Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
0 < <р < z.
Калі аргумент х неперарыўна ўзрастае ў інтэрвале (0, ), то функцыя у = ctg х будзе манатонна ўбываць ад + оо да —оо. Таму ў разглядаемым інтэрвале катангенсоіда (рыс. 193) абавязкова перасячэ прамую у = а і прытым толькі ў адным пункце. Абсцысу гэтага пункта прынята называць арккатангенсам ліку а і абазначаць arc ctg a.
Арккатангенс а ёсць вугал, што знаходзіцца ў інтэрвале ад 0 да п (або ад 0° да 180°), катангенс якога роўны а.
1) arc ctg 0 = ^, або arc ctg 0 = 90°.
Сапраўды, вугал у “ радыянаў пападае ў інтэрвал (0, к), і катангенс яго роўны 0.
2) arcctg I— I = —^, або arc ctg I— I = 120°.
\ / 3 / 3 \ k 3 /
Сапраўды, вугал y 120° пападае ў інтэрвал (0°, 180°), і катан1
генс яго роуны /3
Заўважым, што з роўнасці ctg(—45°) = — 1 нельга зрабіць вывад,’што arc ctg (—1) = — 45°. Вугал жа ў —45° не пападае ў інтэрвал (0°, 180°), і таму ён не можа быць арккатангенсам ліку — 1. Відавочна, што arc ctg (— 1) = 135°.
292
Практыкаванні
Вылічыць (№ 823—826):
823. arc tg 0 + arc tg 1— + arctg ]/ 3 + arc tg 1.
824. arc ctg 0 + arc ctg L + arc ctg ]/ 3 + arc ctg 1.
825. arc ctg 0 + arc ctg(— 1)—arc ctg
1
826. arc tg (— 1) + arc tg (— / 3) — arc tg
1
— arctgO.
827. Якія значэнні могуць прымаць велічыні b = arc tg a?
828. Якія значэнні могуць прымаць велічыні b = arc ctg a?
829. У якіх чвэрцях заканчваюцца вуглы:
a i b, калі
a i b, калі
a) arctg5;
r) arc ctg (—2);
6) arctg(—7);
b) arc ctg 3;
д) у — arc ctg (—4); е) yHarctg у?
830. Ці могуць выразы arctga i arcctga прымаць значэнні:
a) аднаго знака;
б) розных знакаў?
831. Знайсці сінусы, косінусы, тангенсы і катангенсы наступпых вуглоў:
a) arctg ^;
б) arc tg (—0,75);
в) arc ctg I—^ r) arc ctg 0,75.
Даказаць тоеснасці (№ 832, 833):
832. arc tg (— x) = — arc tg x.
833. arc ctg (—x) = it— arc ctg x.
Вылічыць:
834. arc ctg (ctg 2).
835. arctg(tg3).
293
§ 122. Ураўненні tgx = a i ctg x — a
Усе корані ўраўнення
tgx = a
задаюцца формулай
x = arctga + mn, (1)
або
х = arc tg a + 180°m, (2)
дзе m прабягае ўсе цэлыя л кі (tn = 0, +1, +2, +3, ...). Прапануем вучням даказаць гэта самастойна. Пры гэтым трэба скарыстаць рысунак 194.
Аналагічна, усе корані ўраўнення ctg х = a вызначаюцца суадносінай
х = arc ctg a + tn ^, або
х = arc ctg a + 180°m.
Гэта добра ілюструецца рысункам 195.
(3)
(4)
Рыс. 195.
294
Разгледзім два прыклады.
1) Рашыць ураўненне tg(30° — х) =/3.
Скарыстоўваючы формулу (2), атрымліваем
30° — х = arc tg /3 + 180° т = 601 + 1801 т. Адсюль
х = — 30° — 180° т, што можна запісаць, вядома, і ў такім выглядзе:
х = — 30° + 180° k.
2) Рашыць ураўненне ctg ^2х—^ = — 1. Скарыстаўшы формулу (3), атрымліваем
3
2х —^ = arc ctg (— 1) 4 т я = — к 4 tn п. Адсюль
2х = к 4 тя = (1 4 т) к,
* = Т(т + ^
Паколькі т можа быць любым цэлым лікам, то атрыманы рэзультат можна запісаць і ў больш простай форме;
х =
2 *•
Практыказанні
Рашыць ураўненні:
833. tg Зх = 0.
841.
ctg (Зх — 45°) =
1
/3
837. tg(2x460’) = —1.
838. tg ( — 5х) =/1.
839. tgirx = 1.
840. ctg (30° 4 2х) = —L(
842. ctg к х = 0. рС
843. ctg ^—х
844. tgx 4ctgx = 0,5.
845. tgx 4 ctgx ^ 2.
295
§ 123. Больш складаныя трыганаметрычныя ўраўненні
Ураўненні
sin х = a,
cos х = a, tg x = a, ctg X = G з'яўляюцца найпрасцейшымі трыганаметрычнымі ўраўненнямі. У гэтым параграфе на канкрэтных прыкладах мы разгледзім больш складаныя трыганаметрычныя ўраўненні. 1х рашэнне, як правіла, зводзіцца да рашэння найпрасцейшых трыганаметрычных ураўненняў.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне
sin 2х = cosx • sin 2х.
Пераносячы ўсе члены гэтага ўраўнення ў левую частку і раскладаючы атрыманы выраз на множнікі, атрымліваем sin2x(l —cosx) = 0.
Здабытак двух выразаў тады і толькі тады роўны нулю, калі хоць бы адзін з сумножнікаў роўны нулю, а другі прымае любыя лікавыя значэнні, толькі б ён быў вызначаны. Калі sin 2х = 0, то 2х = п, х — ^ п. Калі ж 1 — cos х = 0, to cos х = 1; х = 2k п.
Такім чынам, мы атрымалі дзве групы кораняў: х = — /г; х = 2k к. Другая група кораняў, відавочна, змяшчаецца ў першай, паколькі пры п. = 4k выраз х —^ п ператвараецца ў х = 2kn. Таму адказ можна запісаць адной формулай:
дзе п— любы цэлы лік.
Заўважым, што дадзенае ўраўненне нельга было рашаць шляхам скарачэння на sin 2х. Сапраўды, пасля скарачэння мы атрымалі б 1—cosx = J, адкуль х = 2йк. Такім чынам, мы страцілі б к 3 некаторыя корані, напрыклад ^, п, ~n.
Прыклад 2. Рашыць ураўненне
sin 2х sinx
296
Дроб роўны нулю толькі ў тым выпадку, калі яго лічнік роўны нулю. Таму sin2x = 0, адкуль 2х = пк, х = ~ п. 3 гэтых значэнняў х трэба выкінуць, як пабочныя, тыя значэнні, пры якіх sinx ператвараецца ў нуль (дробы з нулявымі назоўнікамі не маюць сэнсу: дзяленне на нуль не вызначана). Такімі значэннямі з’яўляюцца лікі, кратныя к. У формуле х = ^ п яны атрымліваюцца пры цотных п. Значыць, коранямі дадзенага ўраўнення будуць лікі
х=^(2/г+ 1), дзе k — любы цэлы лік.
Прыклад 3. Рашыць ураўненне
2 sin2x + 7 cos х — 5 = 0.
Выразім sin2x праз cosx:
sin2 х = 1 — cos2x.
Тады дадзенае ўраўненне можна перапісаць у выглядзе 2(1 — cos2x) + 7 cos х — 5 = 0, або
2 cos2x — 7 cos х + 3 = 0.
Абазначаючы cosx праз у, мы прыходзім да квадратнага ўраўнення 2у27у + 3 = 0,
коранямі якога з’яўляюцца лікі = і 3. Значыць, або cosx = 4,
або cosx = 3. Аднак апошняе немагчыма, таму што косінус любога вугла па абсалютнай велічыні не перавышае 1. Застаецца прызнаць, што cosx = 2, адкуль х = + 60° + 360°п.
Прыклад 4. Рашыць ураўненне
2 sin х + 3 cos х = 6.
Паколькі sinx і cosx па абсалютнай велічыні не перавышаюць 1, то выраз 2 sin хj3 cos х не можа прымаць значэнняў, большых чым 5. Таму дадзенае ўраўненне не мае кораняў.
Прыклад 5. Рашыць ураўненне
sin X + COS X = 1.
Узвёўшы абедзве часткі дадзенага ўраўнення ў квадрат, мы атрымаем sin2x + 2sinxcosx + cos2x = 1, але sin2x + cos2x = 1, таму
297
2sinxcosx = 0. Kani sinx = O, to x =« k; калі ж cosx = 0, to x= ^ + ^к. Гэтыя дзве групы рашэнняў можна запісаць адной формулай: х = ^ м.
Паколькі абедзве часткі дадзенага ўраўнення мы ўзводзілі ў квадрат, то не выключана магчымасць, што сярод атрыманых намі кораняў ёсць пабочныя. Вось чаму ў гэтым прыкладзе, у адрозненне ад усіх папярэдніх, неабходна зрабіць праверку. Усе значэнні х=у « мжла разбіць на 4 групы (гл. рыг. 196):
1) х = 2ft z (п — 4ft);
2) х = у+ 2Н (/і = 4ft 4 1);
3) х = к 4 2ft л (л = 4ft 4~ 2);
4) х = | к 4 2ft л:
Рыс. 196
(п = 4ft 4 3).
Пры х = 2k к sinx 4 cosx = 0 4 1 = 1. Значыць, х = 2k г. — корані дадзенага ўраўнення. Пры х = ^ + 2k п sinx 4
4 cosx = 140= 1. Значыць, х = у 44~ 2ft я — таксама корані дадзенага ўраўнення. Пры х = г 4 2ft sin х 4 cos х = = 0 — 1 = — 1. Таму значэнні х = т 44 2ft не з’яўляюцца коранямі дадзенага ўраўнення. Аналагічна паказваецца,
што х = у ч 4 2ft я
не з’яўляюцца коранямі.
Такім чыяам, дадзенае ўраўненне мае наступныя корані:
х = 2ft к і х = у 4 2,?і іг, дзе ft і т — любыя цэлыя лікі.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні:
846. cos х = sin 2х ■ cos х.
847. tg х 4 sin х • tg х = 0.
848. cos x • cosec2x = 0.
298
849.
sin X
1 — COS X
851. .= 0.
tgx
852. cos x • tg x = 0.
853. tg2x +2tgx —3 = 0.
854. 2 cos2x 4 5 cos x — 3 = 0.
855. 2 cos2x = 3 sin x.
856. cos2x— 1 = cos (90° — x).
857. 2 sin2x = 2 4 5 cos x.
858. /1 tg2 (x 4 40°) = ctg (50° — x).
859. sin x 4 cosx = 3.
860. 2sinx — 3cosx = 6.
861. sin x 4 cos 2x = 2.
862. sin x cos 2x = — 1.
863. cos 2x — 2 sin2x = — 3.
864. sinx — cosx= 1.
865. sin x = cos x.
§ 124. Аднародныя ўраўненні
Прыкладамі аднародных трыганаметрычных ураўненняў могуць быць ураўненні
sin X — COS X = 0, sin2x — 5 sin х • cos х 4 6 cos2x = 0, cos2x — sin X • COS X = 0.
Гэта такія ўраўненні, yce члены якіх маюць адну і тую ж агульную ступень адносна sinx і cosx. Напрыклад, усе члены першага ўраўнення маюць агульную ступень 1, а ўсе члены другіх двух ураўненняў — агульную ступень 2.
Рэшым ураўненне sin х — соз х = 0. Для гзтага заўважым, што ў дадзеным выпадку cosx не можа быць роўны 0. Калі б было cosx = 0, то павінна было б быць і sinx = 0, Але тады не выконвалася б тоеснасць sin2x 4cos2x = 1. Такім чынам, у дадзеным выпадку созх^О. Але тады абедзве часткі гэтага ўраўнення можна падзяліць на cosx. У рэзультаце атрымаем tgx— 1 =0, адкуль tgx= 1, Х=у+/!1Г.
290
Аналагічна рашаецца і ўраўненне
sin2x — 5 sin х cos х + 6 cos2 x = 0.
Падзяліўшы абедзве часткі гэтага ўраўнення на cos2x, атрымаем tg2x —5tgx +6 = 0; (tgx)1 = 2; (tgx)2 = 3.
Таму
x = arc tg 2 + n те; x = arc tg 3 + A «.
Цяпер рэшым ураўненне
cos2x — sin x • cos x = 0.
Тут ужо роўнасць cosx = 0 магчыма, таму дзяліць абедзве часткі ўраўнення на cos2x нельга. Затое можна сцвярджаць, што sinx ^= 0. У адваротным выпадку з ураўнення вынікала б, што cosx = 0. Але тады не выконвалася б тоеснасць sin2x + cos2x = 1. Такім чынам, sinx^O. Таму абедзве часткі дадзенага ўраўнення можна падзяліць на sin2x. У рэзультаце атрымаем ctg2x — ctgx = 0, адкуль (ctgx)1 = O, (ctgx)2=l. Адпаведна гэтаму атрымліваюцца дзве групы кораняў:
X = g 4 П « 1 Х = — +
Некаторыя трыганаметрычныя ўраўненні, не з’яўляючыся аднароднымі, лёгка зводзяцца да аднародных.
Напрыклад, калі ва ўраўненні
sin х • cos х = 0,5
запісаць 0,5 у выглядзе 0.5 (sin2x + cos2x), то атрымаецца аднароднае ўраўненне sin х cos х = 0,5 sin2x + 0,5 cos2x.
Гэта ўраўненне прапануем вучням рашыць самастойна.
Практыкаванні
Рашыць ураўненні:
866. 3 sin х — |/ 3 cos х = 0.
867. 2 cos х — У 2 sin х = 0.
868. 3sinx + 5cosx = 0.
869. sin5x(l + f 3) sinxcosx + V 3cos2x = 0.
870. sin2x — 4 sin x cos x + 3 cos2x = 0.
871. У 3 sin2x — 4 sin x cos x + V 3 cos?x = 0.
872. 2sinx — cosxsinx = 0.
873. У 3 cos x + cos x sin x = 0.
200
874. sin x cos % = —=^cos2x.
V 3
875. cos2x — 3 sin x cos x + 1 =0.
5___i/~3
876. sin2x + 3 cos2x — 2 sin x cos x = •
877. sinxcosx = —0,25.
878. sin x + cos x = ]/2 .
§ 125. Графічны спосаб рашэння трыганаметрычных ураўнеяняў
Ураўненні, з якімі даводзіцца сустракацца пры рашэнні практычных задач, як правіла, значна адрозніваюцца ад тых, якія мы разглядалі ў гэтым раздзеле. Для такіх ураўненняў часам наогул нельга назваць ніякага спосабу, які дазволіў бы знайсці корані абсалютна дакладна. У такім выпадку даводзіцца абмяжоўвацца знаходжаннем толькі набліжаных значэнняў кораняў. Сучасная матэматыка мае даволі многа эфектыўных метадаў набліжанага рашэння ўраўненняў. Гэтыя метады выкладаюцца ў падручніках па вылічальнай матэматыцы і патрабуюць пэўных ведаў, якіх у нас пакуль яшчэ няма. Таму мы спынімся толькі на адным з даступных нам спосабаў — графічным спосабе.
КНІГІ ОНЛАЙН
