КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Такім чынам, ak + ank+l =аі + ап> што і трэба было даказаць.
Выкарыстоўваючы даказаную лему, лёгка атрымаць агульную формулу для сумы п членаў любой арыфметычнай прагрэсіі. Маем:
= а1 + а2 + • • ■ + йл1 + аП’
$п~ ап + ап1 + ■ ■ ■ + «2 + Й1'
Складваючы гэтыя дзве роўнасці пачленна, атрымліваем
23л = (йі + аіг) + (а2 + апі) + • • • + (ал_і + а2) + (ал + °і)і але
аі + ал — й2 + ап—1 = аз + an—Z — • • ■» таму
25л = л(а1 + ал),	/
адкуль	t
Сума членаў канечнай арыфметычнай прагрэсіі роўна здабытку паўсумы крайніх членаў на лік усіх членаў.
У прыватнасці,
1 + 2 + 3 + .. . + 100 =	= 5050.
338
Практыкаванні
971.	Знайсці суму ўсіх няцотных трохзначных лікаў.
972.	Колькі ўдараў робіць гадзіннік на працягу сутак, калі ён адбівае толькі лік цэлых гадзін?
973.	Чаму роўна сума першых п лікаў натуральнага рада?
974.	Вывесці формулу даўжыні шляху, пройдзенага целам пры раўнамерна паскораным руху:
. at2 s = vj + ^,
М	« М ,
дзе v0 — пачатковая скорасць у, a — паскарэнне у —2, t — час руху ў сек.
975.	Знайсці суму ўсіх нескарачальных дробаў з назоўнікам 3, якія знаходзяцца паміж цэлымі дадатнымі лікамі т і п (т<п).
976.	Рабочы абслугоўвае 16 ткацкіх станкоў, якія працуюць аўтаматычна. Прадукцыйнасць кожнага станка а^^~ Рабочы ўключыў першы станок у 7 гадз, а кожны наступны на 5 мін пазней. Даведацца аб выпрацоўцы ў метрах за першыя 2 гадз работы.
977.	Рашыць ураўненні:
а)	1|'74'13 4"...|'^:::: 280;
б)	(х + 1) + (х + 4) 4 (х + 7) 4... + (* + 28) = 155.
978.	3 1 па 12 ліпеня ўключна тэмпература паветра штодзённа падымалася ў сярэднім на ў градуса. Ведаючы, што сярэдняя тэм
з
пература за гэты час аказалася роўнай 18 j градуса, вызначыць, якой была тэмпература паветра 1 ліпеня.
979.	Знайсці арыфметычную прагрэсію, у якой сярэдняе арыфметычнае л першых членаў пры любым п роўна іх ліку.
980.	Знайсці суму першых дваццаці членаў арыфметычнай прагрэсіі, у якой
ав + а9 + ^іа 4* й« = 20.
§ 145. Геаметрычная прагрэсія. Формула агульнага члена геаметрычнай прагрэсіі
Геаметрычнай прагрэсіяй называецца такая лікавая паслядоўнасць, кожны член якой, пачынаючы з другога, роўны папярэдняму, памножанаму на некаторы пастаянны для дадзенай паслядоўнасці лік, адрозны ад нуля.
339
Прыклады геаметрычнай прагрэсіі:
1,
1 1 1
12, —6,
3 ’ 9 ’ 27 ’
3	•
3,	2 ’ •"’
2, 8, 32, 128, ...;
1	2 4	8
5 ’	5’5’	5 ’ ’
У кожнай з гэтых
другога, атрымліваецца 1
шым выпадку на—, у о
тым на —2.
паслядоўнасцей любы член, пачынаючы з з папярэдняга шляхам памнажэння ў пердрупм на 4, у трэцім на—^, у чацвер
Геаметрычную прагрэсію, відавочна, можна вызначыць і такім
чынам:
Лікавая паслядоўнасць alt а2, а3, ..., ап, ... называецца геаметрычнай прагрэсіяй, калі для любога п
@п+і ^п ' 7»
дзе q — некаторы пастаянны адрозны ад нуля лік.
Гэты лік q называецца назоўнікам геаметрычнай прагрэсіі.
Для дадзеных вышэй прыкладаў q роўна ў першым выпадку
Х, у другім 4, у трэцім —У чацвёртым —2.
Геаметрычная прагрэсія называецца ўзрастаючай, калі |7| і ўбываючай, калі 171 < 1. ~
1,
Так, з дадзеных вышэй геаметрычных
прагрэсін першая
1 \ •
7 = к	। трэцяя
1
q~ 2
— убыва
ючыя, а другая (7 = 4) і чацвёртая (7 =— 2) —узрастаючыя.
Няхай назоўнік геаметрычнай прагрэсіі ап а2, а3, ... роўны q. Тады па азначэнню
^2 — Оі • ^,
Оз = «2 • 7 = («1 • ?) • 7 = 01 • 72,
с4 = а3 • 7 = (01 ' 72) • 7 = «1 • 73
і г. д. Відавочна, што пры любым п > 1
a„ = ai qn~\	(1)
гэта значыць, любы член геаметрычнай прагрэсіі роўны здабытку яе першага члена на назоўнік прагрэсіі ў стўпені, на адзінку меншай за нумар члена прагрэсіі.
Формула (1) называецца формулай агульнага члена геаметрычнай прагрэсіі.
Напрыклад, для геаметрычнай прагрэсіі
12, 6, 3, |, ... ах = 12, 7 = ~4
340
Таму
/ і V з з •
«10 = «1 • 9’ = І2 • Yj = (ZT27 = — 128
«юі = «і • Г = 12 ’ ( —у і г. д.
3
298
Практыкаванні
981,	Напісаць формулу агульнага члена геаметрычнай прагрэсіі, у якой:
а)	а4 = 2,	а2 = ў; д) а4 = sin <р, а2 = 2sin ?;
б)	а4 = 3, а4 =е) а4 = tg э, а2 = у tg ?;
в)а3 = а5 = —1;	®)«i = tg?> а2 = 1;
г) а4 = — 54, а5 =162; з) а4 = 1, а4 = 8.
982.	Атрымаць формулу агульнага члена геаметрычнай прагрэсіі шляхам пачленнага множання роўнасцей
«2 = «і • q,
«3 = «2 • 9'
ап = ап_х • q.
(Параўнайце з арыфметычнай прагрэсіяй, § 142.)
Саставіць геаметрычныя прагрзсіі па наступных даных (№ 983, 984):
983.
984.
«2 — «і = — 4,
«з — «і = 8.
7
«4 + «1 = ~jg,
,	7
«3  «2 + «1 = g~.
^£85. Знайсці формулу, якая выражае здабытак п першых членаў геаметрычнай прагрзсіі праз яе першы член і назоўнік.
J986. Калі ўсе члены геаметрычнай прагрэсіі памножыць на адпаведныя (па нумару займаемага месца) члены другой геаметрычнай прагрэсіі, то ці будзе атрыманая паслядоўнасць геаметрычнай прагрэсіяй?
‘J87. Дзве геаметрычныя прагрэсіі пачленна склалі. У якім выпадку атрыманая паслядоўнасць будзе геаметрычнай прагрэсіяй?
^8. Даказаць, што ў канечнай геаметрычнай прагрэсіі здабытак членаў, роўнааддаленых ад канцоў, роўны здабытку крайніх членаў.
341
§ 146. Характарыстычная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі з ^адатнымі членамі
Для любой геаметрычнай прагрэсіі з дадатнымі членамі правільная наступная тэарэма, якая, у прыватнасці, тлумачыць назву «геаметрычная прагрэсія».
Тэарэма. Любы член геаметрычнай прагрэсіі з дадатнымі членамі
#і» о2, я3, ..., ап__і, ап, ал+і, ..., пачынаючьі з другога, роўны сярэдняму геаметрычнаму суседніх з ім членаў.
Іншымі словамі, пры п^ 2
Г „	пап~ ^ап1 ' ап+1'
Сапрауды, пры п> 2
ап = «лі • ?.
ап =
Таму
2 _ ап — ап—1 ■ ап+Ь адкуль і вынікае роўнасць (1).
На геаметрычныя прагрэсіі, якія змяшчаюць адмоўныя члены, гэ7а тэарэма не распаўсюджваецца: сярэдняе ж геаметрычнае вызначана толькі для дадатных лікаў.
Правільная і тэарэма, адваротная да толькі што даказанай.
Калі кожны член лікавай паслядоўнасці з дадатнымі членамі, пачынаючы з другога, роўны сярэдняму геаметрычнаму суседніх з ім членаў, то такая паслядоўнасць з'яўляецца геаметрычнай прагрэсіяа.
Паспрабуйце даказаць гэта самастойна!
§ 147. Сума членаў геаметрычнай прагрэсіі
Няхай Sn ёсць сума п членаў геаметрычнай прагрэсіі аь a^q, a#.......
5« = «1 + «19 + ад2 + • •• + a1qn~1.	(1)
Калі назоўнік прагрэсіі q роўны 1, to Sn— п • av Калі ж ён адрозны ад 1, то зробім наступнае. ГІамножым роўнасць (1) пачленна на q; у рэзультаце атрымаем
Q^n = «і<7 + Оі<72 + Оі93 + • • • + алп	(2)
Затым адымем пачленна ад роўнасці (1) роўнасць (2):
sn — 4sП = «1 + (019 + ад2 + •.. + Оі^1) —
— (^q + а^ + ax(f + ... + a^"1) — а^п = ах— а^п = ax (1 — qn).
342
Такім чынам,
(\q')Sn^al(\~qn), адкуль
Такім чынам, калі назоўнік геаметрычнай прагрэсіі не роўны адзінцы, то сума п першых членаў гэтай прагрэсіі роўна дробу, у лічніку якога стаяць здабытак першага члена на адзінку мінус пя ступень назоўніка прагрэсіі, а ў назоўніку дробу — адзінка мінус назоўнік прагрэсіі.
П р ы к л а д ы.
111	1 _ 2 \	210/ =210—1 _ 1023
2 + 22 + 23 +210	1	210	1024'
2)	1 — 3 + З2 — З3 + ... + З8 =^тгр^р = "Л~ = 4921
Існуе паданне, па якому індыйскі прынц Сірам (VI стагоддзе) прапанаваў вынаходцу шахмат любую ўзнагароду, якую той толькі захоча. Вынаходца папрасіў, каб за 1ы квадрат шахматнай дошкі яму далі адно пшанічнае зерне, за другі — два, за трэці — чатыры і г. д.— за кожны наступны квадрат у два разы больш, чым за папярэдні. Такое «сціплае» жаданне здзівіла прынца, але ён згадзіўся. Калі ж падлічылі колькасць зярнят пшаніцы, якую трэба было выдаць Sa ўсе 64 квадраты шахматнай дошкі, то аказалася, што ўзнагарода ў гэтым размеры не можа быць выдадзена. Сапраўды, неабходная колькасць зярнят роўна:
1	+ 2 + 22 + 2s + ... + 2«3=	= 2« — 1 = 18446744073709551615.
Калі б такі лік зярнят раўнамерна рассыпаць па ўсёй зямной сушы, то ўтварыўся б слой пшаніцы таўшчынёй каля 9 мм.
Практыкаванні
989.	Знайсці сумы:
a) 1 + 2 + 22 + ... + 210;
1	1 •
'2	22 г 23	‘’	210’
' З З2 Зз Т З10 ’ г) 1 — 2 + 22 — 23 + .. . + 212; д) 1 + х + х2 + ... + х100;
е) х— х3 + х8 —... + х13.
343
990.	За адно пампаванне паветрапая
1
помпа адпампоўвае jg
частку паветра. Колькі працэнтаў паветра застанецца пасля 101J пампаванняў?
991.	Бактэрыя, папаўшы ў жывы арганізм, к канцу 20й мінуты дзеліцца на дзве; кожная з іх к канцу другіх дваццаці мінут дзеліцца зноў на дзве і г. д. Знайсці лік бактэрый, якія ўтварыліся з адной бактэрыі к канцу сутак.
992.	Даказаць, што ў геаметрычнай прагрэсіі, якая мае цотны лік членаў, адносіна сумы членаў, што стаяць на цотных месцах, да сумы членаў, што стаяць на няцотных месцах, роўна назоўніку прагрэсіі.
993.	Рашыць ураўненні:
a)	1 + х + *2 + х3 + . . . + х" = 0;
б)	1 + х + х2 + х3 + .. . + х100 = 0.
994.	Сума трох лікаў, якія складаюць арыфметычную прагрэсію, роўна 30. Калі ад першага ліку адняць 5, ад другога 4, а трэці лік пакінуць без змянення, то атрыманыя лікі складуць геаметрычную прагрэсію. Знайсці гэтыя лікі.
§ 148. Сума члекаў бесканечна ўбываючай геаметрычнай прагрэсіі
Да гэтага часу, гаворачы аб якіхнебудзь сумах, мы заўсёды меркавалі, што лік складаемых у гэтых сумах канечны (напрыклад, 2, 15, 1000 і г. д.). Але пры рашэііні некаторых задач (асабліва вышэйшай матэматыкі) прыходзіцца сутыкацца і з сумамі бесканечнага ліку складаемых.
S = Оі + о2 + ... + ап 4 ... .	(1)
Што ж гэта за такія сумы? Па азначэнню, сумай бесканечнага ліку складаемых а^, аг, ..., ап, ... называецца прэдзел сумы Sn першых п лікаў, калі п > co.
S = lim Sn = lim (aj + а2 + ... + an).	(2)
Л * oo	П* CO
Прэдзел (2), безумоўна, можа існаваць, а можа 1 не існаваць. Адпаведна гэтаму гавораць, што сума (1) існуе або не існуе.
Як жа высветліць, ці існуе сума (1) у кожным канкрэтным выпадку? Агульнае рашэнне гэтага пытання выходзіць за межы нашай праграмы. Аднак існуе адзін важяы прыватны выпадак, які нам трэба зараз разгледзець. Гутарка будзе ісці аб суміраванні членаў бесканечна ўбываючай геаметрычнай прагрэсіі.
Няхай alt а$, ayf, ... — бесканечна ўбываючая геамгтрычная
344
прагрэсія. Гэта азначае, што |у|< 1. "Сума першых п членаў гэтай прагрэсіі роўна	■ .
е ' Ml— q")
3 асноўных тэарэм аб прэдзелах пераменных велічынь (гл. § 135) атрымліваем