Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
У гэтым раздзеле мы будзем вывучаць толькі такія пераменныя велічыні, якія можна разглядаць як агульныя члены некаторых лікавых паслядоўнасцей. Такія пераменныя велічыні мы будзем абазначаць сімваламі ап, Ьп, сп і г. д.
Прэдзелам пераменнай велічыні ап называецца прэдзел лікавай паслядоўнасці, для якой а„ ёсць агульны член.
Напрыклад, прэдзел пераменнай велічыні
ёсць, па азначэнню, прэдзел паслядоўнасці
1 ± ±
’ 2 ’ 3 ’ 4 ’ '"’ п...........
324
Відавочна, што прэдзел пераменнай велічыні можна вызначыць 1 такім чынам;
Лік а называецца прэдзелам пераменнай велічыні ап, калі для любога дадатнага ліку е можна знайсці такі нумар, пачынаючы з якога будзе выконвацца няроўнасць:
|ал«І оо. У гэтым параграфе мы будзем разглядаць толькі такія пераменныя велічыні, прэдзелы якіх існуюць. Для такіх велічынь мы без доказу назавём некалькі важных тэарэм.
Тэарэма 1. Прэдзел пастаяннай велічыні роўны самой гэтай велічыні:
11m с — с.
Л*оо
Пад «пастаяннай» велічынёй тут падразумяваецца «пераменная» велічыня ап, якая пры ўсіх п прымае адно і тое ж значэнне, роўнае с. Такой «пераменнай» велічыні адпавядае паслядоўнасць
с, с, с, ..с......
325
Тэарэма 2. Пастаянны мньжнік можна выносіць за знак прэдзелу:
lim (ka,) = £ • Ііт ап.
Прыклад. У § 130 было даказана, што
Таму
lim 5 1 + fl* co (
(1Г1
п
lim
fl* ос
= 5 lim
fl» 00
= 51=5.
1 + (=^ п
Тэарэма 3. Прэдзел сумы дзвюх пераменных велічынь роўны суме прэдзелаў гэтых велічынь:
lim (an + bn) = lim an + lim bn fl*oo fl*oo П~^<х
Прыклад. У § 130 i 131 было даказана, што
lim 1 + fl* оо
п
1 sin/2 _
= 1, lim= 0.
/I— 00 П
Таму
lim 1 4
fl* 00
п
sinn
п
= lim 1 + fl"* ОС I
(ІГ1
п
. v Sinn 1 n 1
j lim= I ~J~ 0 = I. fl* oc П
Дадзеная тэарэма' правільная не толькі для двух, але 1 для адвольнага фіксаванага ліку складаемых. Напрыклад,
lim (ал + bn + c„ + d„) = lim an+ lim bn + lim cn + lim dn.
fl*oc fl» 00 fl*oo fl* oo fl* 00
Тэарэма 4. Прэдзел здабытку дзвюх пераменных велічынь роўны здабытку прэдзелаў гэтых велічынь:
lim (ап • Ь„) = lim an • lim bn
fl*oo fl*oo fl* oo
П p ы к л a д.
fsinnf, , (—1)Я1]І r sinn .. . (—I)"1
hm 1 + ' — | = limlim 1 + '— П»oo [ ЛftI П+ cc П fl* oc _ ft
= 01 = 0.
I гэта тэарэма правільная не толькі для двух, але і для адвольнага фіксаванага ліку сумножнікаў. Напрыклад,
lim (ал ■ bn cn dn) = lim an ■ lim bn • lim cn • lim dn. fl»oc /1* 00 fl~* oc fl* co fl*oo
326
Тэарэма 5. Прэдзел дробў роўны дзелі ад дзялення прэдзелў лічніка на прэдзел назоўніка, калі толькі прэдзел назоўніка адрозны ад нуля:
lim ап
Л> 00
lim Ьп
П~* оо
lim =
Прыклад. Няхай
sin п
ап л п
. *„ = 1
(lim bn #= 0). п^а>
п
Тады
Заўважым, што пісаць
h lim bn
lim ^ = n* oo ^ lim an
П* OO
y дадзеным выпадку нельга, паколькі lim а„=0.
J n> 00
Трэба адзначыць, што хаця доказ дадзеных тэарэм выходзіць за межы школьнай праграмы, некаторыя вучні змогуць даказаць іх. Таму тым вучням, якія праяўляюць да матэматыкі асаблівы інтарэс, мы прапануем паспрабаваць даказаць гэтыя тэарэмы. А тэарэму 1 павінны даказаць усе,
Заўвага. Неабходна напомніць пагадненне, якое мы прынялі ў пачатку дадзенага параграфа. Мы ўмовіліся лічыць, што ўсе разглядаемыя намі пераменныя велічыні маюць прэдзелы. Калі ж гэта не так, то дадзеныя вышэй тэарэмы трацяць сэнс. Напрыклад, нельга пісаць (гл. тэарэму 2), што
lim 5п2 = 5 lim ла, ^
Л»00 П* 00
паколькі прэдзел limn2, відавочна, не існуе.
У заключэнне мы разгледзім прыклад на вылічэнне прэдзелу пераменнай велічыні з выкарыстаннем дадзеных вышэй тэарэм Няхай патрабуецца знайсці
.. п2 + 2л — 1
п^ Зп2 — л 4* 5
Падзелім лічнік і назоўнік дадзенага дробу на па. У рэзультаце атрымаем
п2 + 2п — 1 _ т л Па
Зп2 — л + 5 „ 1.5
327
Цяпер, выкарыстоўваючы прыведзеныя вышэй тэарэмы, атрымаем , 2 П
1ітл2 +2,11 + п7?)
Л * ое 2 Г ”"^— =3
_ _ 1+2.00 _ ±
3ііш1 + 5ііш ' 30 + 50 3'
П~* оо П П~* ж> Л
Тут мы выкарысталі відавочныя роўнасці
lim — = 0, lim4 = 0.
Л > ос П пюо п
Практыкаванні
Знайсці прэдзелы.
954. lim
Л+ 00
— п2 + 3 2п2 — 6п + 5’
957. lim
Л “» 00
П(1 —П.) (« + 1)(/г2) •
955. lim
П^ 00
Зп2 — п
п2 —5 '
958. lim
Л* 00
П2+ 1 000 000 п2+ 1
956. lim
П> 00
2п — 7
п2 + 7л — 9 '
959. lim ^ + ^ + \ л»а> ClitV 4“ ЬуП 4* Са
§ 137. limqn пры |^| < 1
П*00
У гэтым параграфе мы дакажам, што калі | <71 < 1, то прэдзел Hm qn існуе і роўны нулю. Нам давядзецца разгледзець асобна два выпадкі: 9 > 0 і 7 < 0.
Выпадак 1. 9 > 0. Перш за ўсё заўважым, што limqn ад. v n^QO
павядае лікаван паслядоўнасці
q, q2, q3, ..., qn..... (1)
Гэта паслядоўнасць пры 0 < <7 < 1 будзе манатонна ўбываючай (9Я+1<9Л) і абмежаванай (0<9п<1). Таму яна мае прэдзел. Абазначым гэты прэдзел літарай с і дакажам, што с = 0.
Калі з паслядоўнасці (1) выкінуць першы член, то атрымаецца паслядоўнасць
02> 9s, q^....qn+l, ..., (2)
328
яхая, відавочна, мае той жа самы прэдзел с, што і паслядоўяасцч (1). Агульны член паслядоўнэсці (1) ёсць an = q4, а паслядоўнасці (2) b„ = qn+1.
Маем:
lim qn = с,
П> 00
lim qn+1 = с.
Але qn+l = q ■ qn. Таму
с = lim qn+l = lim (q ■ qn) = q lim qn = qc.
П~* CD П* oo n~* CD
Такім чынам, c = qc, адкуль c = 0, паколькі ^І. Значыць, пры 0 < 9 < 1 прэдзел lim qn існуе i роўны нулю.
Выпадак 2. — 1 < CD
існуе і роўны 0. Маем:
|?’0| = |?’| = І9І”.
Паколькі |^| <1, то \q\n пры ўзрастанні п імкнецца да нуля (выпадак 1).
Значыць, з ростам п выраз \qn\ становіцца і застаецца менш любога наперад зададзенага дадатнага ліку. Таму, які б ні быў дадатны лік е, можна знайсці такі нумар, пачынаючы з якога будзе выконвацца няроўнасць
\q" — 01 < е.
Але гэта і азначае, што
lim qn = 0.
n> CD
Практыкаванні
960. Што вы мсжаце сказаць аб прэдзеле limg’, калі:
а) І9І = і; 6) |9| > 1?
961. Ці існуе Ііт^’ пры:
П* Оо
а) 9 = y; б) 9 = — ^; в) 9 = — 2; г) 9= —р?
§ 138. Што такое даўжыня акружнасці
У раздзеле II мы гаварылі аб тым, што такое даўжычя прамалінейнага адрэзка. Каб вымераць прамалінейны адрэзак АВ (рыс. 211), трэба выбраць адзінку вымярэння (напрыклп, адрэзак CD) і параўнаць АВ з гэтай адзінкай вымярэння. Цаўжыня
329
A_________ ^ адрэзка AB ёсць лік, які паказвае, коль
ь—“ кі разоў адзінка вымярэння ўкладваецца CO Ў гэтым адрэзку. А што разумець пад
£1 даўжынёй акружнасці? Акружнасць жа—
Рыс. 211. крывая лінія, і адкладваць на ёй адрэзак CD нельга. Такім чынам, мы сустракаемся з неабходнасцю вызначыць, што такое даўжыня акружнасці.
Няхай
Р^ Рз’ Рн.......Ріп+1, • • ■ (1)
— паслядоўнасць перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., упісаных у акружнасць радыуса г. Як мы ўжо гаварылі раней (§ 133), гэта паслядоўнасць манатонна ўзрастае і абмежавана. Таму існуе прэдзел
р = lim рал+і. л*оо
Гэты прэдзел мы і назавём даўжынёй акружнасці радыуса г.
Упішам цяпер у акружнасць радыуса г не 4х, 8мі, 16вугольнікі і г. д., а, напрыклад, правільныя 3х, 6ці, 12вугольнікі і г. д., перыметры якіх утвараюць паслядоўнасць
Рз, Рв< Різ....Рз ^1.................. (2)
Гэта паслядоўнасць таксама манатонна ўзрастае, абмежавана і, значыць, мае прэдзел
р' = lim р3.2лі.
Л* 00
^ЭТЬІ йпРэДзел Р', як і прэдзел р, таксама натуральна назваць даўжынёй акружнасці. Але ўзнікае пытанне: ці роўныя паміж сабой лікі р і р'І Калі б гэтыя лікі аказаліся рознымі, то прынятае намі азначэнне даўжыні акружнасці было б няўдачным.
Можна даказаць, што лікі р і р' роўныя паміж сабой. Наогул, як бы мы ні ўпісвалі ў акружнасць правільныя многавугольнікі, атрымліваючы кожны наступны шляхам падваення ліку старон папярэдняга, паслядоўнасць перыметраў гэтых многавугольнікаў заўсёды будзе сыходзіцца да аднаго і таго ж ліку, які прымаецца за даўжыню акружнасці. Больш таго, калі кожны наступны многавугольнік мы будзем атрымліваць не абавязкова шляхам падваення ліку старон папярэдняга, а якімнебудзь іншым спосабам (напрыклад, упісваць правільныя 3х, 4х, 5ці, 6вугольнікі і г. д.), то ўсё роўна паслядоўнасць перыметраў гэтых многавугольнікаў будзе сыходзіцца і прытым да таго ж самага ліку р, што і паслядоўнасць (1).
Доказ гэтых сцверджанняў выходзіць далёка за межы школьнай праграмы і таму тут не даецца.
Такім чынам, мы прымаем наступнае азначэнне даўжыні акружнасці:
330
даўжыня р акружнасці радыуса г ёсць прэдзел паслядэўнасці Рз< Рі' Pot Рб’ • • 1 Рп’ • • •
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вуголыіікаў і г. д., упісаных у гэту акружнасць:
р = lim рп.
па>
Рыс. 212.
Практыкаванне
962. Цяпер мы ведаем, як вызначаюцца даўжыні прамавугольных адрэзкаў і акружнасцей. А як бы вы вызначылі даўжыню адвольнай крывой (гл., напрыклад, рыс. 212)?
§ 139. Формула для знаходжгння даўжыні акружнасці
Лема. Адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра пастаянная для ўсіх акружнасцей.
Дапусцім, што А^ і А2В2 — стораны правільных /гвугольнікаў, упісаных у акружнасці Ог і О2 адпаведна (рыс. 213). Тады трохвугольнікі О1А1В1 і О2А2В2, як трохвугольнікі з адпаведна роўнымі вугламі, будуць падобныя, таму
А^В^ А2В2
О^А^ 02А2
Памнажаючы абедзве часткі
Рыс. 213.
гэтан роунасці на q—» атрымаем
п • АуВy л * А2В2
2 • ^А = 2 • О2А2 •
Але п • А1В1 = pn, п А2В2 = р'п, дзе р'п і р'п — перыметры правільных лвугольнікаў, упісаных у акружнасці 0г і 02 адпаведна. Значыць,
КНІГІ ОНЛАЙН
