КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Няхай, напрыклад, трэба рашыць ураўненне sin х=1—х.
На адным і тым жа рысунку начэрцім два графікі: графік функцыі у —sinx і графік функцыі у=1—х (рыс. 197). Гэтыя графікі перасякаюцца ў адным пункце. Абсцыса гэтага пункта і дае нам адзіны корань нашага ўраўнення:
х«0,5.
301
Для ўдакладнення атрыманага рэзультату можна выкарыстаць трыганаметрычныя табліцы. Пры х = 0,5
sin х» 0,4794,
1х=0,5;
значыць, sinxl—х. Але тады, як лёгка зразумець з таго ж рысунка 197, шукаемы корань х0 павінен быць меншы, чым 0,6. Цяпер ужо мы ведаем, што х0 знаходзіцца ў інтэрвале [0,5; 0,6]. Таму з дакладнасцю да 0,1
хэ~0,5 (з недахопам), хо~О,6 (з лішкам).
3 дапамогай табліц можна знайсці набліжанае значэнпе х0 і з дакладнасцю да 0,01. Падзелім інтэрвал [0,5; 0,6] папалам. У сярэдпім пункце (х=0,55) гэтага інтэрвалу
sin х« 0,5227, 1х=0,45.
Зноў атрымліваем, што sinx>l—х. Значыць, х0<0,55. Праверым пункт х=0,52 (ён блізкі да сярэдняга пункта х=0,525 адрэзка [0,50; 0,55], у якім знаходзіцца корань х0). Пры х —0,52 sin х« 0,4969.
1—х=0,48.
Зноў sinx>l—х, таму х0<0,52. Такім чынам,
0,50 <х0< 0,52.
Таму з дакладнасцю да 0,01
Хо ~ 0,51.
Практыкаванні
879.	Вышэй мы паказалі, што з дакладнасцю да 0,01 корань ураўнення sinx=l—х роўны 0,51. Вызначце, якое гэта значэнне кораня: з недахопам ці з лішкам.
880.	Знайсці корані дадзеных ураўненняў з дакладнасцю да 0,01:
a) cosx=x—1; б) sin х+0,5==х.
881.	Колькі кораняў мае ўраўненне 10sinx = x?
882.	Знайсці найменшы дадатны корань ураўнення tgx=l—х з дакладнасцю да 0,01.
302
§ 126. Трыганаметрычныя няроўнасці
Пры рашэнні трыганаметрычных няроўнасцей карысна звяртацца да графікаў, Няхай, напрыклад, трэба рашыць няроўнасць
ч 1 COS X > у.
На адным і тым жа чарцяжы пабудуем графікі функцый i/ = cosx і і/ = ў (рыс. 198). Як відаць з рысунка, адзін з інтэрвалаў, у якім выконваецца дадзеная няроўнасць, знаходзіцца пам ж найменшымі па абсалютнай велічыні коранямі ўраўнення cosx = 2"»
Рыс 198
гэта значыць паміж пунктамі х = —^ і х = у. Усе астатнія інтэрвалы, у якіх выконваецца дадзеная няроўнасць, атрымліваюцца шляхам зрушэння інтэрвалу Iх, ^ улева або ўправа на адлегласці, кратныя 2«. Таму няроўнасць cos х > ^ выконваецца пры ўмове, што
— у + 2пк<х<у + 2/ііг, дзе п — любы цэлы лік.
Разгледзім яшчэ адзін прыклад. Рашыць няроўнасць
2 cos2x 4 3 cos х — 2 > 0.
Абазначыўшы cosx праз у. прыйдзем да наступнай квадратнай няроўнасці:
2уа + Зу2>0.
Гэта няроўнасць выконваецца пры у < — 2 і
1
У> 2 '
Таму ўсе
рашэнні дадзенай няроўнасці павінны задавальняць або няроўнасці
.303
cosx<— 2, або няроўнасці cosx>—. Першая з гэтых няроўнасцей не выконваецца ні пры якіх зяачэннях х; другая ж няроўнасць, як мы паказалі вышэй, выконзаецца пры
q + 2п it < х < у + 2л іг.
Практыкаванні
Рашыць няроўнасці:
883.	tg х > 1.
884.	sinx0.
886.	sin2x > cos x.
887.	| sin x | >
Задачы на паўтарэнне
Даказаць тоеснасці (№ 888—891):
888.
(r cos a)2 4 (r sin a • sin 3)2 + (r sin a • cos 3)2 = r2,
1 — sin a
890.
891.
1 + sin a cos a • tg2 a
1 + COS a COS 2a ctg2 a — tg2 a
1 + sin a o , 1—7— = 2 sec a I.
1 — sin a
= sec a.
= v sin2 2a. 4
Рашыць дадзеныя няроўнасці (№ 892—894) адносна вострага вугла a:
892*. cos (a — 120°) > sin (64° + a).
893*. tg (65° — 2a) > ctg (40° — a).
 894*. sin (a + 30") > cos (72° — 2a).
895.	Знайсці косінус, тангенс i катанге’нс вугла <р, калі вядома. што sin ф = 0,28.
896.	Знайсці сінус, тангенс і катангенс вугла о, калі вядома, што cos» =—0,96 і вугал ? заканчваецца не ў 3й чвэрці.
897.	Знайсці сінус, косгнус і катангенс вугла ^, калі вядома, што гэты вугал заканчваецца ў 3й чвэрці і
,	1
(s?“3
304
Знайсці сінусы, косінусы, тангенсы і катангенсы наступных вуглоў (№ 898—901):
898.	arc sin 0,28 і arc sin (—0,28).
899.	arc cos 0,96 i arc cos (—0,96).
, 5 .	, /	5
900.	arctg^ i arctg j2
901. arc ctg 1 —io
Спрасціць дадзеныя выразы (№ 902—905):
902. sin ( arc cos 0,6
903. cos
— + arc cos (— 0,8)
904. tg
905. sin
3 arc tg0,75g it
906.	a) sin a = sin p. Ці можна сказаць, што a = 3?
6)	sin a = sin p, прычым вуглы a i p заканчваюцца ў адной i той жа чвэрці. Ці можна сказаць, што a = р?
в)	sin a = sin р, прычым 0<а<лі0<р<л. Ці можна сказаць, што a = р?
г)	sin a = sin р, прычыму у 1т < Р < Ці можна сказаць, што a = р?
907.	Чым адрозніваюцца адна ад другой функцыі у = х і у = sin (arc sin х)?
Параўнайце графікі гэтых функцый.
908*. Пабудаваць графік функцыі у = arc cos (cos х).
909*. На плоскасці хОу знайсці мноства ўсіх пунктаў, каардынаты (х, у) якіх задавальняюць умове
sin (х + у) = 0.
910.	Пры якіх значэннях а вызначаны выразы:
' sin s ф 1 '	' sin a — cos a
X cigа
6)ОЁ!'	Д) •Г
cos a — 0,5	sin a 4 cos a
b) J cos a—1;	e) tg 2a?
305
6) arc cos
911.	Пры якіх значэннях а дадзеныя ўраўненні маюць корані: a) tg2x + tg х + a = 0;
б)	sin2x + sin х + a = 0? Праверыць дадзеныя роўнасці (№ 912—915): 912. arc sin (sin 1) = 1. 913. arc sin (sin 2) = л — 2. 914. arc cos (cos 1,5) = 1.5. 915. arc cos (cos 2,5) = 2,5. 916. Даказаць тоеснасці:
a)	arc sin x + arc cos x = y;
6)	arc tg x + arc ctg x =	.
Вылічыць (№ 917—919): /	2 \
917.	arc tg ctgyir , 918. arc ctg (tg 0.6). 919. arc cos (sin 2).
920.	Што больш:
X	2 a ■	3
a)	arc cos vr або arc sin—: '	3	4
4 \	/5
— або arc cosF 5 /	\ o
b)	arc tg 3 або arc tg 4?
Рашыць дадзеныя ўраўненні (№ 921—930) 921. tg3x + tg2x — 3 tg x = 3. 922. 3 sin2x + 2 sin x cos x = 2. 923. sin x — cos 2x + sin 4x = 3. 924. cos x = j/ 2 sin2x. 925. sin x + cos x = 1 +2 sin x cos x. 926. sin (~ cos x) = 0.
927.	cos 2x sin x = cos 2x.
306
928.	*ЬЦ— = 0
tg X + ctg X
929.	У1 — sin2x = cos x.
930.	j/ 1 — cos2x = — sin x.
931 .„Даказаць, што ўрауненне sin x + sin 2x + sin 3x + • • • + 4 sin lOOx = 100 не мае кораняў.
1 I
Раздзел VI
ЛІКАВЫЯ ПАСЛЯДОЎНАСЦІ
§ 127. Лікавыя паслядоўнасці і спосабы іх задавання. Канечныя і бесканечныя паслядоўнасці
Разгледзім наступныя тры сукупнасці лікаў:
1, 2, 3, 4....п, ...,
1	1	1	(—ІГ’1
2’ 3’	4’ •■•’ п
(1)
(2)
sinl, sin2, sin3, sin4, ..., sinn.........	(3)
Натуральна лічыць, што кожны лік у любой з гзтых сукупнасцей забяспечаны пумарам у адпаведнасці з тым месцам, якое ён займае ў гэтай сукупнасці. Напрыклад, у другой сукупнасці лік 1 мае нумар 1, лікнумар 2, лік^нумар 3 і г. д.
Наадварот, які б нумар мы ні ўказалі, у кожнай з гэтых сукупнасцей знойдзецца лік, забяспечаны гэтым нумарам. Напрыклад, нумар 2 у першай паслядоўнасці мае лік 2, у другой —
1 лікт,
у трэцяй — лік sin 2. Аналагічна, нумар 10 маюць: у
першай паслядоўнасці — лік 10, у другой — лік —ру, у трэцяй — лік sin 10 і г. д. Такім чынам, у дадзеных вышэй сукупнасцях кожны лік не толькі мае пэўны нумар, але і поўнасцю вызначаецца гэтым нумарам.
Сукупнасць лікаў, кожны з якіх забяспечаны сваім нумарам, называецца лікавай паслядоўнасцю.
Асобныя лікі паслядоўнасці называюцца яе членамі і абазначаюцца звычайна так: першы член alt другі п2....... пы член а„ і г. д. Уся лікавая паслядоўнасць абазначаецца
Оі, о2, о3........ап, ..., або {ап}.
308
Задаць лікавую паслядоўнасць — гэта значыць указаць, як адшукваецца той ці іншы яе член, калі вядомы нумар займаемага ім месца. Існуе многа розных спосабаў задавання лікавых паслядоўнасцей. Ніжэй мы спынімся на некаторых з іх.
1.	Звычайна лікавая паслядоўнасць задаецца пры дапамозе формулы, якая дазваляе па нумару члена паслядоўнасці вызначыць гэты член. Напрыклад, калі вядома, што пры любым п
ап = «2> то
Яі = 1, я2 = 4, а3 = 9 і г. д.
Пры
a = sin п мы атрымаем: ах = sin ^ = 1, а2 = sin тс = 0,
з
a, = sin^ к = —1, я4 = sin 2^ = 0 і г. д.
d 2
Формула, якая дазваляе знайсці любы член лікавай паслядоўнасці па нумару гэтага члена, называецца формулай агульнага члена лікавай паслядоунасці.
2.	Бываюць выпадкі, калі паслядоўнасць задаецца пры дапамозе апісання яе членаў. Напрыклад, гавораць, што паслядоўнасць
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...
састаўлена з набліжаных значэнняў /2 з недахопам з дакладнасцю да 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і г. д. У падобных выпадках часам наогул нелыа ўстанавіць формулу агульнага члена; тым не менш паслядоўнасць аказваецца поўнасцю вызначанай.
3.	Часам указваецца некалькі першых членаў паслядоўнасці, а ўсе астатнія члены вызначаюцца гэтымі зададзенымі членамі па таму ці іншаму правілу. Няхай, напрыклад,
о4 = 1, а2 = 1,
а кожны наступны член вызначаецца як сума двух папярэдніх. Іпшымі словамі, дапусцім, што пры любым п > 3
а„ = ял_4 + ал_2.
Так вызначаецца лікавая паслядоўнасць
1,	1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34..
члены якой носяць назву «лікаў Фібаначы» (па імю італьянскага матэматыка Леанарда Пізанскага (каля 1170—1250), якога называюць таксама Фібаначы, гэта значыць «сын Банача»). Яны маюць многія цікавыя ўласцівасці, разгледжанне якіх, аднак, выходзіць за межы нашай праграмы.
Паслядоўнасць можа састаяць як з канечнай, так і з бесканечнай колькасці членаў.
„ . ^. , г^^ = 7	”
Паслядоўнасць, якая састаіць з канечнага ліку членаў, называецца канечнай, а паслядоўнасць, якая састаіць з бесканечнага ліку членаў, — бесканечнай паслядоўнасцю.
Напрыклад, паслядоўнасць усіх цотных дадатных лікаў 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... бесканечная, а паслядоўнасць адназначных цотных дадатных лікаў 2, 4, 6, 8 канечная.
Практыкаванні
9^2/Напісаць чатыры першыя лікі паслядоўнасці з агульным членам:
а) ап = 2	0 ап = £ІП^ jnj;
б)ал2 + Зя; д)а„ = (—1)";
Б)йТЙ: e)fl» = tgH2'
93&'Знайсці формулу агулыіага члена для кожнай з дадзеных пасадоўнасцей:
a)	1, 3, 5, 7, 9, ...;	д) tg45°, tg22c30', tgll"15', ..
б)	2, 4, 6, 8, 10, ...; е) 1, 1 ± р • • 4
в)	3, —3, 3, —3, 3, ...; ж) 1, 9, 25, 49, 81......
_1_ _1_ J_ _1_
Г' 3 ’ 9 ’ 27’ 81’ ”
9^Ці з’яўляецца канечнай паслядоўнасць усіх дадатных кораняў ураўнення:
a) sinx = x—1; б) tg х = х; в) sinx = ax + 6?
§ 128. Манатонныя паслядоўнасці
Калі кожны член паслядоўнасці, пачынаючы з другога, больйіы за папярэдні, то паслядоўнасць называецца манатонна ўзрастаючай.