Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
X 0 п т 71 т 7t тс
sin X 0 1 2 2 1 I 2 1
Адзначаючы адпаведныя пункіы на плоскасці каардынат і злучаючы іх плаўнай лініяй, мы атрымліваем крывую, дадзеную на рысунку 169. Для пабудавання яе можна было б выбраць і большую колькасць пунктаў. Пры гэтым нам давялося б выка
рыстоўваць трыганаметрычныя табліцы.
Атрыманую крывую можна было б на, не складаючы табліцы зпачэнняў функцыі y=sinx. Першую чвэрць акружнасці радыуса 1 (рыс. 170) падзелім на 8 роўных частак і праз пункты дзялення правядзём прамыя, паралельныя восі х. Ардынаты пунктаў дзялення акружнасці ўяўляюць сабой сінусы адпаведных вуглоў. Першая чвэрць акружнасці адпавядае вуглам ад 0 да —. Таму 6
пабудаваць і геамегрыч
Рыс. 169
263
на восі х возьмем адрэзак 0, g
і падзелім яго на 8 роўных
частак. 3 пунктаў дзялення ўзвядзём перпендыкуляры да перасячэння з раней праведзенымі гарызантальнымі прамымі, Пункты перасячэння злучым плаўнай лініяй.
Цяпер звернемся да інтэрвалу | <х<л. Кожнае значэнне аргумента х з гэтага інтэрвалу можна запісаць у выглядзе
х = т+Ф,
дзе 0
7Г
з пры
чыны таго, што |sinx| <1,
Практыкаванні
744. Па графіку функцыі y = sinx вызначыць: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (— 3).
745. Па графіку функцыі і/ = sin х
вызначыць, які лік з інтэр
валу
Т’ “2
мае сінус, роўны:
а) 0,6; б) —0,8.
746. Па графіку функцыі і/ —sinx вызначыць, які лік мае сі
нус. роўны
2 ’
747. Знайсці набліжана (без выкарыстання табліц);
a) sin 1°; в) sin(—0,015);
б) sin 0,03; r) sin(—2°30').
267
§ 114. Графік функцыі .у = cos л;
Як мы ведаем,
COS X = sin I х+ у
Таму калі cosx прымае некаторае значэнне а пры х=х0, то пры ^=^о+~ гэта ж значэнне a прыме і smx, Калі аргумент х тлумачыць як час, то можна сказаць, што значэнне функцыі y=sin х нібы «спазняецца», або «адстае» ад адпаведных значэнняў функцыі y=cosx на у; Адсюль можна зрабіць вывад, што графік функцыі y—cosx атрымліваецца пры дапамозе зрушэння графіка функцыі y = sinx уздоўж восі абсцыс улева на адлегласць — (рыс. 176).
Такім чынам, графікам функцыі y=cosx з’яўляецца сінусоіда, зрушаная ўлева на 7. Часам такую крывую называюць касінусоідай.
Касінусоіда добра ілюструе ўсе асноўныя ўласцівасці функцыі y—cosx, якія раней былі намі даказаны. Прапануем вучням яшчэ раз сфармуляваць гэтыя ўласцівасці і даць ім графічную інтэрпрэтацыю.
Практыкаванні
748. Па графіку функцыі y=cosx вызначыць:
а) cos 3; б) cos 4; в) cos(—2).
749. Па графіку функцыі y—cosx вызначыць, які лік з інтэрвалу [0, л] мае косінус, роўны:
а) 0,6; б) 0,8.
268
750. Па графіку функцыі y=cosx вызначыць, якія лікі ма1 .
юць косінус, роўны —.
751, Пры малых (па абсалютнай велічыні) значэннях х касінусоіда y—cosx мае такі ж выгляд, як і парабала у=1—ў~ (пакажыце гэта!). Таму для малых значэнняў х
cos 1•
Выкарыстоўваючы гэту формулу, вылічыце набліжана:
a) cos 1°; в) cos(—0,015);
б) cos 0,03; r) cos(—2°30/).
Атрыманыя рэзультаты параўнайце з таблічнымі.
§ 115. Графікі функцый y = tgx і у = ctgx
Схематычна паводзіны функцыі y=tgx былі паказаны на рысунку 163 (гл. стар. 243). Цяпер мы начэрцім дакладны графік гэтай функцыі. Для гэтага выкарыстаем геаметрычнае пабудаванне, аналагічнае таму, якое было апісана ў § 113 для пабудавання сінусоіды (гл. рыс. 170). Мы не будзем падрабязна спыняцца на гэтым пабудаванні, а абмяжуемся толькі тым, што дадзім адпаведны рысунак (рыс. 177). Вучні без асаблівай цяжкасці змогуць разабрацца ў ім самастойна.
Цяпер, выкарыстоўваючы графік функцыі y=tgx у інтэрвале 0<х<у, можна пабудаваць графік гэтай функцыі 1 ў інтэрвале —у <х<0. Для гэтага выкарыстаем тоеснасць tg (— ?) = — tg ?•
269
функцыі y=igx, якія раней
Яна гаворыць аб тым, што графік функцыі y=tgx сіметрычны адносна пачатку каардынат. Адсюль адразу ж атрымліваецца тая частка графіка, якая адпавядае значэнням —^< t < 0 (рыс. 178).
Функцыя у—tgx перыядычная з перыядам л. Таму цяпер для пабудавання яе графіка нам застаецца толькі прадоўжыць перыядычна крывую, дадзеную на рысунку 178, улева і ўправа з перыядам л. У выніку атрымліваецца крывая, якая называецца тангенсоідай (рыс, 179).
Тангенсоіда добра ілюструе ўсе тыя асноўныя ўласцівасці былі даказаны намі. Напомнім гэ
тыя ўласцівасці.
1) Функцыя y=tgx вызначана для ўсіх значэнняў х, акрамя
л
х= — фя л, дзе п — любы цэлы лік. Такім чынам, вобласцю яе
вызначэння з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў, акрамя Х = — л.
Рыс. 179.
2) Функцыя y = {gx не абмежавана. Яна можа прымаць як любыя дадатныя, так і любыя адмоўныя значэнні. Значыць, вобласцю яе змянення з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў. Сярод гэтых лікаў нельга знайсці ні найбольшы, ні найменшы.
270
3) Функцыя y=tgx няцотная (тангенсоіда сіметрычная ад« носна пачатку каардынат).
4) Функцыя y = tgx перыядычная з перыядам л.
5) У інтэрвалах
П К < X < ^ ± птг
функцыя y=igx дадатная, а ў інтэрвалах — ^+пл<х<пл
адмоўная. Пры х=пл функцыя y — Xgx ператвараецца ў нуль. Таму гэтыя значэнні аргумента (0; ±л; ±2л; ±3л; ...) называюцца нулямі функцыі y=tgx.
6) У інтэрвалах
2 + < х< Y П^
функцыя манатонна ўзрастае. Можна сказаць, што ў любым інтэрвале, у якім функцыя y = tgx вызначана, яна з’яўляейна манатонна ўзрастаючай. Аднак памылкова было б лічыць, што функцыя y=tgx манатонна ўзрастае ўсюды. Так, напрыклад (гл. рыс. 179), j + y > J Аднак 1g ( у + у ) < 1g у ГіТа тлумачыцца тым, што ў інтэрвал, які злучае пункты х = —
і х = у + у, пападае значэнне х = ~, пры у = tg х не вызначана.
якім функцыя
Для пабудавання графіка функцыі у —ctgx трэба выкары
стаць тоеснасць
ctgx = — tg(x+ ^
Яна ўказвае на наступны парадак пабудавання графіка:
1) тангенсоіду y = tgx трэба зрушыць улева па восі абсцыс
на адлегласць ^j
2) атрыманую крывую адлюстраваць сіметрычна адносна восі абсцыс.
У выніку такога пабудавання атрымліваецца крывая, дадзеная на рысунку 180, Гэту крывую часам называюць катангенсоідай.
271
Катангенсоіда добра ілюструе ўсе асноўныя ўласцівасці функцыі i/=ctgx, Прапануем вучням сфармуляваць гэтыя ўласцівасці і даць ім графічную інтэрпрэтацыю.
Рыс 180.
Практыкаванні
^7521 Выкарыстоўваючы графікі функцый z/ —tgx і y=ctgx, знайсці найменшыя дадатныя корані ўраўненняў:
a) tgx=—3;
б) tgx=2;
в) ctgx=—3;
г) ctgx=2.
^53J Выкарыстоўваючы графікі функцый y=Agx знансПі ўсе корані ўраўненняў:
y = ctgx,
a) tgx = / 3;
6,ctgx = FT
§ 116. Доказ трыганаметрычных тоеснасцей
Пры доказе любых тоеснасцей, і ў прыватнасці трыганаметрычных, звычайна выкарыстоўваюць наступныя спосабы:
1) выраз, які стаіць у адной частцы роўнасці, з дапамогай тоесных пераўтварэнняў прыводзяць да выразу, што стаіць у другой частцы роўнасці;
2) выразы, якія стаяць у левай і правай частках тоеснасці, з дапамогай тоесных пераўтварэнняў прыводзяць да аднаго і таго ж выгляду;
3) даказваюць, што рознасць паміж левай і правай часткамі дадзенай тоеснасці роўна нулю.
Растлумачым гэта на некаторых прыватных прыкладах.
П р ы к л а д 1. Даказаць тоеснасць
sin 'а — cos4a = sin2a — cos2a.
272
Выкарыстоўваючы формулу для рознасці квадратаў двух лікаў, атрымліваем
КНІГІ ОНЛАЙН
