КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

2)	sin a =—, it < a < — z;
3)	cos a =44, 270° 6 > 0)
і вугал ф заканчваецца не ў 1й чвэрці.
719.	Знайсці значэнні трыганаметрычных функцый вугла ф, калі вядома, што (§ф=я21 (|а|^1) і вугал ф заканчваецца не ў 2й чвэрці,
§111. Формулы прывядзення "*
Тэарэма. Для любога вугла у sin (90° + 9) = cos®.	(1)
Д 0 к а з. Калі вугал ф заканчваецца ў 1й чвэрці (рыс. 168, a),
255
TO вугал 90°+ф павінен заканчвацца ў 2й чвэрці. Выкарыстоўваючы адзінкавы круг, атрымліваем:
sin (90°|ф) =В£), cos ф=ОС.
Але трохвугольнікі ОАС і BOD роўныя; таму BD — OC. Адсюль вынікае роўнасць (1).
Калі вугал заканчваецца ў 2й чвэрці (рыс. 168,6), то вугал 90°+ф павінен заканчвацца ў 3й чвэрці. Выкарыстоўваючы адзінкавы круг, атрымаем:
5Іп(90°+ф)=—BD, cos ф= — ОС.
Трохвугольнікі ОАС і BOD роўныя; таму BD = OC. Значыць, —BD ——ОС, або sin(90°+ф) =cos ф.
Аналагічна можна разгледзець выпадкі, калі вугал ф заканчваецца ў 3й або ў 4й чвэрці. Тоеснасць (1) лёгка праверыць і ў выпадку, калі канечная старана вугла ф ляжыць на якойнебудзь восі каардынат. Прапануем вучням самастойна пераканацца ў гэтым,
3	даказанай тоеснасці (1) вынікае рад іншых важных тоеснасцей. Замяніўшы ў (1) ф на —ф, атрымліваем:
sin(90°—ф)—cos(—ф)=соэф.	(2)
Каб атрымаць аналагічную формулу для cos(90°—ф), заменім у (2) ф на 90°—ф. У рэзультаце атрымаем:
sin [90°—(90°—ф)]=соз(90°—ф), або
sin ф=соз(90°—ф),
Такім чынам, cos (90°—ф)—эіпф,	(3)
3 (2) і (3) вынікае: ,	. sin (90° — ф) cos ф ,
tg(90°—ф)=с1§ф.	(4)
256
Аналагічна,
* /пло і cos (90° — ?) sin ?
ctg(90 ?)^Цэд^^ cos?
ctg(90°—ф)=tgф,	(5)
Формулы
sin (90°—ф) — cos 90°, то ці аі=90°+а2,
ці аі = 180°+а2,
ці яі=270офй2,
26і
дзе й2 — ужо востры вугал. Выкарыстоўваючы формулы прывядзення, мы можам цяпер звесці нашу задачу да знаходжання значэнняў трыганаметрычных функцый вострага вугла аг.
Прыклады. 1) Знайсці sin 757°24'.
Маем:
757с24'=360°2+37о24'.
Таму
sin 757°24'=sin(360o2+37°24/)=sin 37°24'.
Сінус вугла ў 37°24' знаходзім па табліцы У. М. Брадзіса. Ен аказваецца роўным 0,6074. Таму
sin 757°24/ = 0,6074.
2)	Знайсці tg( —1927°30').
Перш за ўсё заўважым, што
tg(1927°30')=—tg 1927°30'.
Цяпер запішам вугал 1927°30' у выглядзе
1927°30'=360° 54127°30'.
Адсюль
tg(1927°30') =tg(360°5+127o30') =tg 127°30';
але 127с30' = 90° + 37°30'. Таму, выкарыстоўваючы формулы прывядзення, атрымліваем:
tg 127o30/ = tg(90°+37°30/) =ctg 37°30'.
Канчаткова атрымліваем, выкарыстоўваючы табліцы У. М. Брадзіса,
tg (_ 1927с30') = ctg 37°30' = 1,3032.
Значыць, для таго каб знаходзіць значэнні трыганаметрычных функцый sin X, COS X, tg X і ctg х для любых значэнняў X, зусім дастаткова ўмець знаходзіць значэнні гэтых функцый толькі для 0°^х^90° (або 0 < х < у); для ўсіх жа астатніх х значэнні функцый можна знайсці, скарыстоўваючы ўжо вядомыя нам трыганаметрычныя тоеснасці. Адсюль можна зрабіць наступны вывад:
Паводзіны функцый sinx, cosx, tgx і (Agx пры ўсіх зкачэннях х цалкам вызначаюццл іх паводзінамі пры
■к
0 < X < Х.
262
Праятыказанне
743.	Выкарыстоўваючы «Чатырохзначныя матэматычныя табліцы», знайсці сінусы, косінусы, тангенсы і катапгенсы наступных вутлоў:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	112° 14';	9)	824°22'; 217°47';	10)	1307°21'; 233°21';	11)	1715°39'; 165°58';	12)	3928° 15'; 283° 13';	13)	5; 351°05';	14)	6,3; 100°17';	15) 1000;	г 275°57';	16) 3,14.	^//^^^'^^
§ 113. Графік функцыі y = s:nx
Як было адзначана ў папярэднім параграфе, паводзіны функцыі у —sinx на ўсёй лікавай прамой (або пры ўсіх значэннях аргумента х) поўнасцю вызначаюцца яе паводзінамі ў інтэрвале О^х^у. Таму перш за ўсё мы пабудуем графік функцыі y=sinx іменна ў гэтым інтэрвале. Складзём наступную табліцу значэнняў нашай функцыі: