Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
р" _ {” , (1)
2гх Чг2
дзе t\ і г2 — радыусы акружнасцей Ог і 02 адпаведна. Паколькі існуюць прэдзелы p' = lim^ і р" = 1ітр", то павінны існаваць П> 00 П~* ос
і прэдзелы
1іт ^^
Л* 00 ^* 1
1 р' р'
75— • Ііт р' = 75—; Ііт ~— 2/і п»«> 2/і п*а> 2г2
1 р"
^■^^
• 331
3 прычыны (1) гэтыя прэдзелы павінны быць роўнымі. Таму Р' = Р" 2/! 2г2
Гэта роўнасць якраз і азначае, што адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра адна і тая ж для ўсіх акружнасцей.
Адносіну даўжыні акружнасці да яе дыяметра прынята абазначаць грэчаскай літарай («пі»). Падлічана, што тс = 3,141592... . Для практычных патрэб дастаткова запомніць толькі трычатыры лічбы пасля ксскі.
Такім чынам, для акружнасці радыуса г
адкуль
р—2~г.
Даўжыня акружнасці роўна здабытку яе дыяметра на лік ~.
У розныя часы людзі карысталіся рознымі набліжэннямі ліку л. У старажьітным Егіпце, напрыклад, ~ лічылі роўным 3. Адзін з выдатнейшых матэматыкаў старажытнай Грэцыі А р х і м е д (ІП ст. да н. э.) знайшоў даволі дакладнае набліжэнне для z: 3—. У XVI стагоддзі было атрымана набліжанае значэнне л з 35 дзесятковымі знакамі, у XIX—з 527 дзесятковымі знакамі і г. д. Найбольшы лік правільных дзесятковых знакаў ліку т (10 000) быў атрыманы пры дапамозе лічыльнай машыны ў 1958 годзе.
Швейцарскі матэматык Ламберт (1728— 1777) даказаў, што лік л з’яўляецца ірацыянальным. Нямецкі вучоны Ліндэман (1852 — 1939) узмацніў гэты рэзультат, даказаўшы, што лік г. не можа быць коранем ніякага алгебраічнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі. Такія ірацыянальныя лікі, як вядома, называюцца трансцэндэнтнымі.
§ 140. Знаходжанне набліжаных значэнняў ліку п
Для знаходжання набліжаных значэнняў ліку л запішам гэты лік у выглядзе адносіны ^ даўжыні акружнасці радыуса 1 да дыяметра, гэта значыць як палавіну даўжыні акружнасці радыуса 1. Калі замест палавіны даўжыні такой акружнасці ўзяць палавіну перыметра правільнага nвугольніка, упісанага ў яе, то замест дакладнага значэння л атрымаецца яго набліжанае значэнне. 3 ростам п гэта набліжанае значэннг пзвін.ча імкнуцца да дакладнага значэння. Значыць,
дзе Рп — перыметр правільнага лвугольніка, упісанага ў акружнасць радыуса 1. Але рп = п ■ ап, дзе ап — старана правільнага nвугольніка. Таму
п •
(1)
332
Цяпер скарыстаем вядомую з геаметрыі ф о р м у л у падваення. Згодна з гэтай формулай стораны сіп і cl^i правільных п і 2явугольнікаў, упісаных у акружнасць радыуса г, звязаны суадносінай
Z 2
Пры г = 1 гэта суадносіна прымае выгляд
(2)
Успомнім яшчэ, што старана ов правільнага шасцівугольніка, упісанага ў акружнасць, роўна радыусу гэтай акружнасці. Таму па формуле (2) знойдзем
«12 = 22 jA._L = 2/3,
адкуль ______
а12 = /2/3 й 0,51764.
Затым па формуле (2) знойдзем а24:
°24 = 2~2|/' lJ21 = 22]/lЦП=2/2+ /з:
Адсюль а24 » 0,26104. Затым па формуле (2) можна знайсці а48, а9в і г. д. Пасля гэтага складзём табліцу набліжаных значэнняў ап і к
п ап ~ 2
6 1,00000 3,000
12 0,51764 3,106
24 0,26104 3,132
48 0,13080 3,139
96 0,06542 3,140
3 гэтай табліцы відаць, што ўжо пры п = 96 атрымліваюцца два правільныя дзесятковыя знакі ліку it.
§ 141. Плошча круга
Няхай s4, s8, sle, ..., 52л+1, ...—паслядоўнасць плошчаў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., упісаных у акружнасць радыуса г.
Лёгка паказаць, што паслядоўнасць гэта манатонна ўзрастае, абмежавана і, значыць, мае прэдзел
s = 1іт$2л+І.
П* 00
Можна даказаць, што такі ж прэдзел мае паслядоўнасць
S3> 54> S5.......... Sn’ • • •
333
плошчаў правільных 3х, 4х, 5'вугольнікаў і г. д., упісаных у тую ж самую акружнасць. Гэты прэдзел, па азначэнню і прымаецца за плошчу круга радыуса г.
Цяпер прывядзём формулу для знаходжання плошчы круга па яго радыусу г. Няхай АВ — старана правільнага лвугольніка (рыс. 214), упісанага ў акружнасць радыуса г, р„ —перыметр гэтага многавугольніка, s„ —яго плошча. Маем:
sn=n • S&AOB = П ■ ^AB OC, але п • АВ = рп. Таму
$п ^ Рп ' ОС
(1)
Пакажам, што пры п>°° ОС неабмежавана набліжаецца дя г. Сапраўды (гл. рыс. 214),
г — ОС = ОА — ОС.
3 трохвугольніка АОС атрымліваем 0<О4ОС<4С = І4В
(рознасць дзвюх старон трохвугольніка менш трэцяй стараны). Таму гОС<;^АВ. Але АВ рп<2кг. Значыць,
1 r it г
0 < г—ОС <к• 2іг—=—. Пры ўзрастанні п дроб — становіцца як заўгодна малым. Таму |ОС г | пры п > °° становіцца і застаецца менш любога наперад зададзенага дадатнага ліку е: \ОС — г\<г.
А гэта і азначае, што прэдзел ОС пры п+ оэ роўны г. Цяпер з роўнасці (1) атрымліваем
s = lims„ = lim 1рл.ОС = • ОС) =
в*оо л*оо \ Z д»оо
= ў lim рп • lim ОС = ~ ■ 2n г • г = к гг. Л*ао д*оо
Такім чынам, S = it Г!.
Плошча круга радыуса г роўна здабытку ліку к на кзадрат радыуса гэтага круга.
334
Практыкаванне
SS3. Якое азначэнне вы прапанавалі б для плошчы, абмежаванай адвольнай замкнёнай лініяй (гл., напрыклад, рыс. 215)?
§ 142. Арыфметымная прагрэсія
Лікавая паслядоўнасць, кожны член якой, пачынаючы з другога, роўны папярэдняму, складзенаму з адным і тым жа для дадзенай паслядоўнасці лікам, называецца арыфметычнай прагрэсіяй.
Прыкладам арыфметычнай прагрэсіі з’яўляецца натуральны рад лікаў
1,2,3, ... .
Кожны яго лік, пачынаючы з другога, роўны папярэдняму, складзенаму з адзінкай. Другім прыкладам арыфметычнай прагрэсіі можа служыць паслядоўнасць
3; 1,5; 0; —1,5; —3; ... .
Кожны член гэтай паслядоўнасці, пачынаючы з другога, роўны папярэдняму, складзенаму з лікам —1,5.
Дадзенае вышэй азначэнне арыфметычнай прагрэсіі эквівалентна, відавочна, такому азна
Рыс. 215.
чэнню: лікавая паслядоўнасць a^ аг, ..., ап, ... называецца арыфметычнай прагрэсіяй, калі для любога п ап+1 — ап \ d, дзе d — некаторы пастаянны для дадзенай паслядоўнасці лік.
Гэты лік d называецца рознасцю прагрэсіі.
Напрыклад, для натуральнага рада лікаў d роўна 1; для арьіфметычнай прагрэсіі 3; 1,5; 0; —1,5; —3; ... рознасць d роўна —1,5.
Няхай а4— першы член арыфметычнай прагрэсіі, a d — яе рознасць.
Тады, па азначэнню арыфметычнай прагрэсіі,
Й2 = йі Ф d,
(h — а2 "V d = (рх{ d) \ d — йі\ 2d, а4 — а3 \ d = (яф 2d) ) d ^ а^ ) 3d і г. д.
Відавочна, пры любым n> 1
ап = ax + in—^d. (1)
Да формулы (1) можна прыйсці другім шляхам, які, дарэчы, з’яўляецца і больш строгім. Па азначэнню арыфметычнай прагрэсіі
Й2 = Аі ) d, Оз = Й2 + d, а4 =а3 + d,
апі= апг + d, ап = а„_і + d.
335
Складваючы пачленна ўсе гэтыя суадносіны, атрымліваем (а2+ а3+ «і+ • •+ апі) + а„ = «14 (а2 + а34.. .4 ап_2+ая_і) 4+ («!)<*, адкуль і вынікае формула (1).
Формула (1) дазваляе знайсці любы член арыфметычнай прагрэсіі, калі вядомы яе першы член і рознасць. Таму яна называецца формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі. Напрыклад, для арыфметычнай прагрэсіі
— Ю; —9,5; —9; ...
аі = — 10; d = 0,5.
Таму
Q21 ~^і 4 20d = — 10 {■ 10 = 0; «100= «1 4 99d = — 10 4 49,5 = 39,5 і г. д.
Практыкаванні
964. Знайсці формулу агульнага члена для якой:
арыфметычнай прагрэсіі,
з) «і — 5, йі = — 5;
б) «і = —3, о2 = 0;
в) ах = 6, а10 = 33;
г)«4 = —4, а17 = — 17;
Д) «іо = 0, «іо = — 30.
965. Калі да членаў адной арыфметычнай прагрэсіі дадаць адпаведныя (па нумару займаемага месца) члены другой арыфметычнай прагрэсіі, то ці будзе атрыманая паслядоўнасць арыфметычнай прагрэсіяй?
966. Даказаць, што калі лікір^—, —, —1— састаўляюць о 4с с 4 a & 4 «
арыфметычную прагрэсію, то лікі а2, 62, с2 таксама састаўляюць арыфметычную прагрэсію.
967, Ці ўтвараюць арыфметычную прагрэсію дадатныя корані ўраўнення, размешчаныя ў парадку ўзрастання:
a) sin х = 0; б) sinx = ~; в) tgx=—? 2 2
968. Пры якіх значэннях а корані дадзенага ўраўнення
cos х = a,
размешчаныя ў парадку ўзрастання, утвараюць арыфметычную прагрэсію?
Саставіць арыфметычныя прагрэсіі па наступных даных:
s2 4 «і= 16, а± ■ а^ = 28.
«і • «н = 44, «2 “Ь «10 = 24.
336
§ 143. Характарыстычная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі
Тэарэма. Кожны член арыфметычнай прагрэсіі
®н а2) ..., ал—1> аЛ' ал+і’ • • ■> пачынаючы з другога, роўны сярэдняму арыфметычнаму суседніх з ім членаў.
Іншымі словамі, пры любым п> 2
„ _ апі + ап+і
Сапраўды, пры любым п>2 ап = а^ + d, an = an+1 — d.
Пачленнае складанне гэтых роўнасцей дае
Ч = ал1 + ап+1>
адкуль і вынікае суадносіна (1).
Правільная і тэарэма, адваротная да толькі што даказанай.
Калі кожны член лікавай паслядоўнасці, пачынаючы з другога, роўны сярэдняму арыфметычнаму суседніх з ім членаў, то такая лікавая паслядоўнасць з’яўляецца арыфметычнай прагрэсіяй,
Паспрабуйце даказаць гэта самастойна!
Адзначаная ў гэтым параграфе ўласцівасць вызначае, у прыватнасці, прычыну назвы «арыфметычная прагрэсія».
^Дйд^Сума членаў арыфметычнай прагрэсіі
Кажуць, што аднойчы настаўнік пачатковай школы, жадаючы заняць клас на працяглы час самастойнай работай, даў дзецям «цяжкае» заданне — вылічыць суму ўсіх натуральных лікаў ад 1 да 100:
1 + 2 + 3 + 4 + ... ф 100.
Адзін з вучняў у момант прапанаваў рашэнне. Вось яно:
1 + 2 + 3 + . . . + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) +
+ (3 + 98) + ... + (49 + 52) + (50 + 51) =
= 101 + 101 + ., + 101 4 101 = 101 • 50 = 5050.
50
Гэта быў Карл Гаус, які стаў потым адным з самых вядомых матэматыкаў свету*.
* Падобны выпадак з Гаусам сапраўды меў месца. Аднак тут ён значна спрошчаны. Прапанаваныя настаўнікам лікі былі пяцізначнымі і складалі арыфМетычную прагрэсію з трохзначнай рознасцю.
337
Ідэю такога рашэння можна скарыстаць для знаходжання сумы членаў любой арыфметычнай прагрэсіі.
Лема. Сума двух членаў канечнай арыфметычнай прагрэсіі, роўнааддаленых ад канцоў, роўна суме край~ ніх членаў.
Напрыклад, у канечнай арыфметычнай прагрэсіі
1, 2, 3.... 98, 99, 100
члены 2 і 99, 3 і 98, 4 і 97 і г. д. з’яўляюцца роўнааддаленымі ад канцоў гэтай прагрэсіі. Таму іх сумы 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 роўны суме крайніх членаў 1 ф 100.
Доказ лемы. Няхай у канечнай арыфметычнай прагрэсіі
• а1> й2, • • ■, ап—1’ ап
два якіянебудзь члены аднолькава аддалены ад канцоў. Дапусцім, што адзін з іх ёсць &ы член злева, гэта значыць ak, а другі Аы член справа, гэта значыць an_ft+1. Тады
ak + ank+i = [йі + (A l)d] + [й! + (n — k)d] = 2й! +(n — l)d.
Сума крайніх членаў дадзенай прагрэсіі роўна
а1 + ап = а1 + [ar + (n—l)d] = 2^ + (п~ l)d.
КНІГІ ОНЛАЙН
