КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Кожны наступны момант максімуму наступае праз Т секунд пасля папярэдняга моманту максімуму (дакажыце гэта!).
Цяпер высветлім, у якія моманты часу велічыня току / ператвараецца ў нуль. Для гэтага трэба рашыць ураўненне
sin I — / + <р
якое дае
2к Т
адкуль
, т I	1
2 \	/
Так, упершыню велічыня току стане нулявой у момант часу
(4)
393
калі ® < т, I ў момант часу
Т момант наступае праз у
се
калі <р > к. Кожны наступны такі
кунд пасля папярэдняга (дакажыце гэта!).
Практыкаванні
1219.	Ці ведаеце вы, якая частата вагання току ў вашых асвятляльных сетках?
1220.	У якія моманты часу велічыня у, што змяняецца па закону
y = sin
nt 2it
2
прымае экстрэмальныя (гэта значыць мінімальныя або максімальныя) значэнні і калі яна ператвараецца ў нуль?
1221.	Тое ж, што і ў задачы 1220 для законаў ваганняў:
a)	у = 2sin [ 3/ +
б)	у = 7sin I 2/ + у к
§ 167. Пераўтварэнне выразу a sin х + b cos х шляхам увядзення дапаможнага вугла
Лема. Калі сума квадратаў двух сапраўдных лікаў роўна адзінцы, то адзін з гэтых лікаў можна разглядаць як косінус, а другі як сінус некаторага вугла.
Іншымі словамі, калі а2 + і2=1, то існуе вугал <р такі, што a = costf>; b — sintp.
Перш чым даказваць гэту лему, растлумачым яе на наступным прыкладзе:
Т • .1/3 1
Таму існуе вугал <р такі, што = cos то фактыч
'	7	1—tga.tgA
на дапускалі, што выраз tg a вызначаны, гэта значыць
a ^ — 4nit. На самай жа справе гэта дапушчэнне можа
быць ня
правільным. Таму выпадак, калі а= ——рпя, трэба разгледзець асобна. У гэтым выпадку cosa = 0, і таму левая частка дадзенай тоеснасці прымае выгляд:
cos a + sin a _ sin a cos a — sin a ~ — sin a
Правая ж частка дадзенай тозснасці пры a = у + « ~ пераўтвараецца
Ў tg (a + y)
= tg
3 ,
. Але it ёсць перыяд
тангенса,
399
значыць,
tg^ + T^=tgTK = L
Такім чынам, і пры а = у + пп роўнасць (1) справядлівая.
Цяпер можна лічыць, што дадзеная тоеснасць поўнасцю даказана.
3і спосаб. Выразы, якія стаяць у левай і правай частках дадзенай тоеснасці, пераўтворым да аднаго і таго ж выгляду. Для . . .	„ .	 cos a 4 sin a
гэтага лічнік і назоунік дробу !—: падзелім на cos a,
cos a — sin a
дапускаючы спачатку, што cos a 4=0.
У выніку атрымаем
cos a 4 sin a
cos a 4 sin a	cos a	1 + tg a
'—;= — = —!—°—
cos a — sin a cos a — sin a 1 — tg a	' '
cos a
Правую частку дадзенай тоеснасці пераўтворым, скарыстоўваючы формулу для тангенса сумы двух вуглоў:
tg« + tg^
1 — tg a • tg y
tga + 1
1 — tg a ’
(3)
Параўноўваючы (2) i (3), атрымліваем:
cos a 4 sin a , I , ~ \
■— tg I ct 4 —. cos a — sin a \	4 /
Выпадак, калі cosa = 0, трэба разгледзець асобна, гэтак жа, як мы зрабілі пры разглядзе спосабу 2.
Прыклад 2. Даказаць тоеснасць
cos 3a • sin 5a — sin 2a = sin 3a • cos 5a.
Пакажам, што рознасць паміж выразамі, якія стаяць у левай і правай частках дадзенай тоеснасці, роўна 0. Сапраўды,
cos 3a • sin 5a — sin 2a — sin 3a • cos 5a =
= (cos 3a • sin 5a — sin 3a • cos 5a) — sin 2a =
= sin (5a — 3a) — sin 2a = sin 2a — sin 2a = 0.
Тым самым тоеснасць даказана.
400
Практыкаванні
Даказаць дадзеныя тоеснасці:
1240.	= cosa • cos 8.
tg a — tg р
*g т + a ^ 4—a)
1241.	ryy = sin 2a.
Mt +a) + tg\T~7
1949	_ sjnfaJJHj^
tg p sin (a + P) — s'n (a — Й'
1944	2sina • cosp—sin(a—p)
1243. tg(a + P) = ^^p^^^
1244.
1245.
1246.
1247.
cosa _	/ л	a |
1 + sin a ” ь \ 4	2/
sin (30° + a) — cos (60° + a)
sin (30° + a) + cos (60° + a) “ Г d ga' cos 4a • cos 6a — cos 10a = sin 4a • sin 6a.
— 4ctg 2a = —5.
tg2 a — ctg2 a
§ 170. Тоеснасці, якія змяшчаюць выразы arc sin a, arc cos a i г. д.
Няхай трэба даказаць тоеснасць
3 arc tg2 + arc tg 3 = — .
Перш за ўсё высветлім, у якіх межах знаходзіцца вугал arc tg2 + arc tg3. Кожны з вуглоў arc tg2 + arc tg3 больш 0 i
менш Таму
0 < arc tg2 + arc tg3 < ~.
3
Аналагічнай няроўнасці задавальняе i вугал —
0 <
3
4
401
Такім чынам, вуглы arc tg2 + arc tg3 i ^ к знаходзяцца ў інтэрвале ад 0 да к. Але ў такім выпадку для доказу іх роўнасці дастаткова паказаць, што роўны іх тангенсы.
Маем:
tg (arc tg2 + arc tg3) =
tg (arc tg2) + tg (arc tg3)
1 — tg (arc tg2) ■ tg (arc tg3)
2 + 3
“123
— 1; tg —k = —i.
Тым самым дадзеная тоеснасць даказана.
Заўважым, што знаходжанне тых межаў, у якіх заключана сума arc tg2 + arc tg3, з’яўляецца абавязковым. Нельга рабіць вывад, 3