Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
1139. Х+sin a. 1140. /S' —2sina. >
1141. Даказаць, што сінусы вуглоў a і р роўныя тады і толькі тады, калі
a = (— 1)" р 4 п к, дзе п — некаторы цэлы лік. *
§ 159. Пераўтварэнне сумы (рознасці) косінусаў двух вуглоў у здабытак
Для сумы і рознасці косінусаў двух вуглоў правільныя наступныя формулы:
cos х 4 cos у = 2cos Х^ • cos Х ^ ; (1)
л . X 4 V . X — V
COS X — cos у = — 2sin• Sin(2)
Сума косінусаў двух вуглоў роўна падвоенаму здабытку косінуса паўсумы на косінус паўрознасці гэтых вуглоў.
Рознасць косінусаў двух вуглоў роўна мінус падвоенаму здабытку сінуса паўсумы на сінус паўрознасці гэтых вуглоў.
Прыклады. 1) cos75° 4cos 15° = 2cosх
75° —15° _ „ /2 /3 /6
„= 2cos 45 • cos 30 = 2 „ = —.
2 2 2 2
— !а„т.яп = 2Г.І =
373
Формулы (1) і (2) могуць быць атрыманы шмат якімі спосабамі. Дакажам, напрыклад, формулу (1).
1ы спосаб. У § 157 была даказана формула
cos a • cos р = і [cos (a + ₽) + cos (a — ₽)].
Прымаючы ў ёй a + р = х, a — ? — У, мьі і прыходзім да формулы (1). Гэты спосаб аналагічны таму, з дапамогай якога ў папярэднім параграфе была атрымана формула для сумы сінусаў двух вуглоў.
2і спосаб. У папярэднім параграфе была даказана формула
sin a + sin р = 2sin —• cos —
Прымаючы ў ёй
атрымліваем
sinfX + +sin Ну
= 2sin^^+^.eos^.
Але па формулах прывядзення
sin х 4 — = cos х; sin у 4 ^ I = cos у;
= cos
х + у
2 •
„ . с х + У Х — у
Значыць, cos х 4* cos у = 2cos —^ • cos —^,
што і трэба было даказаць.
Формулу (2) мы прапануем вучням даказаць самастойна. Паспрабуйце знайсці не менш двух розных спосабаў доказу!
Практыкаванні
Вылічыць № 1142—1147 без табліц, скарыстоўваючы формулы для сумы і рознасці косінусаў двух вуглоў:
1142. cos 105° 4 cos 75°. 1145. C0S12 KC0ST2
1143. cos 105° — cos 75°. 1146. cos 15c — sin 15°.
1144. cos 11 12 * 5 + C«J2" 1147. sin 12 , 11 4со8у2«
374
Спрасціць дадзеныя выразы (№ 1148, 1149):
1148. cos v + a Ц cos
3
— a
1149. 7+a —cos
3
— a
1150. Кожную з тоеснасцей
sin a + COS a = /2 sin ( a + j L
sin a — cos a = I/ 2 sin ar
\ 4
даказаць не менш чым двума рознымі спосабамі.
Дадзеныя выразы (№ 1151—1154) запісаць у выглядзе здабыткаў:
1151. ]/2 +2cosa. 1153. sin х +cosy.
1152. ]/Т— 2cos a. 1154. sin x — sin y.
1155. Спрасціць выраз:
Раскласці на множнікі дадзеныя выразы (№ 1156—1159):
1156. 1+sina — cosa.
1157. sin a + sin (a + P) + sin p.
1158. cos a + cos 2a + cos 3a.
1159. 1 + sin ap cos a.
Даказаць дадзеныя тоеснасці (№ 1160—1163):
1160.
1161.
1162.
1163.
sin a + sin 3a , „ ;= tg 2a. cos a 4 cos 3a
sin(a + p) + sin(a —P) cos (a + P) + cos (a — p) ®
sin (a + P) — sin (a — P) _
cos (a + P) — cos (a — p) ~ c S asin a — 2sin 2a + sin 3a _ , cos a — 2cos 2a + cos 3a ~ ^ a'
375
1164. Даказаць, што косінусы вуглоў а і р роўны тады і толькі тады, калі
a = ± Н 2n it,
дзе п — некаторы цэлы лік
§ 160. Пераўтварэнне сумы [рознасці]
тангенсаў двух вуглоў
Пры рашэнні формулы: некаторых задач бываюць карысны наступныя (В., ц^^'Х+ Й (|) COS ,t • COS у ' 7 = _*!<£=.?>.. (2) COS X ■ cos у ' '
Сума тангенсаў двух вуглоў роўна адносіне сінуса сумы гэтых вуглоў да здабытку косінусаў тых жа вуглоў.
Рознасць тангенсаў дзух вуглоў роўна адносіне сінуса рознасці гэтых вуглоў да здабытку косінусаў тых жа вуглоў.
Дакажам, наіірыклад, формулу (1). Маем:
tgOtgy =
sin х , 5ІП у _ 5ІП X • COS y + cos x ■ sin y cosx cosy cos x ■ cosy
але
sin x • cos y + cos x • sin y = sin (x + y),
таму
tg X + tg y =
sin (X + y) COS X • cos y'
Тым самым формула (1) даказана. Аналагічна даказваецца і формула (2).
П р ы к л а д.
Даказаць, што тангенсы
вуглоў a =^ + /г і
+ пк роўныя тады і толькі тады, калі гэтыя вуглы роз
няцца на вугал, кратны it.
Няхай a і 8 розняцца на вугал, кратны it, тады a = р j /і it, дзе п — некаторы цэлы лік. Але ў такім выпадку
tg a = tg (₽ + n it) = tg p.
376
Наадварот, няхай tga = tgp. Тады tga —tgP = O, і па формуле (2)
cos a • cos р
Але гэта магчыма толькі пры ўмове, што sin (a — |Э) = 0. Як вядома, сінус ператвараецца ў нуль толькі для вуглоў, кратных к. Таму
a — р = zi~,
a = р + п к, што і трэба было даказаць.
Практыкаванні
Вылічыць № 1165—1168, не карыстаючыся трыганаметрычнымі табліцамі:
1165. tg 22°30'+ tg 67°30'.
1166. tg 22°30'— tg 67°30'.
1167. tg|iK + tgAK.
П68
1169. Спрасціць выраз
tga —tgp
1170. Дадзеныя выразы даць у выглядзе здабыткаў:
а) V 3 — tg a; б) 1 + tg a.
1171. Знайсці ўмову, пры якой катангенсы вуглоў a і В роўныя адзін другому. }
Даказаць тоеснасці:
377
§ 161. Графікі трыганаметрычных функцый кратных вуглоў
У раздзеле V мы паказалі, як будуюцца графікі трыганаметрычных функцый у = sin х; у = cos х; у = tg х; у = ctg х. Цяпер мы разгледзім пытанне аб тым, як будаваць графікі трыганаметрычных функцый кратных вуглоў ш х, дзе « — некаторы дадатны лік
Для пабудавання графіка функцыі r/ = sinwx параўнаем гэту функцыю з ужо вывучанай намі функцыяй y = sinx. Дапусцім, што пры х = х0 функцыя y = sinx прымае значэнне, роўнае уй. Тады
Уо = sinx0.
Пераўтворым гэту суадносіну так:
Уо = sin х0
Такім чынам,
Значыць, функцыя у = sin w х пры х = — прымае тое ж самае значэнне у0, што і функцыя y = sinx пры х = х0. А гэта азначае, што функцыя у = sin (в х паўтарае свае значэнні ў ш разоў часцей, чым функцыя y = sinx. Таму графік функцыі y = sino>x атрымліваецца шляхам «сціскання» графіка функцыі у = sin х у ш разоў уздоўж восі х.
Напрыклад, графік функцыі у = sin 2х атрымліваецца шляхам «сціскання» сінусоіды y = sinx у два разы ўздоўж восі абсцыс
X
(рыс. 221). Графік функцыі y = sin — атрымліваецца шляхам «рас
( * « 1 \
цяжэння» сінусоіды у = sinху два разы I або «сціскання» у раза )
уздоўж восі х (рыс. 222).
Рыс. 221.
* w — грэчаская літара; чытаецца: амега.
378
Паколькі функцыя у = sinwx змяняе свае значэнні ў « разоў хутчэй, чым функцыя у = sinx, то перыяд яе ў ю разоў меншы за перыяд функцыі у = sin х. Напрыклад, перыяд функцыі у = sin 2х роўны
Рыс 222.
2л , . . х „ 2’ .
= т, а перыяд функцыі у = sin ^ роуны —— = 4~.
"2
Аналагічна будуюцца графікі і іншых трыганаметрычных функцый кратных вуглоў. На рысунку 223 дадзен графік функцыі
y = cos2x, які атрымліваецца шляхам «сціскання» касінусоіды y = cosx у два разы ўздоўж восі абсцыс. Графік функцыі у = = cos | (рыс. 224) атрымліваецца шляхам «расцяжэння» касінусоіды у = cos х у два разы ўздоўж восі х.
379
На рысунку 225 вы бачыце графік функцыі у = tg 2х, атрыманы «сцісканнем» тангенсоіды у = tg х у два разы ўздоўж восі абсцыс, а на рысунку 226 —графік функцыі у = tgу, атрыманы «расцяжэннем» тангенсоіды y = tgx у два разы ўздоўж восі х.
Практыкаванні
Пабудаваць графікі дадзеных функцый (№ 1174—1181) і знайсці каардынаты пунктаў перасячэння гэтых графікаў з восямі
каардынат. Вызначыць перыяды дадзеных функцый: 4 , 5
1174. у = sin^x 1178. y = ctgyX.
' с 2
1175. y = cosyX. 1179. у = 5ІПу х. 4 2
1176. g = tgyx 1180. y = cos^x.
1177. у = tg | х. 1181,. у = ctg |,
1182. Вызначыць перыяды функцый у = зіптгх 1 y = tg^x.
1183. Прывядзіце два прыклады функцый, якія прымаюць усе значэнні ад — 1 да + 1 (уключаючы гэтыя два лікі) і змяняюцца перыядычна з перыядам 10.
1184* . Прывядзіце два прыклады функцый, якія прымаюць усе значэнні ад 0 да 1 (уключаючы гэтыя два лікі) і змяняюцца перыядычна з перыядамg.
1185. Прывядзіце два прыклады функцый, якія прымаюць усе сапраўдныя значэнні і змяняюцца перыядычна з перыядам 1.
1186* . Прывядзіце два прыклады функцый, якія прымаюць усе адмоўныя значэнні і нуль, але не прымаюць дадатныя значэнні і змяняюцца перыядычна з перыядам 5.
380
§ 162. Графікі функцый у = A sin w х, у = A cos w х, у — Atg to х, y = A ctg to x
Няхай Л > 0, тады ўсе значэнні функцыі у = A sinox у A pasoy большыя, чым адпаведныя значэнні функцыі y = siniux. Таму крьівая y = Asinwx атрымліваецца шляхам «расцяжэння» крывой у — sin w х у А разоў у вертыкальным напрамку.
Напрыклад, крывая у = 3sin 2х (рыс. 227) атрымліваецца шляхам «расцяжэння» крывой у = sin 2х у вертыкальным напрамку ў
тры разы. Аналагічна крывая y = ^sin2x (рыс. 228) атрымліваецца шляхам «сціскання» крывой у = sin 2х у вертыкальным напрамку ў тры разы (або шляхам «расцяжэння» ў ^ раза).
Рыс. 228.
Аналагічна будуюцца і графікі функцый у = A cos ш х, у = Actg шх, у = Aigwx. На рысунку 229 вы бачыце графік функ
381
цыі у = 3cos 2х, а на рысунку 230 — графік функцыі У = ~^ tg2*. на рысунку 231—графік функцыі y = 3ctgx.
К.алі Л<0, то для пабудавання графіка функцыі у = Лзіп<ох папярэдне трэба пабудаваць графік функцыі у = | Л | sin ш х, а затым адлюстраваць яго сіметрычна адносна восі х. На рысунку 232,
напрыклад, паказана пабудаванне графіка функцыі у — 3sin 2х.
Аналагічна будуецца графік функцыі у =^ tg 2х (рыс. 233).
382
Адзначым, што перыяды функцый у == A sin ш х, у = A cos ш х, і/ = 4 tg ш х, у = A ctg ш х, (4^0) не залежаць ад А.
Практыкаванні
Пабудаваць графікі дадзеных функцый (№ 1187—1196) і ўказаць каардынаты пунктаў перасячэння гэтых графікаў з восямі каардынат. Вызначыць перыяды дадзеных функцый:
1187. у = sin Зх 1192. у = — 2cos^.
1188. у — — 3sin 2х. 1193. у ~ — 2cos (— Зх).
1189. у = — sin Зх. 1194. l/ = 2tg4
1190. 1 . / х у = т51п^т/ 1195. У = — ~ tg 2х.
1191. у = X cos 2%. о 1196. 1 , / х "“т^ т •
1197. Прывядзіце два прыклады функцый, якія б прымалі ўсе значэнні ад —^ да + ^, уключаючы гэтыя два лікі, перыядычна з перыядам —.
1198*. Прывядзіце прыклад функцыі, якая прымае ўсе значэнні, па модулю большыя чым 5, і змяняецца перыядычна з перыядам у.
§ 163. Графікі трыганаметрычных функцый у = 4 sin [ю (х + «)], у = 4 cos [w (л: + «)] і г. д.
Пачнём з простага прыкладу. Няхай нам трэба пабудаваць графік функцыі і/= sin ^х +у j. Для гэтага параўнаем дадзеную функцыю з функцыяй y = sinx, графік якой мы ўжо ўмеем будаваць.
Няхай дадзеная функцыя у = sin (х + у) пры х ** х0 прымае некаторыя значэнні, роўныя у0. Тады
І/о = Sin + у I
383
Але ў такім выпадку функцыя і/= sinx павінна прыняць тое ж самае значэнне у0 пры х = х0 + —. Такім чынам, усе значэнні, якія прымае функцыя у = sin ^х + ^, прымае і функцыя у = = sin х. Калі х тлумачыць як час, то можна сказаць, што кожнае
КНІГІ ОНЛАЙН
