КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

што arc tg2 + arc tg3 = ^  на аснове таго толькі, што tg (arc tg2 + 3
+ arc tg3) = tg —	3 роўнасці тангенсаў двух вуглоў яшчэ не
вынікае, што роўны самыя гэтыя вуглы. Аднак, калі вуглы знаходзяцца ў межах ад 0 да к, то роўнасць іх тангенсаў забяспечвае роўнасць і саміх вуглоў.
Практыкаванні
Даказаць дадзеныя тоеснасці:
1248.	arctg—+ arctgy =—.
1249.	arctg5 + arctg7=— = =.
5 + /3	6
1250.	arc sin 0,6+arc sin 0,8 =
5	12	120
1251.	arc cos — arc cos = arc cos
13	13	169
4 TV
1252.	arc sin 0,8 + arc cos ==
1253.	arc sin 0,8 — arc cos 0,6 = 0.
§ 171.	Трыганаметрычныя ўраўненні
У гэтым раздзеле быў атрыманы рад важных трыганаметрычных тоеснасцей. Цяпер на канкрэтных прыкладах мы пакажам, як гэтыя тоеснасці можна выкарыстаць для рашэння трыганаметрычных ураўненняў.
402
П р ы к л а д 1. Рашыць ураўненне tg х + tg I — + х j = — 2.
Выкарыстоўваючы формулу для тангенсаў сумы двух вуглоў, атрымліваем
tg[T+^
_^TjJ^_ = l+tgx 1tg^tgx
Таму дадзенае ўраўненне можна перапісаць у выглядзе:
Івх+Ш8£ = _2.
ь 1—tgx
Абазначыўшы tgx праз у, мы прыходзім да алгебраічнага ўраўнення:
у + Ц^ = — 2,
або
у(1—У)+ 1 + у = — 2(1 —у),
адкуль
У — + /З".
Такім чынам, або tgx ■= /3 і тады х = ^ + п к, або tg х = о
= — у 3 і тады х =5" + ^«, дзе п і k — любыя цэлыя лікі.
о
Абедзве гэтыя групы рашэнняў можна запісаць адной формулай х = + У + °'
Адказ. х=±^+лк.
о
Прыклад 2. Рашыць ураўненне 3cos2х = 7sinх.
ЗаПІшам cos2x у выглядзе cos2x — sin2x. Тады дадзенае ўраўненне можна запісаць у выглядзе:
3 (cos2 х — sin2 х) = 7sin х.
Замяняючы cos2 х на 1 — sin2 х, атрымліваем
3(1 — 2 sin2 х) = 7sin х.
403
Абазначыўшы sinx праз у, прыходзім да наступнага квадратнага
ўраўнення: — 6у2 — 7у + 3 = 0, адкуль ух =
1
3 ’
3 v
Уг =2". Ус
помніўшы, што y = sinx, атрымліваем: або sinx = ~, або sinx = з
=2*. Але другое немагчыма: сінус любога вугла па абсалютнай
велічыні не перавышае адзінкі.
Таму sin х = |, адкуль х = (— 1)" arc sin ^ + п к, дзе п — любы цэлы лік.
3
Прыклад 3. Рашыць ураўненне 2sin2х + cos2х =^sin2х.
Прадставіўшы sin 2х у выглядзе 2sin х • cos х, прыйдзем да аднароднага ўраўнення 2 sin2 х 4* cos2 х = 3 sin х • cos х.
Падзяліўшы абедзве часткі гэтага ўраўнення на cos2 х, атрымаем 2tg2 х + 1 = 3tgx,
Адсюль
(tg х\ = 1, або х = ~ +т:,
(tg*)2 = у’ аб° x = arctgy + ^
Адказ. х =	+ гг~, х = arctg^ +/е~, дзе п і k — лю
быя цэлыя лікі.
Прыклад 4. Рашыць ураўненне cos4x • cos2x = cos5x • cosx,
Запішам здабыткі cos 4х • cos 2х і cos 5х • cos х у выглядзе сум (гл. § 157):
cos 4х • cos 2х = у (cos 6х + cos 2х), cos 5х • cos х = — (cos 6х + cos 4х).
Тады дадзенае ўраўненне можна перапісаць у выглядзе:
І	(cos 6х + cos 2х) = ~ (cos 6х + cos 4х).
Адсюль
cos 2х = cos 4х,
cos 2х — cos 4х = 0,
404
— 2sin Зх ■ sin (— x) = 0, 2sin 3x • sin x = 0.
Таму або sin x = 0 i тады x — ntz, або sin 3x = 0 i тады 3x = k^\ x = ~. Відавочна, што абедзве групы кораняў можна запісаць ад
ной формулай х т.
Адказ. х =^ т.
о
П р ы к л а д 5. Рашыць ураўненне 1 + cos х + sin х = 0.
Запішам 1 4 cosx як 2cos2^, a sinx як 2sin^ • cos^.
Тады дадзенае ўраўненне можна запісаць у выглядзе:
2cos2 ~ + 2sin^ ■ cos^ = 0. £	z z
Таму
2cos ( cos + sin = 0.
„	. X „	X 1t ,	.
Калі	cosg	= (J,	to ^	= ^ +	nл i, значыць, x = к| 2м.
Калі cos ~ + sin ~ =0 (аднароднае ўраўненне), to 1 + tg^ =0, x . x it , ,	„	it
адкуль tg — = — 1. — =_ | An. Значыць x =g + 2Ал.
Адказ. x = it f 2/i it; x =g + 2^ it, дзе n i k — любыя цэлыя лікі.
Прыклад 6. Рашыць ураўненне cos2x = cos6x.
Перапішам дадзенае ўраўненне ў выглядзе cos 2х — cos 6х = 0 і скарыстаем формулу для рознасці косінусаў двух вуглоў. У рэзультаце атрымаем
„ . 2х + 6х . 2х — 6х .
— 2sing— • sing= 0,
або
2sin 4х • sin 2х = 0.
405
У такім выпадку або sin 2х = 0 і тады 2х = zn it, х = ўт, або sin 4х = 0 і тады 4х = Л it; х = ^k. Абедзве групы кораняў можпа запісаць адной формулай х = ^k.
Адказ. х = — к.
Прыклад 7. Рашыць ураўненне tg3x— tgx = 0.
Скарыстоўваючы формулу для рознасці тангенсаў двух вуглоў, атрымліваем
sin 2х Q
cos Зх • cos х ’
гдкуль sin 2х = 0, 2х = zn it, х = ~ т. 3 гэтых значэнняў х трэба адкінуць як пабочныя тыя, пры якіх хоць бы адзін з выразаў cos3x і cosx ператвараецца ў нуль. Выраз cosx ператвараецца ў нуль пры х = у +kn. Таму з атрыманых раней значэнняў х = — ~ т застаюцца толькі значэнні х = zn к. Выраз cosЗх ператва
раецца ў нуль пры ўмове, што Зх = у + Н, або х = g +
[■ k =	(2k + I). Лік (2^ + I) няцотны, а лік 6 цотны. Та
mv лік х— не можа быць цэлым і, такім чынам, значэнні a —4—it не змяшчаюцца сярод значэнняў х = zn it. Іакім чынам,
6
усе лікі выгляду х = znit з’яўляюцца коранямі дадзенага ўраўнення.
Адказ. х = mu.
П р ы к л а д 8. Рашыць ураўненне sin2 2х + sin2 х = 1.
3 тоеснасці 1 — cos a = 2sin2 ^ вынікае, што
sin2 2х =
1 — cos 4х
2	’
sin2 X =
1 — cos 2х
2
Таму дадзенае ўраўненне можна перапісаць у выглядзе: 1 — cos 4х , 1 — cos 2х .
2 h 2	“ ’
406
адкуль
cos 4х + cos 2х = 0.
Гэта ўраўненне лёгка рашаецца з дапамогай формулы для сумы косінусаў двух вуглоў, з якой атрымліваем
2cos Зх • cos х = 0.
Калі cosх = 0, to х = ^ + п^, калі ж cosЗх = 0, то Зх =
IT
= у+h, адкуль x =?+ Q k. Няцяжка зразумець, што другая
група кораняў
х =
k пры 4 = Зп ф 1 змяшчае ў сабе
ўсе корані першай групы I х = у + пч
j. Таму адказ да дадзенай
задачы можна выразіць адной формулай: х = т+
Прыклад 9. Рашыць ураўненне sinx — /3 cosx=l.
Пераўтворым выраз sinx — /3 cosx, увёўшы дапаможны вугал (гл. § 167): sinx — ]ЛЗ cosx = ]/"l2+ (/З)2 X
X
1	.	/3
== Sin X^=== COS X
(/3)2	/p+(/3)a
1 . Д ysinx—COSX
= 21 COS — Sin X — Sin 5 cosx
— 2sin х.
Цяпер дадзенае ўраўненне можна запісаць у выглядзе:
2sin х —
адкуль sin х5
1	It
= x 1, значыць, xx
■б
x= V + (~ іГ^ + пк. □	o
дказ, x = — + (—If—+ «^.
Прыклад 10. Рашыць ураўненне 5sinx — cosx = 5.
Гэта ўраўненне ў прынцыпе можна рашаць тым жа спосабам, што І папярэдняе ўраўненне;
407
/26 ( —= sin x= cos x ) = 5,	/26 sin (x — ®) = 5,
\ y 26	/26	/
дзе 5	.	1
COS co = —Sin CD =	,
J/26	/26
або
1 ? = arctg —.
Таму sin x — arc tg _ = r \	5 /	/26
адкуль 1	5
x — arc tg _	= (—	1)" arc sin	—=	+	nr,.
5	/26
1	5
x = arctg _	+ (—	I)4arc sin	r__+	nit.
5	/26
У дадзеным выпадку лепш скарыстаць іншы метад рашэння, які прыводзіць да больш простага адказу. Увядзём у разгляд но
вую пераменную у = tg у.
1 —tg т
COS X =——
1—/
1 + у2 *
Тады дадзенае ўраўненне можна перапісаць у выглядзе;
Юу	1/	,
1 + у2	1 + у2 ’
адкуль
10у1 + / = 5(1 + /),
4/ — Юу + 6 = 0, ^ = 1, Уг = у •
408
Успамінаючы, што у = tg у, атрымліваем
t), = t+"”; Ыг +
Значыць, дадзенае ўраўненне мае дзве групы кораняў:
7U	3
х = — + 2/iit і х = 2агс tg ^ + 2« z,
дзе п і k — любыя цэлыя лікі.
Тыя, хто жадае, могуць праверыць, што адказы, атрыманыя двума рознымі спосабамі, выражаюць адзін і той жа рэзультат.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні:
1254. tg х — tg (^ — х) = 1.
1255.
1256.
— 0,5sinx
1257. cos 2x • cos x = sin 2x ■ sin x.
1258. sin a • cos (a + x) = cos a • sin (a + x).
1260. tg3x • tgx = 1.
1261. sin2x = 2sinx.
1262. cos2x = 2sin2x.
1263. sinx • cosx = 0,25.
1264. sinx + cos y = 0.
1265. sin4 x + cos4 x = sin 2x.
1266.	sin2 J — cos2 J = 0,5.
1267.	sin4 y — cos4 y = 0,25.
^ 1268. 5cos2x = )/ 56  sinx.
409
1269.	cos 2х = 2sin xy.
1270.	tgJ • tgx = tg| +tgx.
1271.	tg2x = 3tgx.
1272.	™^ + Д^ = 2. tg x tg 2x
1273.	2sin2 x = /6" sin 2x — 3cos2 x.
1274.	cos2 x + 4sin2 x = 2sin 2x.
1275.	sin 2x + sin x • cos x == 2cos 2x.
1276.	cos7x ■ cos3x = cos4x.
1277.	cos 3x • cos x = cos 7x • cos 5x.
1278.	cos 2x • cos 3x = cos 5x • cos 6x.
1279.	sin x • sin 3x = sin 2x • sin 4x.
1280.	sin 2x • cos 3x = sin 3x • cos 2x.
1281.	cos (a + x) • cos (a — x) + sin2 x = 0,5.
1282.	cos| = 1 + cosx.
1283.	1 — cosx = sinx.
1284.	1 + cos x + cos 2x = 0.
1285.	cos2x= 1 +sinx.
1286.	_£0±£2^L = 3sin2J. x	2
C0ST
1287.	sinx + sin3x = 0.
1288.	sinx — sin3x = 0.
1289.	sin(30° + x)— sin (60°—x) = 1.
1290.	cos 2x + cos 6x = 0.
1291.	cos2x — cos6x = 0.
1292.	cos (x — a) — cos (x — p) = sin ф — a).
1293.	sin 3x = cos2x.
1294.	sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.
1295.	cos x — cos 2x = sin 3x.
1296.	sin x + sin 3x + sin 5x = 0.
410
1297.	tg 5x + tg Зх = 0.
1298.	tg5x = tg3x.
1299.	tg4x = tg2x.
1300.	tg (a + x) + tg (a — X) = 0.
1301.	tgy + tgX = tg y.
1302*. tgx + tg3x + tg5x = 0.
1303.	cos2x + 3cos2 4 = 2.
1304.	sin2 x + sin2 3x + y cos 6x = 1.
„	„ . „ _	3 — cos lOx
1305.	cos2 x + 2sin2 5x =g.
1306.	sin2 4x + 7cos2 6x ф y cos 8x = 5.
1307.	sinx — >^3 cosx = 1.
1308.	/3 sin x + cos x= /2 .
1309.	sin 5x + 1^3 cos 5x = 2sin 7x.
Л310*. sin x — ўТ cos x = }/7 .
^tax+cos^^
cos 2x
r 4
*1312., sin x — cosx + tgx = 1.
1313. 2sinx — 5cosx + 2tgx = 5.
1314? 4/З sin x — /5 cos x = j/ 3 .
1315/ sin 2x • tgx = 1.
І 316. cos 4x + tg 2x = 1.
■ 1317. cosx • tg2y = y
§ 172. Графічны спосаб рашэння трыганаметрычных ураўненняў
■ Аб графічным спосабе рашэння некаторых трыганаметрычных ураўненняў мы ўжо гаварылі ў § 125, ч. I. Цяпер, умеючы будаваць графікі трыганаметрычных функцый кратных вуглоў, мы можам рашыць гэтым спосабам значна больш ураўненняў, чым раней. Але асноўная ідэя рашэння, вядома, застаецца той жа самай.
411
Для прыкладу разгледзім ураўненне tgf = 2x.
Графікі функцый р = tg ^ і у = 2 — х (рыс. 244) перасякаюцца ў бясконцай колькасці пунктаў. Значыць, дадзенае ўраўненне
мае бясконцае мноства кораняў. Знойдзем, напрыклад, найменшы дадатны корань х0. Гэты корань з’яўляецца абсцысай пункта перасячэння графікаў. Прыкладна ён роўны 1,2.
Каб знайсці гэты 'корань больш дакладна, выкарыстаем табліцы тангенса (гл. табліцы У. М. Брадзіса, стар. 62). Выпішам значэнні функцый у = tg і у = 2— х у наваколлі пункта х = 1,2.
X	1,2	1,3
♦ х	0,6841	0,7602
У = 2 — х	0,8000	0,7000
tg^—(2 — x)	—0,1159	0,0602
Як відаць з гэтай табліцы, пры пераходзе ад значэння х= 1,2 да значэння х = 1,3 рознасць tg=(2 — х) мяняе свой знак на
412
процілеглы (з — на +). Значыць, у нуль гэта розьжць ператвараецца недзе паміж значэннямі 1,2 і 1,3. Такім чынам, з дакладнасцю дя 0,1 х0~ 1,2 (з недахопам) і х0^ 1,3 (з лішкам).