Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

§ 106. Выкарыстанне трыганаметрычных табліц для знаходжання вострага вугла па значэннях яго трыганаметрычных функцый Трыганаметрычныя табліцы можна выкарыстоўваць не толькі для знаходжання значэнняў трыганаметрычных функцый вострых вуглоў, але і для знаходжання вострых вуглоў па зададзеных значэннях іх трыганаметрычных функцый. Няхай, напрыклад, трэба знайсці востры вугал ф, сінус якога роўны 0,5135. Адшукваем гэты лік у табліцы на старонках 52— 54. Заўважаем, што ён стаіць на перасячэнні радка з левай паметкай 30° і слупка з верхняй паметкай 54'. Значыць, ф»30°54'. Паспрабуем цяпер знайсці востры вугал ф, сінус якога роўны 0,9526. Такога ліку ў табліцы няма. Найбліжэйшы да яго лік у’табліцы роўны 0,9527. Запішам 0,9526 у выглядзе 0,9527— —0,0001. Лік 0,9527 адпавядае вуглу 72°18', a 0,0001 — папраўцы на Г. Таму ф»72°18'—Г=72О17'. Гэтак жа можна знаходзіць вуглы і па значэннях іх косінуса, тангенса і катангенса. Адказы, як правіла, будуць набліжанымі з дакладнасцю да Г. Асаблівую ўвагу пры рашэнні падобных задач трэба звяртаць на правіла ўліку паправак. Няхай, напрыклад, трэба знайсці востры вугал ф, катангенс якога роўны 2,710. У табліцы на старонках 55—58 адшукваем лік, найбліжэйшы да 2,710. Такім лікам з’яўляецца 2,703. Запішам 2,710 у выглядзе 2,703+0,007. Лік 2,703 адпавядае катангенсу вугла 20°18\ a 0,007 — папраўцы на З'. Таму шукаемы вугал ф роўны ф«20°18/—3'=20°15/. Папраўку ў дадзеным выпадку трэба адымаць, а не дадаваць, таму што з двух вострых вуглоў меншаму адпавядае большы катангенс. 248 Практыкаванні 696. Знайсці (косінуса): востры вугал па дадзенаму значэнню яго сінуса а) 0,1874; б) 0,5577; Д) 0,2682; в) 0,9078; е) 0,8264; г) 0,9903; ж) 0,9412; з) 0,4381; і) 0,8760; “) 0,9441; л) 0,9944; м) 0,0020. 697. Знайсці востры вугал <р па дадзенаму значэнню яго тан генса (катангенса): а) 0,2698; б) 2,2250; в) 3,9230; г) 19,1900; д) 0,0090; е) 0,5782; ж) 3,9910; з) 1,7400; і) 2,7440; к) 0,3832; л) 0,1844; м) 0,0008. § 107. Радыяннае вымярэнне вуглоў і дуг Падобна да таго як адлегласці не заўсёды зручна вымяраць у сантыметрах, час у секундах, масу ў грамах і г. д.— вуглы і дугі не заўсёды зручна вымяраць у градусах. Та.му разам з градусам вельмі часта ўжываецца і іншая адзінка вымярэння вуглоў і дуг — радыян. / вуглавы радыян ёсць цэнтральны вугал, /г>. о што абапіраецца на дугу акружнасці, даужы / ня якой роўна радыусу гэтай акружнасці / (рыс. 166). I I У гэтым азначэнні фігурыруе акружнасць, \ / і таму натуральна паставіць пытанне: а ці не залежыць вугал у 1 радыян ад радыуса гэтай акружнасці? Было б вельмі дрэнна, калі б та Рыс 166кая залежнасць існавала. Тады адзін і той жа вугал, напрыклад вугал у 30°, змяшчаў бы розны лік радыянаў у залежнасці ад таго, з якой акружнасцю яго звязваюць. Аднак у гэтых адносінах усё добра. Сапраўды, акружнасць радыуса R мае даўжыню 2nR. Таму яе дуга даўжынёю ў R складае ^— частку акружнасці; але ў такім выпадку цэнтральны вугал, які ёй адпавядае, 1 павінен складаць —— частку поунага вугла, гэта значыць вугла ў 360°: 2я 1 радыян = ^5747'45". Такі вугал не залежыць ад R. Відавочна, што 2л радыянаў = 360°, 249 таму 2^ 1° = ^бО РаДыяна~0>017 радыяна. 1 дугавы радыян ёсць такая дуга акружнасці, якой адпавядае цэнтральны вугал у I вуглавы радыян. Увайшло ў звычай слова «радыян» у выразах: «ф=1 радыяну», «ф=Ю радыянам», «ф=—3 радыянам» і г, д,—апускаць і пісаць проста: Ф=1, ф=10, ф = —3 і г. д. Гэтыя выразы не трэба блытаць з выразамі Ф=1°, ф=10°, ф = —3° і г. д. Такія вуглы, як вуглы ў 30°, 45°, 60°, 90°, 135° і інш., вельмі часта будуць сустракацца ў практыкаваннях. Радыянную меру гэтых вуглоў карысна памятаць: 30°=^; 45° = ^; 60° = ~; 90° = ~; 135°=|к і г. д. У «Чатырохзначных матэматычных табліцах» У. М. Брадзіса на старонках 59—61 змешчаны табліцы для пераводу градуснай меры вугла (дугі) у радыянную. Гэтымі ж табліцамі можна карыстацца і для рашэння адваротнай задачы, гэта значыць для ператварэння радыяннай меры вугла ў градусную. На старонках 62—64 у табліцах У. М. Брадзіса змешчаны значэнні функцый sin ф, cos ф і tg ф для вуглоў ф, выражаных у радыянах. Калі пад ф разумець вугал, які выражаны ў радыянах, то перыядам функцый sin ф і cos ф будзе вугал 2л, а перыядам функцый tg ф і ctg ф — вугал л. Практыкаванні (698. Дадзеныя вуглы выразіць у радыянахі а) 40°; б) 150°; в) 315°; г) 1000°. 693. Дадзеныя вуглы выразіць у градусах: а) Т’ б) 5 ~’ в) 7"; г)Т”’ ^00. У якой чвэрці заканчваюцца вуглы: 1)^; 2)^; 3) ^; 4)0,80; 5)3; 6)3,25; \7) 100; 8)1 ? 250 701. Вылічыць: a) a2siny + t2cos0 + 2ab cosk; 6) 3 cos 4 sin3 + 8 tg k; “ Z з 0 Г b) 2 cos k + 6 ctg — it — 5 sin 2k; * • 3 * ^ ^*^x« r) 2 tg 0 + sin — cos y it — ctg it. 702. Для якіх значэнняў x выраз tg I x— I не вызначаны? 703. Якія з дадзеных велічынь з’яўляюцца дадатнымі і якія адмоўнымі: a) sin——; б) cos 2; в) tgyz; г) ctg 100? Выкарыстоўваючы трыганаметрычныя табліцы, вылічыць: 704. sin 0,5+cos 2,7+tg 0,6ctg 2,8. 705. tg 2,5+ctg 1,5+sin 0,3 • cos 0,3. 706. Пры якой умове даўжыня дугі акружнасці роўна яе радыяннай меры? 707. Што больш: a) sin 0,63 або sin 0,87; б) cos 1,8 або cos 1,83; в) sin 4° або sin 4; г) telgj аб° ^^? § 108. Трыганаметрычныя функцыі лікавага аргумента Да цяперашняга часу, гаворачы аб трыганаметрычных функцыях, мы лічылі, што аргументамі гэтых функцый з’яўляюцца вуглы або дугі. Цяпер мы хочам разгледзець трыганаметрычныя функцыі лікавага аргумента. Такое жаданне зусім натуральнае. Калі мы гаворым, напрыклад, аб квадратнай функцыі у = ах2, то пад х мы разумеем проста лік. Гэты лік можа характары заваць час у свабодным падзенні цел супраціўленне электрычнага ланцуга ў законе Джоўля — Лёнца (Q—IR2) і г.' д. 251 Чаму ж у такім выпадку, гаворачы аб функцыі y = tgx, мы падх павінны разумець абавязкова вугал? Азначэнне. Сінусам ліку х называецца лік, роуны сінусу вугла ў х радыянаў. Косінусам ліку х называецца лік, роўны косінусу вугла ў х радыянаў. Аналагічна вызначаюцца і іншыя трыганаметрычныя функцыі . к /1 к 1 лікавага аргумента х. Напрыклад, sin^ = ——; cos^ = 5; 77 77 77 ужо тр, у і g—не вуглы, выража it 1 tg'6' = p3 ' г' А' Тут ныя ў радыянах, а проста лікі. Практыкаванні Якія з дадзеных лікаў з’яўляюцца дадатнымі і якія адмоўнымі (№ 708, 709): З^ a) sin3; б) cos 6; в) tg9; г) ctg 12. 70^ a) cos (—5); 6)tg(—10); в) sin (—15); r) ctg (—20)? § 109. Алгебраічныя суадносіны паміж трыганаметрычнымі функцыямі аднаго і таго ж аргумента Перш за ўсё адзначым ужо вядомыя нам тоеснасці X sin® '«“•Д^г <» і COS ® Ctg a = —~—. (2) smcp 3 гэтых дзвюх тоеснасцей вынікае, што tgcp • ctg? =4. (3) Цяпер пакажам, што для любога вугла sin2 9 + cos2 9 = І *. (4) Дапусцім, што ОА=(х, у) ёсць вектар адзінкавай даўжыні, які ўтварае з воссю х вугал <р (рыс, 167), Тады sin q—y, cos <р=х. Квадрат даўжыні любога вектара роўны суме квадратаў яго каардынат. 3 гэтага сцверджання і вынікае формула (4). * Выразы sin2 ?, cos3 ? і г. д. ужываюцца для запісу квадратаў (sin f)3, (cos?)3 і г. д. 252 Нам вядомы наступныя суадносіны: sec » = (5) 1 cos^ і cosec » = —. (6) Sin ф ' Да атрыманых шасці тоеснасцей дададзім яшчэ дзве: У A 0 X Рыс. 167, 1 + tg2 ф = sec2 ф, 1 + ctg2 ф = cosec2 ф. Дакажам, напрыклад, тоеснасць (7): (7) (8) 1 + tg2 ? = 1 sin2 Ф COS2 ф + sin2 <5 COS2 ф COS2

0. Значыць, вугал ф заканчваецца або ў 1й, або ў 2й чвэрці. Калі ён заканч4 ваецца ў 1й чвэрці, to coscp = +~ Калі ж ён заканчваецца 4 ° ў 2й чвэрці, то созф=—. У першым выпадку sin ? 5 3 1 5 b ‘ cos 9 4 4 cos 9 4 5“ , 14 15 ctg 9 = j—■ = cosec 9 = —— = tg 9 3 sin 9 3 У другім выпадку , 3.4 5 5 tg? = —yi ctg9 = —y; seC9 = —y; cosec 9 = y. П p ы к л a д 2. Знайсці значэнні трыгана.метрычных функцый вугла ф, калі вядома, што ён заканчваецца ў 4й чвэрці і 3 Выкарыстоўваючы тоеснасць 141§2ф = 5ес2ф, знойдзем sec ф: sec 9 = /1 + tg29 = у 1 +J — у) = у. Знак + перад радыкалам мы ўзялі таму, што вугал ф па ўмове заканчваецца ў 4й чвэрці, sec ф=, а косінус вугла, які заканчваецца ў 4й чвэрці, дадатны; таму дадатны і sec ф. Далей атрымліваем: 1 4 cos 9 == F. sec 9 5 Цяпер, выкарыстоўваючы тоеснасць зіп2ф+соз2ф= 1, знойдзем sin ф: sin 9 = — у 1 — COS'9 =~. 254 Тут перад радыкалам трэба браць знак —, паколькі сінус вугла, які заканчваецца ў 4й чвэрці, адмоўны. Заўважым, што ў дадзеным выпадку больш рацыянальна быс " • ■ ■ 1 sin ф . ло б знапсці sin ф з тоеснасці tgф =Аднак мы свядома cos ф ' атрымалі sin ф іншым шляхам, каб яшчэ раз паказаць, як трэба выбіраць знак (+ або —) перад радыкалам. , Такім чынам, мы атрымалі cos ф, sin ф, tgф і sec ф. Пасля гэтага лёгка знайсці значэнні і іншых трыганаметрычных функцый вугла ф: , ■ . 1 М 1 5 cig ? = 7=5; cosec s = —— =—. tg <р 3 sin ср 3 Практыкаванні 717. Знайсці значэнні трыганаметрычных наступных даных: 1) sin a = 0,6, 0°

<1 2...30 31 32 333435 36 37 38...89 90 >