КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

£	£
Калі, напрыклад, мы жадаем, каб \ ап—2| было менш, чым е = 0,1, то п трэба выбіраць з умовы
* lim — першыя тры літары лацінскага слова limes, што пабеларуску азначае: прэдзел, мяжа.
317
гэта значыць пачынаючы з п = 20. Пры е = 0,001 мы атрымалі б .	, ,	2
П' + 0,001 ’
Значыць, умова |а„— 2] <0,001 выконваецца для ўсіх п, пачынаючы з п = 2000 і г. д.
Калі б мы пачалі абазначаць члены разглядае.май лікавай гіаслядоўнасці пунктамі на лікавай прамой (рыс. 206), то заўважылі б, што з ростам п яны ўсё бліжэй і бліжэй злева падыходзяць да пункта з абсцысай 2. Для любога г > 0 можна знайсці такі нумар N, пачынаючы з якога ўсе пункты будуць знаходзіцца ў інтэрвале (2 — е, 2). Але ў такім выпадку можна сказаць, што ўсе яны будуць знаходзіцца і ў інтэрвале (2 —г, 2 + е). Гэта служыць геаметрычнай ілюстрацыяй таго, што прэдзел дадзенай лікавай паслядоўнасці роўны 2.

аг а3 (Wb
1
2&
Рыс. 206.
2 + &
П р ы к л а д
2. Даказаць, што
Доказ.
lim
П* оо
sinn ^
п
Выраз —, a
sin п п
|sinn|  1
разам з ім і
п sinn п
п
0 , з ростам п прымае
ўсё меншыя і меншыя значэнні. Таму, які б малы ні быў дадатны лік е, можна знайсці так'і нумар ^, што для ўсіх n > А будзе выконвацца няроўнасць
sin п Q
е.
п
У прыватнасці, мсжна дабіцца, каб было
sinn Q
п
sin n Q п
0,01 (3 = 0,01),
0,001 (3 = 0,001)
і г. д. Але ў такім выпадку
.. sinn _ lim= 0.
П» П
318
Практыкаванні
Зыходзячы з азначэння прэдзелу, даказаць наступныя суадносіны:
943.	Пт = 3.	945. Ііт = 0.
1 _sinn + cosn 
944.	Ііт і——2 = — 1.	946. Ііт= 0.
1+п2	п.~ п
У практыкаваннях № 947 — 950 дадзены агульныя члены лікавых паслядоўнасцей. Для кожнай з гэтых паслядоунасцей знайсці прэдзел і вызначыць нумар N такі, каб для ўсіх n> N выконвалася няроўнасць |а„ —а|<0,01.
947. ап
1 —п “ л + 1 ’
948. ап
a
2ч + 1
949.	ап =
950.	ап =
COS /1
п
sin п — cos п
п
§ 132. Сыхгдныя I разыходныя лікавыя паслядоўнасці
Тэарэма. Лікавая паслядоўнасць не можа мець больш аднаго прэдзелу.
Для доказу дапусцім адваротнае. Няхай некаторая лікавая паслядоўнасць аь а2, а3, ... мае некалькі прэдзелаў. Дапусцім, што а і ^ —два такія прэдзелы. Для пэўнасці будзем лічыць, што

ае. а а+г.
be b b+e.
Рыс. 207.
a цераз яго і пойдуць як заўгодна далёка ўправа. Значыць, натуральны рад лікаў таксама не мае прэдзелу.
Лікавая паслядоўнасць, маючая прэдзел, называецца сыходнай, а не маючая прэдзелу — разыходнай.
Напрыклад, паслядоўнасці
4	6	8	2л
b 3 ’ 4 ’ 5.......... n+	1 ’
sin 1 sin 2 sin 3 sin n
' • " ~n~' ' ’'
(гл. прыклады 1 i 2, § 131) з’яўляюцца сыходнымі, a паслядоўнасці
— 1, 1, —1, 1, —1, 1, ...
1,	2, 3, 4, ...
— разыходнымі.
320
Прахтыкаванне
951.	Якія з дадзеных паслядоўнасцей з’яўляюцца сыходным' і якія разыходнымі:
а)	2, 4, 6, .. ., 2«, ..
б)	1, 3, 5...2n — 1, ...;
'	2’4’	6 ' 8 ’ ' ’ ” 2л ’ ' ’ "
г)	0, 1, 2. 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, . . .;
6 ’	7’8’	9...... 5 + п ’
§ 133. Манатонныя і абмежаваныя паслядоўкасці
У папярэднім параграфе мы пераканаліся, што не ўсякая лікавая паслядоўнасць мае прэдзел. Цяпер узнікае пытанне: як жа вырашыць, ці з’яўляецца тая або іншая паслядоўнасць сыходнай? Поўнае рашэнне гэтай задачы выходзіць далёка за межы школьнай праграмы. Аднак з адным даволі шырокім класам сыходных лікавых паслядоўнасцей мы пазнаёмімся ў гэтым параграфе. Справядлівы наступныя тэарэмы, якія мы даём без доказу.
Тэарэма 1. Усякая манатонна ўзрастаючая (неўбываючая) і абмежаваная зверху лікавая паслядоўнасць сыходзіцца.
Тэарэма 2. Усякая манатонна ўбываючая (неўзрастаючая) і абмежаваная знізу лікавая паслядоўнасць сыходзіцца.
Растлумачым гэтыя тэарэмы на двух прыватных прыкладах.
П р ы к л а д 1. Паслядоўнасць
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...
састаўлена з дзесятковых набліжэнняў ліку ]/2 з недахопам. Гэта паслядоўнасць з’яўляецца манатонна ўзрастаючай (дакладней, манатонна неўбываючай), паколькі кожны яе член, пачынаючы з другога, атрымліваецца з папярэдняга шляхам прыпісвання адпаведнага дзесятковага знака. Разам з тым гэта паслядоўнасць абмежавана зверху, паколькі любы яе член менш двух. Значыць, па тэарэме 1 дадзеная паслядоўнасць мае прэдзел. (Гэтым прэдзелам з’яўляецца лік /2.)
П р ы к л а д 2. Паслядоўнасць
Р^ Pa, Рів> • • •
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., упісаных у некаторую акружнасць, з’яўляецца манатонна ўзрастаючай
11 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
321
(гл. § 128) і абмежаванай зверху (гл. § 129). Значыць, па тэарэме 1 існуе прэдзел гэтай паслядоўнасці. (Да гэтага прэдзелу мы яшчэ вернемся ў наступных параграфах.)
Да аналагічнага рэзультату можна прыйсці, разглядаючы паслядоўнасць
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., апісаных каля некаторай акружнасці. Для гэтага прыйдзецца выкарыстаць тэарэму 2.
У заключэнне адзначым, што часам дадзеныя дзве тэарэмы аб’ядноўваюць у адну:
Любая манатонная і абмежаваная лікавая паслядоўнасць мае прэдзел.
Практыкаванні
952.	Даказаць, што паслядоўнасць
9 3	4	л + 1
’4’3............ п	’ "
манатонна ўбывае і абмежавана знізу. Паказаць, што прэдзелам гэтай паслядоўнасці з’яўляецца лік 1.
953.	Даказаць, што паслядоўнасць
S4, S8i 516> S32> • ■ •
плошчаў правільных 4х, 8мі, 16ці, 32вугольнікаў і г. д., упісаных у адну і тую ж акружнасць, з’яўляецца манатонна ўзрастаючай і абмежаванай.
§ 134. Лік е
Разгледзім бесканечную лікавую паслядоўнасць
/	1 \ /	1 \2 /	1 \8
\1 + ~/ ( 1 + "5*Н 1 + т) ""	(1)
з агульным членам
Пакажам, што гэта паслядоўнасць з’яўляецца манатонна ўзрастаючай і абмежаванай.
1)	Прыменім тэарэму аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным да л + 1 ліку:
атрымаем
322
або
n+j п + 1
Узводзячы абвдзве часткі няроўнасці ў (л + 1)ю ступень, +і /	1 \"
>(1+т)' або ая+і > ап
атрымліваем
Тым самым даказана, што разглядаемая паслядоўнасць з'яўляецца манатонна
ўзрастаючай.
2)	Цяпер дакажам, што наша паслядоўнасць з’яўляецца гэтага разгледзім яшчэ адну паслядоўнасць:
абмежаванай. Для
(2)
s агульным членам	(
Дналагічна таму, як мы даказалі манатоннасць паслядоўнасні (1), можа быць даказана і манатоннасць паслядоўнасці (2):
Далей,
Ь/і+1 > ^Л’
1
Таму для ўсіх п > 1
Паколькі паслядоўнасць (2) манатонна ўзрастае, усе яе члены, пачынаючы з трэцяга, больш другога члена, Таму для ўсіх п > 3
Значыць, для ўсіх л > 3
Гэта няроўнасць правільная і для n = 1, 1 для п = 2, так што для ўсіх ральных п
°< 1+т) <4'
нату
Тым самым даказана абмежаванасць паслядоўнасці (1).
Цяпер на падставе тэарэмы аб прэдзеле манатоннай 1 абмежаванай паслядоўнасці можна зрабіць вывад, што прэдзел паслядоўнасці (1) існуе. Гэты прэдзел прынята абазначаць літарай е:
/	1 \л
lim 11 41 = в.	(3)
Люо \	л /
Падлічана, што « = 2,7182818284 ... .
Часам для запамінання таго ні іншага ліку лічбы гэтага ліку звязваюць з якойнебудзь знамянальнай датай. Лёгка, напрыкііад, запомніць першыя дзевяць
323
знакаў ліку е пасля коскі, калі звярнуць увагу на тое, што 1828 — гэта год нараджэння Льва Талстога.
Лік е з’яўляецца ірацыянальным. Больш таго, як паказаў французскі матэматык Эрміт (1822 — 1901), гэты лік не можа быць коранем ніякага алгебраічнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі, Такія ірацыянальныя лікі называюцца трансцэндэнтнымі (гл. раздзел II).
Прэдзел (3) з’яўляецца адным з тых выдатных прэдзелаў, якія ляжаць у аснове многіх матэматачных даследаванняў. Лік е адыгрывае асобую ролю ў матэматыцы. Аднак, калі б мы захацелі пераканацца ў гэтым, нам давялося б заняцца ўжо вышэйшай матэматыкай.
§ 135. Пераменныя велічыні і іх прэдзелы
Агульны член любой паслядоўнасці можна разглядаць як пераменную велічыню. Напрыклад, паслядоўнасць
мае агульны член ап = —, Пры розных значэннях п велічыня а„ прымае розныя лікавыя значэнні і таму з’яўляецца пераменнай велічынёй.
Такім чынам, з кожнай лікавай паслядоўнасцю можна звязаць некаторую пераменную велічыню. Адваротнае сцверджанне, наогул кажучы, няправільнае. Напрыклад, з пераменнай велічынёй /, якая ўяўляе сабой час, нельга звязаць ніякую лікавую паслядоўнасць. Члены лікавай паслядоўнасці змяняюцца скачкамі. Калі мы будзем абазначаць члены паслядоўнасці
——о——ч>— о пунктамі лікавай прамой, то ўсю
лікавую прамую пры гэтым мы
Рьіс' 21°	не запоўнім (рыс. 210). А вось
з часам справа абстаіць інакш, час цячэ бесперапынна. Таму ўсе моманты часу нельга занумараваць як члены некаторай лікавай паслядоўнасці.