Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Калі 0<. a < 1, то пры неабмежаваным узрастанні аргумента х(х+со) значэнні функцыі у =ах імкнуцца да нуля, застаючыся пры гэтым дадатнымі (у ~> 0, у > 0). Пры неабмежаваным убыванні аргумента х (х+ — co) значэнні гэтай функцыі неабмежавана растуць (у ^ co).
3 прычыны манатоннасці функцыі у = ах можна сказаць, што ў гэтым выпадку функцыя у = ах манатонна ўбывае ад co да 0.
6я ўласцівасць паказальнай функцыі наглядна адлюстравана на рысунках 246 і 247. Строга даказваць яе мы не будзем.
Нам засталося толькі ўстанавіць вобласць змянення паказальнай функцыі у = ах (а> 0, а^І).
Вышэй мы даказалі, што функцыя у = ах прымае т о л ь к і дадатныя значэнні і або манатонна ўзрастае ад 0 да оо (пры a > 1), або манатонна ўбывае ад co да 0 (пры 0< a< 1). Аднак засталося нявысветленым наступнае пытанне: ці не зведвае функцыя у = ах пры сваім змяненні якіхнебудзь скачкоў? Ці л ю б ы я дадатныя значэнні яна прымае? Пытанне гэта рашаецца станоўча. Калі й^О і а^ 1, то, якім бы ні быў дадатны лік у0, абавязкова знойдзецца х0 такі, што
dXo = У0'
429
(3 прычыны манатоннасці функцыі y = ах дадзенае значэнне х0 будзе, безумоўна, адзіным.)
Доказ гэтага факта выходзіць за межы нашай праграмы. Геаметрычная Інтэрпрэтацыя яго заключаецца ў тым, што пры любым дадатным значэнні у0 графік функцыі у = ах абавязкова перасячзцца з прамой у = у0 і прытым толькі ў адным пункце (рыс. 248).
Адсюль можна зрабіць наступны вывад, які мы фармулюем у выглядзе ўласцівасці 7.
Уласцівасць 7. Вобласцю змянення паказальнай функцыі у = ах (а>0, a =£ 1) служыць мноства ўсіх дадатных лікаў.
Практыкаванні
1368. Знайсці вобласці вызначэння наступных функцый:
«)^=2/ б), = (^ ; в)^^.
1369. Якія з дадзеных лікаў больш 1 і якія менш 1: ; 2) (/3)2; :
/ 1 /^ „. / П \/ГбоТ
4) * ; 5) — 5 6) Т :
ЧАГ“; s)^iLV,'ri 9>РЛЬ
\ 4 / \ 4 / \4/
1370. На аснове якой уласцівасці паказальнай функцыі можна сцвярджаць, што
5 V>6
. 7 / ’
большы:
4 \1>3
3/
1371. Які лік
^(/З)^^5 або (/З)^2?
1372. Ці раўназначныя няроўнасці:
а) ах > а* і х > 4;
430
б) 5х2 < 5* і х2 < х;
1373. Што можна сказаць аб ліках х і у, калі ах = аУ, дзе a — зададзены дадатны лік?
1374. 1) Ці можна сярод усіх значэнняў функцыі у = 2* вылучыць:
а) найбольшае значэнне; б) найменшае значэнне?
2) Ці можна сярод усіх значэнняў функцыі у = 2' вылучыць: а) найбольшае значэнне; б) найменшае значэнне?
§ 180. Лагарыфм ліку па дадзенай аснове
Алгебру часам называюць «арыфметыкай сямі дзеянняў», жадаючы гэтым падкрэсліць, што, акрамя чатырох арыфметычных дзеянняў (складання, адымання, множання і дзялення), яна разглядвае таксама ўзвядзенне ў ступень і два адваротныя да яго дзеянні.
Абазначым аснбву ступені праз а, паказчык праз х, ступень праз Ь. Тады можна напісаць:
b = ах. (1)
«Пятае» алгебраічнае дзеянне — узвядзенне ў ступень — заключаецца ў знаходжанні ліку b па вядомых а і х. Гэта дзеянне мы падрабязна вывучылі ў раздзеле IV, аб ім гаварылася таксама ў пачатку гэтага раздзела.
«Шостае» алгебраічнае дзеянне заключаецца ў знаходжанні ліку a па вядомых значэннях b і х. Узвёўшы абедзве часткі роўнасці (1)
у ступень — (калі толькі х ^ 0), атрымліваем
і a — Ьх.
Таму «шостае» алгебраічнае дзеянне лёгка зводзіцца да «пятага».
Цяпер мы пераходзім да вывучэння «сёмага» алгебраічнага дзеяння — знаходжання паказчыка х па вядомых значэннях ступені b і яго асновы а. Гэта задача па сутнасці заключаецца ў тым, каб рашыць ураўненне
ах = Ь, (2)
дзе a і b — некаторыя зададзеныя велічыні, а х — невядомая велічыня. Адразу ж заўважым, што дадзеная задача вырашальная не заўсёды. Калі, напрыклад, ва ўраўненні (2) лік а дадатны,
431
а лік b адмоўны, to гэта ўраўненне кораняў не мае. Але калі толькі a і b дадатныя і a =# 1, то яно абавязкова мае і прытым толькі адзін корань. Напомнім, што графік паказальнай функцыі у = ах абавязкова перасякаецца з прамой у = Ь і прытым толькі ў адным пункце (гл. рыс. 249). Абсцыса пункта перасячэння і ўяўляе сабой корань ураўнення (2).
Корань ураўнення (2) прынята абазначаць loga6 (чытаецца: лагарыфм ліку b па аснове а).
Лагарыфм ліку Ьпа аснове а ёсць паказчык ступені, у якую трэба ўзвесці лік а, каб атрымаць лік Ь:
a — Ь.
П р ы к л а д ы.
1) 24 = 16, таму log216 = 4;
2) 23 = —, таму log2— = — 3;
8 8
3) 6° = 1, таму log81 = 0
3 лагарыфмамі мы сутыкаемся пры рашэнні цэлага рада прыкладных задач. У якасці прыкладу разгледзім наступную задачу.
Як мы ведаем, распад радыю набліжана апісваецца формулай (гл. § 178)
т(і) =т(0) ■ (0,9996)',
дзе т (0) — першапачатковая колькасць радыю ў грамах, a m (/) — колькасць радыю (таксама ў грамах) праз / год. Высветлім, чаму роўны перыяд паўраспаду радыю, гэта значыць праз колькі год колькасць радыю змяншаецца ў два разы?
Шукаемы лік год t з'яўляецца коранем ураўнення
т(0) • (0,9996)' = 0,5m (0),
або
(0,9996)' = 0,5.
Таму
t = logo,9996 0,5.
У далейшым мы навучымся знаходзіць таксама лагарыфмы пры дапамозе спецыяльных табліц, а пакуль нам прыйдзецца прыняць
на веру, што
logo,9996 0,5 ^ 1600.
432
Такім чынам, колькасць радыю змяншаецца ў два разы прыкладна праз кожныя 1600 год.
Практыкаванні
1375. Дадзеныя роўнасці запісаць у выглядзе лагарыфмічных роўнасцей (напрыклад, З2 = 9 * log39 = 2):
a) 22 = 4;
б) З3 = 27;
в) 44 = 256;
г) 53 = 125;
Д) 22 = ^;
4
е) 3~4 =—;
81
ж) 7° = 1;
з) 4 Т = 2;
2
і) 8 з =4;
к) /27 = 3:
л) 8° = 1;
м) /8 = 2.
1376. Праверыць справядлівасць наступных роўнасцей:
a) log416 = 2;
б) log3 243 = 5;
в) log3125 = 3;
° ‘“«'І = «ЦоьІе) logio 1 = 0.
2;
4;
1377« Знайсці лагарыфмы наступных лікаў па аснове 2: 4; 16; 32; 1; 0,5; 0,125; /2; —^; 2/2?
/2
1378.
Знайсці лагарыфмы наступных лікаў па аснове —:
1; 2; 8; 32; 0,25; /Г; 4/2.
16 /2 К
1379. Знайсці лагарыфмы наступных лікаў па аснове 31
3; 1; 27; 81; —; —!—; /3; —3/Г 9 243 г ]/3 ’
1380. Знайсці лагарыфмы наступных лікаў па аснове уі
1.1. 1. 1
3 ’ 27’ 81’ ’ ’ /3 1 3; 9/3’
433
a) log2 sin^ |;
6) log2 sin| ;
B) logs ( tg
Г) log3 (tg Y
\ 4 .
1382. Даказаць тоеснасць
loga« (am) = —. п
Выкарыстоўваючы гэту тоеснасць, вылічыць:
a) log816; r) logie64; ж) log_i 125; 5
б) log22^ д) log3 27; 3) log4 (sin Д1;
в) log _—; ' b 1 2 2 e) log27243; i) log<7tg^A
1383. Выкарыстоўваючы асноўную лагарыфмічную тоеснасць ^аЬ , a — b,
вылічыць:
a) 2”'*; б) З1*’; . '°gb49 .. niog310 Д) 5 ; 1) 9 ; ч 4 1og.l / J \1°Йз6 e>2 ; (3) ;
log2 3 b) 2 ; ж) 3 ; л) j .
43210^л . .log, 7. 7 1 \2 loga 12 3) 4 > m) —
1384. Даказаць, што пры любым дадатным a #= 1 loga.(sin 1°) • loga(sin2°) • . . . • loga(sin 8r) • loga(sin90°) = 0.
§ 18f. Лагарыфмічная функцыя i яе графік
Лагарыфмічнай функцыяй называецца функцыя выгляду
I/ = lognx,
дзе a — некаторы фіксіраваны дадатны лік, адрозны ад 1. Формула у = logo х выражае тое ж самае, што і формула
а^ = х.
(1)
434
Адсюль лёгка ўстанавіць сувязь лагарыфмічнай функцыі з паказальнай функцыяй
У = ах. (2)
Калі паказальная функцыя (2) апісвае змяненне ступені ў залежнасці ад змянення яе паказчыка, то ў сувязі з (1) лагарыфмічная функцыя, наадварот, апісвае змяненне паказчыка ступені ў зал'жнасці ад змянення ступені. Таму лагарыфмічная функцыя у = logax называецца адваротнай да паказальнай функцыі у = ах.
Формула (1) атрымліваецца з формулы (2), калі ў апошняй пераменныя велічыні х і у памяняць месцамі. Адсюль вынікае, што значэнні лагарыфмічнай функцыі у = logax лёгка атрымаць з адпаведных значэнняў паказальнай функцыі у = ах, калі тое, што для паказальнай функцыі было уам, для лагарыфмічнай функцыі разглядваць як х, а тое, што для паказальнай функцыі было хом, для лагарыфмічнай функцыі разглядваць як у.
Табліцы значэнняў паказальных функцый у = 2Х, у = 10х, /IV / 1
у = ly I і у = I j былі складзены намі ў § 178. Выкарыстоўваючы іх, мы атрымліваем табліцы набліжаных значэнняў функцый
у = loga х, у = log10 х, у = logj_x і у = logi х: 2 10
X 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 .. .
log!* — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 . . .
log 1 X 2 3 2 1 0 — 1 — 2 — 3 ♦..
0.1 0,2 0,3 0,6 1,0 1,8 3,2 5,6 10,0 | . . .
logio X — 1 3 4 1 " 2 __1_ 4 0 1 4 1 2 3 4 1
log 1 X 10 1 3 4 _1_ 2 1 4 0 1 4 1 ” 2 3 " 4 1 ...
Гэтыя табліцы даюць (хоць і вельмі абмежаванае) уяўленне аб паводзінах разглядваемых функцый. У прыватнасці, яны яшчэ могуць быць выкарыстаны пры пабудаванні графікаў гэтых функцый.
435
На рысунку 250 вы бачыце графікі функцый у = log2 л і y = log10x, а на рысунку 251—графікі функцый г/= log І хі
у = log 1 X.
10
Трэба звярнуць увагу на наступную важную акалічнасць. Калі х » 0, то лагарыфмічная крывая у = loga х неабмежавана набліжаецца да восі ардынат. Але восі гэтай яна ніколі не дасягае (гл. рыс. 250 і 251). Аб гэтым нельга забываць пры пабудаванні лагарыфмічныд крывых.
Для параўнання графіка лагарыфмічнай функцыі у = logz| х з графікам адпаведнай ёй паказальнай функцыі у = ах звернемся да рысункаў 252 (а = 2) і 253 ^а“^' ^К в*даць 3 ГЭТЬІХ РЬІ' сункаў, графікі лагарыфмічнай функцыі 1 адпаведнай ёй паказальнай функцыі сіметрычныя адзін другому адносна бісектрысы 1га і
436
3га каардынатных вуглоў. Калі, напрыклад, рысунак 252 перагнуць па гэтай бісектрысе, то графікі функцый у = 2Х і у = log2 х накладуцца адзін на другі.
Практыкаванні
1385. Ці перасякаецца лагарыфмічная крывая r/ = logax:
а) з воссю х; б) з воссю уі
1386. Выкарыстоўваючы графік функцыі y = log2x, знайсці лагарыфмы па аснове 2 лікаў: 0,5; 0,6; 0,7; 1,5; 2,3; 3,0.
Лагарыфмы якіх лікаў па аснове 2 роўны 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,5?
1387. Зыходзячы з графіка функцыі у = log2x, пабудаваць графікі функцый:
^І/= log2(x—1); в)у = —log2x; Д) У = | log2 х |;
б) г/= logs (х + 2); T) ^ = log2ix|; ej У = log2(—х).
1388. Пабудаваць графікі функцый:
a) у = log і х;
Т
5) у = log± (х — 1);
3
в) у = log £ (X + 2); з
г) у = |log±x|;
3
Д) ^ = bgi |х|;
е) у = log 1 (— х).
1389. На адным і тым жа рысунку пабудаваць графікі функцый: у = log8 х 1 у = logj_ х.
3
§ 182. Асноўныя ўласцівасці лагарыфмічнай функцыі
У гэтым параграфе мы вывучым асноўныя ўласцівасці лагарыфмічнай функцыі
J/ = log„x. (1)
Напомнім, што пад а ў формуле (1) можна падразумяваць любы фіксіраваны дадатны лік, адрозны ад 1.
КНІГІ ОНЛАЙН
