Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Прынята гаварыць, што пры павелічэнні вугла ад — 90 да + 90° тангенс яго ўзрастае ад — co да + co.
242
Схематычна паводзіны функцыі tgф у інтэрвале 90°<ф<90° паказваюцца суцэльнай лініяй на рысунку 163. Пункцірныя лініі на тым жа рысунку даюць уяўленне аб змяненні функцыі tgф у іншых інтэрвалах змянення аргумента ср. Такая карціна тлумачыцца перыядычнасцю тангенса (гл. § 102).
Неабходна асоба адзначыць наступнае. Калі вугал <р набліжаецца да 90°, застаючыся пры гэтым менш 90°, to tg <р неабмежавана ўзрастае. Калі ж вугал ф набліжаецца да 90°,
Рыс. 163.
застаючыся пры гэтым больш 90° (гл. рыс. 163), to tg ф неабмежавана ў б ы в а е. Аналагічна можна сфармуляваць і закон змянення функцыі tg ф, калі ф> —90°.
Рыс. 164.
Вуглам, якія заканчваюцца ў 1й і 3й чвэрцях, адпавядаюць пункты на восі тангенсаў з дадатнымі ардынатамі (рыс. 162). Таму тангенсы гэтых вуглоў дадатныя. Вуглам, якія заканчваюцца ў 2й і 4й чвэрцях, адпавядаюць пункты на восі тангенсаў з адмоўнымі ардынатамі (рыс. 162). Таму тангенсы гэтых вуглоў адмоўныя.
Такім чынам, мы разгледзелі функцыю y = ^g? Аналагічна можна было б даследаваць і функцыю ctg 0°)
ф 180° (? < 180°)
3 двух вуглоў, якія заключаны ў інтэрвале (О’, 180°), большаму адпавядае меншы катангенс.
Прынята гаварыць, што пры павелічэнні вугла ад 0° да 180^ катангенс яго памяншаецца ad + co da — co.
Схематычна паводзіны функцыі ctg ф паказаны на рысунку 165.
Катангетеы вуглоў, якія заканчваюцца ў 1й і 3й чвэрцях, дадатныя; катангенсы вуглоў, якія заканчваюцца ў 2й і 4й’ чвэрцях, адмоўныя.
243
Практыкаванні
685. Вызначыць знакі наступных выразаў:
1) tg 153°; 4) ctg(—402°)tg 1°;
2) ctg270°; 5) tg 73°;
3) tg301°; 6) ctg(910°);
7) tg(1230°);
8) tg 140°ctg 240°;
9) tg546°—1.
686. Які лік большы:
1) tg92° або tg91°;
2) tg61° або tg 60°;
3) tg 353° або tg 359°;
4) ctg 290° або ctg 310°;
5) ctg 102° або ctg 150°;
6) ctg(313°) або ctg 790°;
7) ctg(20°) або ctg(10°'
8) tg 407° або ctg 497°?
687. У якіх чвэрцях можа заканчвацца вугал ф, калі:
a) |tgф| = tgф; в) tg2ф>0;
б) |ctg(—ф)| =—ctgф; г) ctg2ф<0?
688. У якіх чвэрцях маюць аднолькавыя знакі:
a) sin ф і tg ф;
б) cos ф і ctg ф;
в) cos ф і tg ф;
г) tgф і ctgф?
689. Якія пары трыганаметрычных функцый маюць аднолькавыя знакі ва ўсіх чвэрцях?
690. Дадзеныя выразы размясціць у парадку ўзрастання;
a) tg(55°); tg 600°; tg 1295°;
б) ctg 295°; ctg(67°); ctg 654°.
691. Якія трыганаметрычныя функцыі ўнутранага вугла трохвугольніка могуць прымаць адмоўныя значэнні і калі іменна?
244
692. Ці могуць быць адмоўнымі значэнні трыганаметрычных функцый:
а) палавіны ўнутранага вугла трохвугольніка,
б) паўсумы двух унутраных вуглоў трохвугольніка,
в) паўрознасці двух унутраных вуглоў трохвугольніка?
§ 105. Табліцы зпачэнняў трыганаметрычных функцый
У § 98, выкарыстоўваючы вядомыя з геаметрыі ўласцівасці прамавугольных трохвугольнікаў, мы паказалі, як можна знай< сці значэнні трыганаметрычных функцый некаторых вуглоў, напрыклад 30°, 45°, 60° і г. д. Акрамя таго, мы паказалі, як знаходзяцца значэнні трыганаметрычных функцый вуглоў, канечныя стораны якіх ляжаць на якойнебудзь восі каардынат (90°, 180°, 270° і г. д. Але да гэтага часу застаецца незразумелым, як адшукваюцца значэнні трыганаметрычных функцый адвольных вуглоў, такіх, напрыклад, як 12°, 91°, 1239° і г. д.
Матэматыка ўжо даўно мае вельмі эфектыўныя метады вызначэння значэнняў трыганаметрычных функцый любога вугла. Аднак разгляд гэтых метадаў выходзіць далёка за межы школьнай праграмы. Таму мы можам толькі адзначыць, што ў цяперашні час існуюць табліцы набліжаных значэнняў трыганаметрычных функцый вуглоў з вельмі высокай ступенню дакладнасці. У некаторых з гэтых табліц памылкі не перавышаюць 10“7= = 0,0000001, Мы будзем карыстацца «Чатырохзначнымі матэматычнымі табліцамі» У. М. Брадзіса. У іх на старонках 52—54 дадзена табліца, па якой з дакладнасцю да 0,0001 можна вызначаць сінусы і косінусы вострых вуглоў з інтэрвалам у адну мінуту.
Уваходнымі данымі ў табліцу з’яўляюцца велічыні вуглоў: у радках адзначаны градусы, а ў слупках — мінуты. Кожны радок табліцы мае дзве паметкі — левую і правую. Напрыклад, лсршы радок на старонцы 53 памечаны злвва як 35°, а справа як 54°; апошні радок на той жа старонцы памечаны злева як 69°, а справа як 20°. Аналагічна кожны слупок мае дзве паметкі —' верхнюю і ніжнюю. Напрыклад, другі слупок на старонцы 53 зверху памечаны як б', а знізу як 54'; наступны слупок зверху памечаны як 12', а знізу як 48' і г. д.
Знаходжанне сінуса вугла. Няхай, напрыклад, трэба знайсці сінус вугла 37 . Адшукваем лік, які стаіць на перасячэнні радка з левай паметкай 37° і слупка з верхняй паметкай 0'. Гэта лік 0,6018 (для кароткасці ў табліцы дадзены толькі дробавыя часткі лікаў, паколькі цэлыя часткі ўсіх гэтых лікаў роўны нулю) Значыць, з дакладнасцю да 0,0001 sin 37°»0,6018. Калі б нам трэба было знайсці sin 37°24', то мы павінны былі б узяць лік у радку з левай паметкай 37° і слупку з верхняй паметкай 24'.
245
Гэта лік 0,6074. Значыць, з дакладнасцю да 0,0001 sin37°24'« «0,6074.
Дапусцім цяпер, што нам трэба знайсці sin 37°26'. Слупка з верхняй паметкай 26' у табліцы няма. У такім выпадку трэба скарыстаць папраўкі, змешчаныя ў правай частцы табліцы. Запішам 37°26', як 37°24'+2/. Цяпер да sin 37°24'« 0,6074 трэба дадаць папраўку на 2'. Гэту папраўку адшукваем у радку з левай паметкай 37° і слупку з паметкай 2'. Яна роўна 5. Таму
sin 37°26' = sin (37°24' + 2') « 0,6074
0,6079.
Такім чынам, з дакладнасцю да 0,0001 sin 37°26'« 0,6079.’
Калі б нам трэба было знайсці sin 37°29', то мы зрабілі б наступнае: 37°29'=37°30/—Г. У табліцы знаходзім sin 37°30'— —0,6088; папраўка на Г роўна 2. Таму
sin 37°29л = sin (37°30' — Г)« 0,6088 — 2
0,6086.
Значыць, з дакладнасцю да 0,0001 sin 37°29'« 0,6086.
3 гэтых прыкладаў няцяжка зразумець правіла ўліку папраўкі пры знаходжанні сінуса: калі дадзеньі вугал болыйы за той, які адзначаны ў табліцы, то папраўка пры знаходжанні сінуса дадаецца; калі ж дадзены вугал меншы за той, які адзначаны ў табліцы, то папраўка адымаецца.
Гэта правіла лёгка зразумець: чым большы востры вугал, тым большы яго сінус, і наадварот, чым меншы востры вугал, тым меншы яго сінус.
Знаходжанне косінуса вугла. Няхай, напрыклад, трэба знайсці косінус вугла 37°. Адшукваем лік, які стаіць на перасячэнні радка з правай паметкай 37° і слупка з ніжняй паметкай 0. Гэта лік 0,7986. Значыць, з дакладнасцю да 0,0001 cos 37°«0,7986. Калі б нам трэба было знайсці cos 37°24', то мы павінны былі б узяць лік у радку з правай паметкай 37° і слупку з ніжняй паметкай 24'. Гэта лік 0,7944. Значыць, cos 37°24'«0,7944.
Дапусцім цяпер, што нам трэба знайсці cos 37О26'. Тады мы знаходзім па табліцы cos 37°24/ —0,7944, а затым адымаем ад гэтага ліку папраўку на 2'. Гэту папраўку адшукваем у радку з правай паметкай 37° і слупку з паметкай 2'. Яна роўна 4. Таму cos 37°26' = cos (37°24' + 2') « 0,7944 — 0,0004 = 0,7940.
Такім чынам, з дакладнасцю да 0,0001 cos37°24' «0,7940. Калі б нам трэба было знайсці cos37°29', то мы зрабілі б наступнае:
246
37°29' = 37°30'—Г. У табліцы знаходзім cos 37’33' «0,7934; папраўка на Г роўна 2. Таму
cos 37°29' = cos (37°30' — Г) ^ 0,7934 + 0,0002 = 0,7936.
Значыць, з дакладнасцю да 0,0001 cos 37+9'« 0,7936.
3 гэтых прыкладаў няцяжка зразумець правіла ўліку папраўкі пры знаходжанні косінуса: калі дадзены вугал большы за той, які адзначаны ў табліцы, то папраўка пры знаходжанні косінуса адымаецца; калі ж дадзены вугал меншы за той, які адзначаны ў табліцы, то папраўка дадаецца.
У аснове гэтага правіла ляжыць наступная ўласцівасць косінуса: чым большы востры вугал, тым меншы яго косінус; чым меншы востры вугал, тым большы яго косінус.
Знаходжанне тангенса і катангенса вугла. Табліцы тангенсаў і катангенсаў змешчаны ў табліцах У. М. Брадзіса на старонках 55—58. Гэтыя табліцы складзены аналагічна табліцам сінусаў і косінусаў, і таму мы не будзем падрабязна іх апісваць. Адзначым толькі правіла ўліку паправак: калі дадзены вугал большы за той, які адзначаны ў табліцьі, то пры знаходжанні тангенса папраўка дадаецца, а пры знаходжанні катангенса — адымаецца. Наадварот, калі дадзены еугал меншы за той, які адзначаны ў табліцы, то прьі знаходжанні тангенса папраўка адымаецца, а пры знаходжанні катангенса — дадаецца.
Вучням прапануецца самастойна абгрунтаваць гэта правіла.
Прыклады. Знайсці tg37°29'. Па табліцы знаходзім tg 37°30'« 0,7673. Папраўка на Г роўна 5. Таму tg37°29' = =tg(37°30'l') «0,76730,0005=0,7668.
Знайсці ctg37°29'. Па табліцы знаходзім ctg 37°30'« 1,3032. У табліцы мы прачытаем проста 3032. І'эта дробазая частка тангенса. Цэлая частка дадзена ніжэй. Яна роўна 1 і пастаянная для катангенсаў усіх вуглоў ад 30° да 35°. Папраўка на Г роўна 8 Таму ctg37o29'=ctg(37o30/l,) «1,3032+0,0008=1,3040.
У заключэнне адзначым, што тангенсы вуглоў, блізкіх да 90° (ад 76° да 90°), і катангенсы вуглоў, блізкіх да 0° (ад 0° да 14°), знаходзяцца па табліцы (стар. 57, 58) без выкарыстання паправак.
Мы паказалі, як з дапамогай матэматычных табліц знаходзяцца значэнні трыганаметрычных функцый вострых вуглоў. А што рабіць, калі вугал, які цікавіць нас, не з’яўляецца восгрым (напрыклад, 91°, 127° і г. д.)? Гэта пытанне мы вырашым пазней. Пакуль толькі адзначым, што для знаходжання сінуса, косінуса, тангенса і катангенса любога вугла (у тым ліку і не вострага!) зусім дастаткова тых табліц, якія мы толькі што разгледзелі.
247
Практыкаванні
693. Для кожнага з наступных вуглоў знайсці сінус, косінус, тангенс і катангенс:
1) 20°48'; 2) 35°06'; 3) 61°12'; 4) 88°54';
5) 20W; 6) 35°05'; 7) 61°13'; 8) 88°51';
9) 44°03'; 10) 45°07'; 11) 87°11'; 12) 65°05'.
694. Самалёт, бачны з базы пошукавай групы пад вуглом 12°, радзіруе на базу, што ён знаходзіцца на вышыні 800 м над адшукваемым аб’ектам. Знайсці адлегласць ад базы да адшукваемага аб’екта.
695. Пры фатаграфаванні адваротнага боку Месяца аўтаматычная міжпланетная станцыя знаходзілася ад Месяца на адлегласці, прыкладна роўнай 65 000 км. Пад якім вуглом быў бачны ў гэты час Месяц? Радыус Месяца прыняць роўным 1740 км.
КНІГІ ОНЛАЙН
