х і у вектара
да яго даўжыні г не залежаць ад даўжыні вектара. Пры змяненні даўжыні вектара гэтыя адносіны застаюцца нязменнымі, хаця самі каардынаты х і у пры гэтым, вядома, мяняюцца.
о
*
Рыс. 127.
Ад чаго ж у такім выпадку залежаць гэтыя адносіны? Каб адказаць на гэта пытанне, разгледзім два прыклады. Калі вектар ОДі даўжынёй г ляжыць на дадатнай паўвосі абсцыс (рыс. 128), то яго каардынаты х=г, у=0. Таму для такога вектара
Л = 1, г г
Калі ж вектар ОА ляжыць на дадатнай паўвосі ардынат (рыс. 129), то, , як мы бачылі вышэй,
y Рыс. 129.
— = 0, ^=1. г г
Ужо з гэтых прыватных прыкладаў відаць, што адносіны каардынат вектара да яго даўжыні мяняюцца пры змяненні напрамку вектара.
Такім чынам, мы даказалі наступную тэарэму.
221
Тэарэма. АдноЫны
г г
каардынат вектара да яго даўжыні не залежаць ад даўжыні вектара, але залежаць ад яго напрамку.
Практыкаван ні
638. Ці залежаць ад даўжыні г вектара ОА:
а) яго каардынаты х і у,
б) адносіны — і — ? г г
639. Ці залежыць адносіна — каардынат вектара ад яго даўжыні г? У
§ 95. Вызначэнне трыганаметрычных функцый вугла
Няхай ср — адвольны вугал (рыс, 130). На канечнай старане гэтага вугла возьмем вектар ОА адвольнай даўжыні г. Абсцысу гэтага вектара абазначым х, а ардынату у. Як было паказана
у, У папярэднім параграфе, адносіны у і
X j — залежаць толькі ад напрамку век
__________тара ОА, які вызначаецца вуглом <р, і ° * не залежаць ад даўжыні вектара г.
рыс 130 Таму гэтыя велічыні з’яўляюцца своеаса
блівымі характарыстыкамі вугла tp.
Адносіна ардынаты вектара, які ўтварае з воссю Ох вугал tp, да даўжыні гэтага вектара называецца сінусам вугла (р (абазначаецца sin ф):
sin?=^. (1)
Адносіна абсцысы вектара, які ўтварае з воссю Ох вугал <р, да даўжыні гэтага вектара называецца косінусам вугла ф (абазначаецца cos ф):
х cos
калі вектар ОА перпендыкулярны да восі абсцыс (рыс, 131, a і 131,6).
У гэтым выпадку вугал ф можа прымаць значэнні
±90°; ±270°; ±450°; ±630°;
Усе гэтыя значэнні можна запісаць адной формулай:
Ф = 90°(2«+1),
дзе п — любы цэлы лік (дадатны, адмоўны або нуль).
Такім чынам, тангенс і секане вызначаны для ўсіх вуглоў ?, акрамя вуглоў ф = 90 (2/г + 1).
Калі sin ф= — =0, то у=0. Гэта магчыма толькі тады, калі
вектар ОА ляжыць на восі абсцыс (рыс. 132, a і 132, б). У гэтым выпадку вугал ф можа прымаць значэнні:
0°; ±180°; ±360°; ±540°; .
Усе гэтыя значэнні можна запісаць адной формулай:
Ф=180°п, дзе п — любы цэлы лік (дадатны, адмоўны або нуль). Таму катангенс і касеканс вызначаны для ўсіх вуглоў ^, акрамя ф = 180°л.
Калі фА90°т (т — цэлы лік), то вызначаны і tgф і ctgф, прычым
У
і sin Ф г у tg? = — == —;
COS ? X X г
X
, COS ? Г X
ctg 7 = 7—! = =.
sin? у_ у
г
Такім чынам,
tg? = v; ctS?=V (7)
Кожнаму вуглу ср адпавядаюць зусім пэўныя значэнні sin ф і cos ф. Акрамя таго, кожнаму вуглу ф^90о(2пф1) адпавядаюнь зусім пэўныя значэнні tgф і sec ф, а кожнаму вуглу ф=#180°п —. зусім пэўныя значэнні ctgф і cosec ф.
224
Таму simp, cosep, tg0 і рыс. 137,6 для
значэнні
можа
ч=і
а<0). Таму для любога ліку а можна рЬІС 13g
ўказаць такі вугал ф, што І2ф=а.
Прамая у—\ (рыс. 138) называецца воссю катангенсау. Кожнаму вуглу фУ=180°п можна паставіць у адпаведнасць пункт В на восі катангенсаў, які з’яўляецца пунктам перасячэння канечнай стараны вугла ф (або яе працягу) з воссю катангенсаў (рыс. 139,« і 139,6).
Катангенс вугла ? роўны абсцысе адпаведнага пункта В на воеі катангенсаў. Гэта сцверджанне мы прапануем вучням даказаць самастойна.
8*
227
Як і tg 1.
646. Паказаць, што вуглам 35° і 215° адпавядаюць адны і тыя ж пункты на восі тангенсаў.
КНІГІ ОНЛАЙН
