КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

lim S = lim	— . lim (1 — qn) =
Але lim 1 = 1, П* 00
= ^— [lim 1 — lim ^l, 1	^ П* 00	H> oo
a lim qn = 0, таму
n> 00
S = lim S„ =
П+ 00
«1
• ~4
Такім чынам, сума бесканечна ўбываючай геаметрычнай прагрэсіі роўна першаму члену гэтай прагрэсіі, падзеленаму на адзінку мінус назоўнік гэтай прагрэсіі.
„	„	1 1 1
Напрыклад, сума геаметрычнан прагрэсп 1, х, ^,	...
роўна
„13
3
з
а сума геаметрычнайпрагрэсіі 12,— 6, 3, —, ... роўна
Практыкаванні
995, Што называецца сумай бесканечна ўбываючай геаметрычнай прагрэсіі?
99В. Знайсці сумы бесканечна ўбываючых геаметрычных прагрэсій:
1 1
а) 11 2 ’ 4 ’ 8 ’
б) з, 1, 4.
1
9 ’ ‘
345
B) jg+i, ьХхд..., + 3  1	/3 + 1
г) 1, x, x2, х3, ... (I х I < 1).
997.	Пры якіх значэннях х прагрэсія
a + х a — х (a — х V a — x’ a + x’\a + x/ ’“'
з’яўляецца бесканечна ўбываючай? Знайсці суму членаў такой прагрэсіі.
998.	У роўнастаронні трохвугольнік са стараной а ўпісаны пры дапамозе злучэння сярэдзін яго старон новы трохвугольнік; у гэты трохвугольнік тым жа спосабам упісаны новы трохвугольнік і гэтак далей да бесканечнасці,
Знайсці:
а)	суму перыметраў усіх гэтых трохвугольнікаў;
б)	суму іх плошчаў.
999.	У квадрат са стараной а ўпісаны шляхам злучэння сярэдзін яго старон новы квадрат; у гэты квадрат такім жа спосабам упісаны квадрат і гэтак далей да бесканечнасці. Знайсці суму перыметраў усіх гэтых квадратаў і суму іх плошчаў.
1000.	Саставіць бесканечна ўбываючую геаметрычную прагрэсію
——	25
такую, каб сума яе раўнялася ^—, а сума квадратаў яе членаў 625
раўнялася
Задачы на паўтарэнне
1001.	Ці будзе паслядоўнасць
1.	— 1, 2, —2, 3, —3, 4, —4, ..л
а)	абмежаванай знізу;
б)	абмежаванай зверху?
1002.	Даказаць, што ўсякая паслядоўнасць, якая мае прэдзел, абмежаваная. Ці правільнае адваротнае сцверджанне? Адказ растлумачыць на прыкладах.
1003.	Ці з’яўляецца паслядоўнасць усіх дадатных кораняў ураўнення sin у = 0:
а)	канечнай;
б)	абмежаванай?
1004.	а) Паслядоўнасць аь аг, а3, ... утварае арыфметычную прагрэсію. Ці будзе арыфметычнай ■ прагрэсіяй паслядоўнасць laj, |a2|. |a3|.
346
б) Паслядоўнасць аь а2, а3, ... утварае геаметрычную прагрэсію. Ці будзе геаметрычнай прагрэсіяй паслядоўнасць \aY\, | а21, I °з I,  •?
1005.	Дакажыце, што ўсякая арыфметычная прагрэсія ўяўляе сабой манатонную паслядоўнасць. Ці правільна гэта для геаметрычнай прагрэсіі?
1006.	Пры якім значэнні х лікі
а)	утвараюць арыфметычную прагрэсію;
б)	утвараюць геаметрычную прагрэсію;
в)	утвараюць адначасова і арыфметычную і геаметрычную прагрэсіі?
1007.	Знайсці суму
1008.	У геаметрычнай прагрэсіі ат+„ = A, ат_п = В. Знайсці йт ' ап
1009.	Ці існуюць такія тры лікі, якія адначасова з яўляюцца першымі членамі некаторай арыфметычнай і некаторай геаметрычнай прагрэсіі?
1010.	У якой арыфметычнай прагрэсіі сума двух любых яе членаў з’яўляецца лікам той жа прагрэсіі?
1011.	Ці могуць стораны прамавугольнага трохвугольніка ўтвараць:
а)	арыфметычную прагрэсію,
б)	геаметрычную прагрэсію?
1012.	У арыфметычнай прагрэсіі ат+„ — А, ат_п = В. Знайсці ат 1 ап
1013.	Ці могуць сума і рознасць двух членаў арыфметычнай прагрэсіі быць паслядоўнымі членамі той жа прагрэсіі? Калі могуць, то ў якім выпадку?
1014.	Знайсці арыфметычную прагрэсію, калі сума 7га і 9га яе члЙЙў роўна 30, а здабытак 6га і 10га членаў роўны 209.
1Q15. Даказаць, што калі ў арыфметычнай прагрэсіі для некаторых q) і q (р ^ q) Sp = Sq, to Sp+q = 0.
|Ц1&>Знайсці 3i i 10ы члены геаметрычнай прагрэсіі, калі іх сума роўна — 2 і вядома, што здабытак 2га і 11га членаў гэтай прагрэсіі роўны — 3.
1017*. Ці могуць лікі 10, 11, 12 быць членамі (не абавязкова суседнімі) адной і той жа геаметрычнай прагрэсіі?
1018.	У круг, радыус якога роўны R, упісаны квадрат, у квадрат упісаны круг, у гэты круг упісаны другі квадрат і гэтак далей да бесканечнасці. Вызначыць суму плошчаў усіх гэтых кругоў і суму плошчаў усіх квадратаў.
347
1019.	Пабудаваць графік функцыі
х2
’ = il + i+?+(TW + 
£029. Тры лікі, якія складаюць арыфметычную прагрэсію, даюць у суме 3, Знайсці гэтыя лікі, калі пры дадаванні да іх адпаведна 1, ІЛ 17 атрымліваецца геаметрычная прагрэсія.
71021^ Сума трох лікаў, якія складаюць узрастаючую геаметрычную прагрэсію, роўна 65. Калі ад меншага з гэтых лікаў адняць 1, а ад болынага 19, то атрыманыя тры лікі складуць арыфметычную прагрэсію. Знайсці гэтыя лікі.
1022. Знайсці чатыры цэлыя лікі, з якіх першыя тры складаюць арыфметычную, а апошнія тры геаметрычную прагрэсію, калі вядома, што сума двух крайніх лікаў роўна 37, а сума двух сярэдніх 36.
1023*. Ці можна з лікаў	. ..,	• • выбраць бес
2	4 о 2
канечную геаметрычную прагрэсію, сума якой роўна: а) 4; б) 4?
КАНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
(на 2 гадзіны)
за ўвесь курс 9га класа
Варыянт 1ы
1.	За колькі гадзін можа ўзараць участак поля кожны з трох трактарыстаў, калі вядома, што першаму з іх трэба для гэтага на 2 гадзіны менш, чым другому, але на 1 гадзіну больш, чым трэцяму? Працуючы разам, другі і трэці трактарысты ўзорваюць учасл 2	.
так за 4 у^ гадзіны.
2.	Рашыць ураўненне
1	5 —2х _ ._____2
х2 — 5х + 6 х — 2 х — 3‘
3.	Пры якіх значэннях аргумента х вызначана функцыя
4.	Рашыць ураўненне
sin х + cos х = cosec х.
5.	Спрасціць выраз
+з/а
1/6—1/а
/ _L _ 1
У ab \ a 2 — b 2
і знайсці яго значэнне пры ўмове, што
a 2 = 27, д 2 = і
349
Варыянт 21
1.	Першая труба напаўняе басейн на 3 гадзіны хутчэй, чым другая, а другая —на 2 гадзіны даўжэй, чым трэцяя. Пры адначасовай рабоце першай і другой труб басейн напаўняецца за 2 гадзіны. За які час будзе напоўнены басейн, калі адкрыць адразу тры трубы?
2.	Пры якіх значэннях а адзін корань ураўнення
4ах2 — 4 (1 — а) х + (1 + а) = 0
з’яўляецца дадатным, а другі адмоўным?
3.	Рашыць ураўненне
/2х — 3 49= 2х.
4.	Рашыць ураўненне
3 sinx = 2 cos2x.
5.	Спрасціць выраз
/ a + b	a — b \ .	2
I	;	j	j	1 :	_,
\a 2 46 2	a 2—6 2/ [bV a}
i знайсці яго значэнне пры ўмове, што
а з = 9j г,=	.
Р а з д з е л VII
ТРЫГАНАМЕТРЫЧНЫЯ ТЭАРЭМЫ СКЛАДАННЯ
§ 149. Адлегласць паміж двума пунктамі плоскасці. Сістэма каардынат
Кожны пункт А плоскасці характарызуецца сваімі каардынатамі (х, у). Яны супадаюць з каардынатамі вектара ОА, які выходзіць з пункта 0 — пачатку каардынат (рыс. 216).
Няхай A і В — адвольныя пункты плоскасці з каардынатамі (xlt у^ і (х2, у^ адпаведна (рыс. 217). Тады вектар АВ мае, відавочна, каардынаты (х2— xlt у2— y^, Вядома, што квадрат даўжыні вектара роўны суме квадратаў яго каардынат. Таму адлегласць d паміж пунктамі A і В, або, што тое ж самае, даўжыня вектара АВ, вызначаецца з умовы
У п
Адсюль
d2 = (*2 — xj2 4 (уг — у^.
d = /(^J+^ftF
Атрыманая формула дазваляе знаходзіць адлегласць паміж любымі двума пунктамі плоскасці, калі толькі вядомы каардынаты гэтых пунктаў.
Кожны раз, гаворачы аб каардынатах таго або іншага пункта плоскасці, мы маем на ўвазе зусім пэўную сістэму каардынат хОу. А наогул жа сістэму каардынат на плоскасці можна выбіраць парознаму. Так, замест сістэмы каардынат хОу можна разгледзець сістэму каардынат х'Оу' (рыс. 218), якая атрымліваецца ў рэзультаце павароту старых восей каардынат вакол пачатковага пункта 0 супраць гадзіннікавай стрэлкі на вугал а. Калі некаторы пункт плоскасці ў сістэме каардынат хОу меў каардынаты (х, у), то ў новай сістэме каардынат х'Оу' ён будзе мець ужо іншыя каардынаты (У, у').
851
У якасці прыкладу разгледзім пункт М, які размешчаны на восі Ох' і знаходзіцца ад пункта 0 на адлегласці, роўнай 1 (рыс. 218). Відавочна, што ў сістэме каардынат хОу гэты пункт мае каардынаты (cosa, sin a), а ў сістэме каардынат х'Оу' кааодынаты (1,0).
Каардынаты любых двух пунктаў A і В плоскасці залежаць ад таго, як у гэтай плоскасці зададзена сістэма каардынат. А вось адлегласць пэміж гэтымі пунктамі не залежыць ад спосабу задавання сістэмы каардынат. Гэта важная акалічнасць будзе істотна выкарыстана намі ў наступным параграфе.
Практыкаванні
1024. Знайсці адлегласці паміж пунктамі плоскасці з каардынатамі:
1) (3,5) і (3,4); 2) (2,1) і (—5,1); 3) (0,5) і (5,0);
0,7) і (3, 3); 5) (3,4) і (9,17); 6) (8,21) і (1,3).
(025> Знайсці перыметр трохвугольніка, стораны якога зададзены ўраўненнямі:
х + У — 1=0, 2х — у — 2 = 0 і у = 1.
1026.	У сістэме каардынат хОу пункты Л4 і N маюць каардынаты (1,0) і (0,1) адпаведна. Знайсці каардынаты гэтых пунктаў у новай сістэме каардынат, якая атрымліваецца ў рэзультаце павароту старых восей вакол пачатковага пункта на вугал у 30° супраць гадзіннікавай стрэлкі.
1027.	У сістэме каардынат хОу пункты Л4 і N маюць каардынаты (2,0) і (—^—, ^ адпаведна, Знайсці каардынаты гэтых пунктаў у новай сістэме каардынат, якая атрымліваецца ў рэзультаце павароту старых восей вакол пачатковага пункта на вугал у 60° па гадзіннікавай стрэлцы.
352
§ 150. Косінус сумы і рознасці двух вуглоў
У гэтым параграфе будуць даказаны наступныя дзве формулы: cos (а 4Р) =cos acos р— sin я sin р,	(1)
cos (a — P) = cos a cos 3 + sin a sin p.	(2)
Косінус сумы (рознасці) двух вуглоў роўны здабытку косінусаў гэтых вуглоў мінус (плюс) здабытак сінусаў гэтых вуглоў.
Нам зручней будзе пачаць з доказу формулы (2). Для прастаты выкладання дапусцім спачатку, што вуглы a і р задавальняюць наступным умовам:
1)	кожны з гэтых вуглоў дадатны і па абсалютнай велічыні не пераўзыходзіць 2к;
2)	a > р.
Няхай дадатная частка восі Ох з’яўляецца агульнай пачатковай стараной вуглоў a і р (рыс. 219). Канечныя стораны гэтых вуглоў абазначым адпаведна праз ОА і ОВ. Відавочна, што вугал a — р можна разглядаць як такі вугал, на які трэба павярнуць прамень ОВ вакол пункта 0 супраць гадзіннікавай стрэлкі, каб яго напрамак супаў з напрамкам праменя ОА.
На праменях ОА і ОВ адзначым пункты М і N, якія знаходзяцца ад пачатку каардынат 0 на адлегласці 1, так што ОМ = ON = 1. У сістэме каардынат хОу пункт М мае каардынаты (cos a, sin a), а пункт N— каардынаты (cos р, sinp). Таму квадрат адлегласці паміж імі роўны: d\ = (cos a — cos р)а+ (sin a — sin P)2= cos2 a — 2cos a cos p 4 cos2p 4+ sin2a — 2sin a sin P 4 sin2p = 2 (1 — cos a cos p — sin a sin p).
Рыс. 219.
Пры вылічэннях мы карысталіся тоеснасцю sin2 ф 4 cos2 ср = 1.