• Газеты, часопісы і г.д.
    • Алгебра і элементарныя функцыі

    Алгебра і элементарныя функцыі


    Выдавец: Народная асвета
    Памер: 659с.
    Мінск 1967
    395.43 МБ
    Калі m цотна (m=2k), to
Рыс. 186.
282
Калі ж т няцотна (т=2Н1), тс
(— 1)'п arc sin 1 + m ~ =+ ^^ ^ + ^ = у + 2й ^.
I адзін і другі выпадкі ўлічваюцца формулай (6).
Нарэшце, калі а =— 1, то коранямі ўраўнення sinx=a будуць лікі (гл. рьТс. 187)
x = _Z_ + 2/^	(7)
дзе k прабягае ўсе цэлыя лікі (/г = 0, ±1, ±2, ±3, .. .). Прапануем вучням даказаць, што пры а = —1 формула (7) дае той жа ”
рэзультат, што і агульная формула (4). Іакім чынт^Ч^ррм’^кі (4) задае ўсе корані ўраўнення (1) пры любых значэннях а, калі толькі |а|^1. Аднак пры а = 0, а —+ 1, а = —1 мэтазгодна адразу ж выкарыстаць формулы (5), (6) і (7), не звяртаючыся да агульнай формулы (4).
У заключэнне адзначым, што формулы (4), (5), (6) і (7) можна выкарыстаць толькі тады, калі шука^^і вугал х выражаны ў радыянах. Калі ж х выражаны ў град^х, то гэтыя формулы трэба натуральным чынам змяніць. Напрыклад, замест формулы (4) трэба выкарыстаць формулу
х—(—l)m arc sin а+180°/п,
замест формулы (5)—формулу
х = 180°т
і г. д.
П р ы к л а д ы.
1)	Рашыць ураўненне sinx=—j
2S3
Прывядзём два магчымыя варыянты запісу рашэння.
1 ы в а р ы я н т
х=(—і)'" arc sin^2—F180°m = = (—1)"60о+ 180’m.
Адказ. х=(—1)"!60°+180°m, дзе гп — любы цэлы лік.
2і в а р ы я н т
х = (— l)m arc sin 1 m к =
= (l)'nL + mz.
Адказ. х = (—1)т^+ тл, дзе т— любы цэлы лік.
Недапушчальна ў адным і тым жа рашэнні часткова выкарыстаць 1ы і часткова 2і варыянты. Напрыклад, адказ да дадзенага практыкавання нельга запісаць у выглядзе
або
х= (—1)т 60°+т л,
х = (— 1)^Л + і80°/п, о
2)	Рашыць ураўненне sin(l—2х)=—у
У адрозненне ад прыкладу 1 тут шукаемыя значэнні х нельга выражацьуградусах. Ва ўмове задачы пад знакам сінуса стаіць выраз Ь^вЖаяўнасць адзінкі паказвае, што х — або вугал, выражаійМЯ^ыянах, або проста лік. Таму рашэнне дадзенага З^аўнЯЯ^рэба запісаць наступным чынам:
1 — 2х = (— l)m arc sin (^j + тт: —
= (— l)m ( — yj + mix = (— l)m+1 y + m^.
Адсюль Л
Напрыклад, пры m — 0 x = ~ +
.	1	^ 7t 1	7 .
"p“"‘ x = ——y = Yr , r. Д.
3)	Рашыць ураўненне sin(30°—x) =0.
Тут, як лёгка зразумець, пад х падразумяваецца вугал, выражаны ў градусах. Таму рашэнне дадзенага ўраўнення можна запісаць наступным чынам:
30°x=180°m, х=30°180°т.
284
Паколькі пад т мы падразумяваем любы цэлы лік (у тым ліку і адмоўны!), то атрыманы рэзультат можна, вядома, запісаць і ў іншай форме, а іменна:
х=30°+180°п,
дзе п — любы цэлы лік.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні (№
787—796):
787.
1 sin X = ——,
V 2
792.	sin (4х
2
788.
sin X = —
/3
2
793.	sin (60° — х) =
789.
sin 2х = 0.
794.	sin (2х + 1) = 4.
790.
791.
• х 1
ІІПТ = 1'
sin (2х } 30°) = — 1.
795. sinтгх = 0.
796*. sin х + sin 2х = 2.
§ 119. Арккосінус ліку a
У § 117 мы адзначалі, што роўнасць sin <р=а
пры |а|^1 адназначна вызначае вугал <р, калі дадаткова патрэбаваць, каб ён знаходзіўся ў межах
4^?<4' або90°1, то касінусоіда y — cosx не перасякаецца з прамой у=а (рыс. 189). У гэтым выпадку ўраўненне (1) не мае кораняў,
Пры |а|^1 атрымліваецца бясконца многа пунктаў перасячэння (гл. рыс. 190 для а>0 і рыс. 191 для а<0).
Усе гэтыя пункты перасячэння мы разаб’ём на дзве групы:
..., /1—2, Л_і, Л, Л,, Лг, .., ;
.,S—2, В—і, В, В\, В2, ,.. .
Пункт Л мае абсцысу arc cos a, а ўсе астатнія пункты першай групы знаходзяцца ад яго на адлегласцях, кратных 2л. Таму іх абсцысы выражаюцца як
(2)
arc cos a\2k л.
Пункт В, як лёгка зразумець з рысункаў 190 і 191, мае абсцысу —arc cos a, а ўсе астатнія пункты другой групы аддалены ад яго на адлегласці, кратныя 2л. Таму іх абсцысы выражаюцца як
— arc cos а\2п л.
(3)
288
Такім чынам, ураўненне (1) мае дзве групы кораняў, якія вызначаюцца формуламі (2) і (3). Але гэтыя дзве формулы можна, відавочна, запісаць у выглядзе адной формулы:
x=±arc cos а\2т л,	(4)
дзе т прабягае ўсе цэлыя лікі (т=0, ±1, ±2, ±3, ...).
Тыя разважанні, якія мы праводзілі пры вывадзе гэтай формулы, правільныя толькі пры |а|=#1. Аднак фармальна суадносіна (4) вызначае ўсе корані ўраўнення cosx=« і пры |а|=1. (Дакажыце гэта!) Таму можна сказаць, што формула (4) дае ўсе корані ўраўнення (1) пры любых значэннях а, калі толькі |а|^ 1.
Але ўсё ж у трох прыватных выпадках (а=0, а= —1, а= + 1) мы рэкамендуем не звяртацца да формулы (4), а карыстацца іншымі суадносінамі. Карысна запомніць, што корані ўраўнення cosx=0 задаюцца формулай
х = ~ + 2л	(5)
корані ўраўнення cosx= —1 задаюцца формулай
х—л+2тл	(6)
і,	нарэшце, корані ўраўнення cosx=l задаюцца формулай х=2тл.	(7)
У заключэнне адзначым, што формулы (4), (5), (6) і (7) правільныя толькі ў дапушчэнні, што шукаемы вугал х выражаны ў радыянах. Калі ж ён выражаны ў градусах, то гэтыя формулы трэба натуральным чынам змяніць. Так, формулу (4) трэба замяніць формулай
х=±агс cos а+360°п,
формулу (5) — формулай
х=90°+360°п і г. д.
П р ы к л а д ы.
1)	Рашыць ураўненне cos3x=^.
Па формуле (4) знаходзім
1	Z
Зх = + arc cos— + 2mл = + — +,2тл.
Адсюль
л 2
А'= ± д + у ттг.
10 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
289
Адказ да задачы можна было б выразіць і ў градусах: х=±20°+120°т.
** Аднак не трэба запісваць адказ у форме, у якой градусы пера	/	о 2
мешваюцца з радыянамі I напрыклад, х = ± 20° + ^ m к або
Х = + "g 4 120°т
2)	Рашыць ураўненне cos ^2х j —— 1.
Відавочна, што тут шукаемы вугал х выражаны ў радыянах, Таму, выкарыстоўваючы формулу (6), рашэнне можна запісаць такім чынам:
—2х = кф 2m it,
4 адкуль
2х =— 2m ,
4 або
3
х =^ ~ — т~.
Паколькі пад m тут падразумяваецца любы цэлы лік (у тым ліку і адмоўны), то адказ можна запісаць у выглядзе
х =
3
8
Прачтыказанні
Рашьшь ураўненні: 1
812.	cosх =2~.
813.	cos Зх = ■^•
814.	cos 4х = — 1.
815.	cos (30° — х) = 1.
816.	cos5x = «.
817.	cost: X = 1.
cos (2х — 1) = L.
819.	cos (20° —
820.	sin х + cos х = — 2.
821.	cos х + cos 2x = — 2.
822.	sin x cos x = 1.
290
§ 121. Арктангенс і арккатангенс ліку a
Роўнасць
tg



   
    
	
    2007-2025
    
	
    Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу 
    або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
     пішыце ў кантакты