Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Цяпер разгледзім другую сістэму каардынат ВОС, якая атрымліваецца шляхам павароту восей Ох і Оу вакол пункта 0 супраць гадзіннікавай стрэлкі на вугал р. У гэтай сістэме каардынат пункт М мае каардынаты (cos (a — р), sin (a — р)), а пункт :N — каардынаты (1,0). Таму квадрат адлегласці паміж гэтымі пунктамі роўны:
d} = [cos (a — 8) — 1 ]2 4 [sin (a — Р) — 0[2 = cos2 (a — р) —
— 2cos (a — p) 4 1 4 sin2 (a — p) = 2 [1 — cos (a —p)].
12 Я C. Качаткоў, K. C. Качаткова
353
Але адлегласць паміж пунктамі М і N не залежыць ад таго, адносна якой сістэмы каардынат мы разглядаем гэтыя пункты. Таму
^=^, або
2(1 — cos a cos ₽ — sin a sin P) = 2 (1 — cos(a —p)]_
Адсюль i вынікае формула (2).
Цяпер трэба ўспомніць аб тых двух абмежаваннях, якія мы наклалі для прастаты выкладання на вуглы a і р.
Патрабаванне, каб кожны з вуглоў a і р быў дадатным, на самай справе не істотнае. Да любога ж з гэтых вуглоў можна дадаць вугал, кратны 2, што ніяк не адаб'ецца на справядлівасці формулы (2). Зусім гэтак жа ад кожнага з дадзеных вуглоў можна адняць вугал, кратны 2. Таму можна лічыць, што 0 < a < 2^, 0 < р < 2г.
He істотным аказваецца і ўмова a > р. Сапраўды, калі a < р, то Р > a, таму, улічваючы цотнасць функцыі cos х, атрымліваем cos (a — р) = cos (3 — a) = cos p cos a 4 sin p sin a, што па сутнасці супадае з формулай (2).
Такім чынам, формула
4 cos (a — Р) = cos a cos р 4 sin a sin p правільнЭя для любых вуглоў a і р. У прыватнасці, замяняючы ў ёй р на — р і ўлічваючы, што функцыя cos х з’яўляецца цотнай, а функцыя sinx няцотнай, атрымліваем
cos (a 4 Р) = cos [a — (— р)] = cos acos (— Р) 4 sin a sin (— P) = = cos a cos p — sin a sin p,
Hito i даказвае формулу (1).
Такім чынам, формулы (1) і (2) даказаны.
П р ы к л а д ы.
1) cos 75°= cos (30° 4 45°) = cos 30° • cos 45° — sin 30° • sin 45° = 1/3 /2 1 /2 /б}^
2'2 2'2“ 4
2) cos 15°= cos (45° — 30°) = cos 45° • cos 30° 4 sin 45° • sin 30° =
1 T /3 /2 1 /6 4 /2
2 ' 2 + 2 ’ 2 ~ 4
Практыкаванні
|02Д. Вылічыць, не карыстаючыся трыганаметрычнымі табліцамі:
а) cos 17° • cos 43° — sin 17° • sin 43°;
354
6) sin 3° • sin 42° — cos 3° • cos 42°;
b) cos 29° • cos 74° + sin 29° • sin 74°;
r) sin 97° • sin 37° + cos 37° • cos 97°;
3 it . 3 .it
д) cos y it • cos — + sin g it • sin y;
3.7 7 3
e) sin y it • sin y it — cos y it • cos y it.
Спрасціць выразы (№ 1029—1034):
/ it i , cos I a + y I +
1029.
1030.
1031.
COS I Sa
cos (36° + a) ■ cos (24° — a) — sin (36° + “) • sin (a — 24°). sin ^aVsin fy + a j — cos ^y + aj • cos ^a
1032. cos 2a + tg a • sin 2a.
«cos(a + p) +sinasin ft cos (a — P) — sin a ■ sin p ‘ cos(a —P) —cosa • cosP cos (a + P) + sin a • sin p
2 5
1035. Вылічыць: a) cos(a —p), калі cos a =y sinp = ——;
90° < a < 180°, 180° < p < 270°;
a + y j, калі cos a = 0,6; y it < a < 2it.
1036. Знайсці cos(a + P) i cos(a —P), калі вядома, штозіпа =
7 5
= _; cos p = — 75 i абодва вуглы (a i p) заканчваюцца ў адной 25 * 13 —
i той жа чвэрці.
Вылічыць:
1037.
1 2
cos arc sin 5 + arc cos 5
1038. cos
. 1
arc sin 5arc cos o
1039. cos arc tg 1 + arc tg (— 2
12»
355
§ 151. Сінус сумы і рознасці двух вуглоў
Атрыманыя ў папярэднім параграфе формулы для cos (a + р) мы выкарыстаем цяпер пры вывадзе адпаведных формул для sin (a + fi). Для гэтага нам давядзецца выкарыстаць формулы прывядзення.
Запішам sin (a + р) у выглядзе
sin (a + р) = cos
тг
■2
(* + ₽)
Пасля гэтага заўважым, што
Значыць,
sin (a + р) = cos
— a cos p +
• cos p + sin p • cos a.
Такім чынам,
sin (a + p) = sin a • cos p + sin p • cos a. (1)
Сінус сумы dsyx вуглоў роўны здабытку сінуса першага вугла на косінус другога плюс здабытак сінуса другога вугла на косінус перійага.
Напрыклад,
sin 105° = sin (60° 4 45°) = sin 60° • cos 45° + sin 45° • cos 60° = /3 /2 , /2 1 /6 +/2
~ 2 ’ 2 + 2 ‘ 2 ~ 4
Формула (1) з’яўляецца тоеснасцю, гэта значыць роўнасцю, справядлівай пры любых значэннях a і р. У прыватнасці, яна павінна быць правільнай, калі р замяніць на —р. У выніку такой замены мы атрымаем
sin (a — р) = sin a • cos (— P) + sin (— p) ■ cos a = sin a • cos p — — sin p • cos a.
Такім чынам,
sin (a — P) — sin « • cos p — sin p • cos a.
Сінус рознасці двух вуглоў роўны здабытку сінуса першага вугла на косінус другога мінус здабытак сінуса другога вугла на косінус першага.
356
Напрыклад,
sin 15° = sin (45° — 30°) = sin 45° • cos 30° — sin 30° • cos 45° =
/2 /3 1 /2 _ /6/2
“2’2 2'2 4
Практыкаванні
1040. Вылічыць:
a) sin 19° • cos 26° + sin 26° • cos 19°;
6) sin 46° cos 44° + cos 46° • sin 44°;
b) sin 61° • cos 31° — cos 61° • sin 31°;
r) sin 53° • cos 7° — cos 53° • sin (— 7°);
д) sin(— 15°) • cos 75° + cos 15° • sin 75°.
Спрасціць выразы (№ 1041 —1047):
1041, cos (25° + a) • sin (15° — a) + sin (25° + a) • cos (15° — a).
1042. sin (96° — a) • cos (36° + a) — cos (96° — a) ■ sin (36° + a).
sin (a + ^ ■ cos (a — P) — sin (a — P) • cos (a + p).
ctg a f sin 2a — cos 2a.
sin (a + P) — cos a • sin P sin (a — P) + cos a • sinp ' sin (a — P) + cos a • sin P sin (a 4 p) — sin a • cos p ' sin (a — P)
tga —tgP’
1043.
1044.
1045.
1046.
1047.
1048. Знайсці sin I aкалі sina==—0,8.
1049. Знайсці sin(a + P) i sin(a —P), калі sina = —^—;cosp = /—, прычым 0 < a < g; ^ < p <
1050. Знайсці sin(a + P) i sin (a —P), калі вядома, што cosa =
4 5
—; sin p = — прычым вуглы a i p заканчваюцца ў розных
чвэрцях.
Вылічыць:
1 2
1051. sin arc sin 5 + arc cos v .
357
1052.
sin arc sin y + arc cos
_2_ 3
1053. sin (arc tg 3 — arc tg 2).
1054. sin arc sin
y I + arc cos I — y
§ 152. Тангенс сумы i рознасці двух вуглоў
Формулы для выразу сінуса і косінуса сумы (рознасці) двух вуглоў праз сінусы і косінусы гэтых вуглоў дазваляюць атрымаць адпаведныя формулы для тангенса і катангенса.
Сапраўды,
sin (a + Р) sin a • cos P | sin p • cos a Ш = 7 = 777Г.
b 17 cos (a 4 fi) cos a • cos p — sin a • sin p
Дапусцім, што cosa i cosp адрозныя ад нуля (гэта раўназначна таму, што tga і tg р вызначаны). Тады, падзяліўшы лічнік і назоўнік апошняга дробу на cosa cosp, атрымаем
sin a • cos p + sin p • cos a
sin a • cos p + sin 3 • cos a_________cosa ■ cos pi______
cos a • cos p — sin a • sin p ~ cos a • cos 3 — sin a • sin p
% cos a • cos p
= tg a + tg p
1 — tg a ■ tg p '
Такім чынам, кал^трлькі тангенсы вуглоў a і р вызначаны, то
g 1 — tg « • tg Р t '
Тангенс сумы двух вуглоў роўны суме тангенсаў гэтых вуглоў, падзеленай на адзінку мінус здабытак тангенсаў гэтых вуглоў
П р ы к л а д.
tg 4 + ^ a
1 — tg^ ' tga
1 + tga
1 — tg a ’
Замяняючы ў формуле (1) p на | —PI i ўлічваючы, што функ цыя y = tgx з’яўляецца няцотнай, атрымліваем
. . tga + tg(P) _ tgatgp
g( W “ ltgatg(P) “ 1 + tga • tgp ‘
358
tg(«P)1 + tga.tg ?
Тангенс рознасці двух вуглоў роўны рознасці тан генсаў гэтых вуглоў, падзеленай на адзінку плюс здабытак тангенсаў гэтых вуглоў.
Разгледзім некалькі прыкладаў.
Прыклад 1.
' \ _ jLtslL = і—
4 г> i + ^t^ 1 + te*'
П р ы к л а д 2. Няхай прамая у = = krx утварае з воссю абсцыс вугал а, а прамая у = k2x— вугал р (рыс. 220). Тады вугал ^ паміж гэтымі прамымі будзе роўны ф = Р — «•
Дапусцім, што разглядаемыя прамыя не перпендыкулярныя адна другой. Тады тангенс вугла ф існуе і роўны
tg? = tgtfa)=TJ^rL
Але tga = ^; tg3 = ^. Значыць,
. ^2^І
g ? ~ 1 + ktk2
Так, вугал паміж прамымі У =~2
і у = Зх
(^2=3)
вызначаецца з умовы
tg? =
з4 і+з4
Таму ? = ^.
Формулы для катангенса сумы і рознасці двух вуглоў можна атрымаць аналагічна. Аднак на практыцы гэтыя формулы выкарыстоўваюцца вельмі рэдка і таму прыводзіць іх мы не будзем.
Практыкаванні
1055. Знайсці tg 105°, запісаўшы 105° у выглядзе сумы 60° + 45°.
359
1056. Вылічыць:
a)
б)
tgl3° + tg47°
1 — tg 13° • tg47° ’
1 — tg 27° • tg 33° tg 27° + tg 33° ’
в)
Г)
1057. Знайсці tg(a + 3)
tg 1° — tg 46°
l+tgl°.tg46° ’
1 + tg 4° • tg 49°
tg 49° — tg 4° •
tg (a — 3), калі sin a = 0,6; cos p =
12
13
2
1058. Знайсці tg(a + p) і tg(a —8), калі sin a = — cos 8 =
5
= TIP ПРЫЧЬІМ абодва вуглы (а і р) заканчваюцца ў адной і той жа чвэрці.
Вылічыць (№ 1059—1061):
1059. tg (arc tg 2 J arc tg 3).
/ 1 2 \
1060. tg arc sin= + arc cos — .
\ $ 3 /
1061. tg arc sin
1
/3
+ arc cos
Знайсці вугал паміж дадзенымі прамымі
9
1062. у = х і у = =х + 6. о
1063. Зх — 2// = 6 і 2х + Зу — 7 = 0.
3064) Даказаць, што прамыя y=k1x + Ьг
(№ 1062—1063):
______ _ _ _ i ^ = ^+^2 перпен' дыкулярныя тады i толькі тады, калі ^2 = — 1.
§ 153. Трыганаметрычныя функцыі двайнога вугла
Прыняўшы ў формуле
sin (a + р) = sin a • cos р + sin р • cos a
P = a, мы атрымаем
sin 2a = sin a ■ cos a + sin a • cos a = 2sin a • cos a.
Такім чынам,
sin 2a = 2sin a • cos a.
(1)
Сінус двайнога еўгла роўны падвоенаму здабытку сінуса дадзенага вугла на яго косінус.
360
Аналагічна, прыняўшы ў формуле
cos (« + f) = cos a • cos р — sin a • sin p
P = a, атрымаем
cos 2a = cos a • cos a — sin a • sin a = cos2 a — sin2 a.
Такім чынам, cos 2a = cos2a — sin2 a. (2)
Косінус двайнога вугла роўны кбадрату косіну:а дадзенага вугла мінус квадрат сінуса таго ж вугла.
Зусім гэтак жа, дапусціўшы ў формуле
... tg a + tg 3
g 7' + ~ 1 — tg a • tg р
3 = a, атрымаем
«2>т^ <3»
Тангенс двайнога вугла роўны падвоенаму тангексу дадзенага вугла, падзеленаму на адзінку мінус квадрат тангенса таго ж вугла.
Прыклады. 1) Няхай sin a = 0,6, прычым вугал a заканчваецца ў 2й чвэрці. Тады
cosa = — р 1 —sin2a = — /1 — 0,36 = — 0,8.
Таму
sin 2a = 2sin a ■ cos a = 2 ■ 0,6 (— 0,8) = — 0,96;
cos 2a = cos2 a — sin2 a = 0,64 — 0,36 = 0,28.
2) Няхай tga = 3. Тады
% 2tga 6 _ _ _L _ 3
8 1—tg2a 1 —9 8 4'
Заўвага. He трзба думаць, што двайны вугал абавязкова змяшчае цотны лік градусаў або радыянаў: 20°, 60°, 4, 6 і г. д. Пад двайным вуглом можна разумець любы вугал. Напрыклад,
45° = 2І^Ь 75° = 2(^ ; 3 = 2(^І
і г. д., наогул “ = 2у. Таму часам даказаныя вышэй формулы карысна запісаць у выглядзе
* Sin a = 2 sin — • cos
361
cos a = cos2 =sin2 =;
tga = .
Гэтыя формулы выражаюць трыганаметрычныя функцыі вугла праз трыганаметрычныя функцыі палавіннага вугла.
Практыкаванні
КНІГІ ОНЛАЙН
