КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

sin4a — cos4a = (sin2a + cos2a) (sin2a — cos2a).
Але sin2a + cos2a = 1. Таму
sin4a — cos4a = sin2a — cos2a,
што i трэба было даказаць. Прыклад 2. Даказаць тоеснасць . .	। т / tga
sin a = тг—т.
1	V tga + ctga
Гэту тоеснасць мы будзем даказваць шляхам пераўтварэння выразу, які стаіць у правай частцы.
1ы c n o c a 6.	Sin a	sin a
tga	cos a	cos a
tga + ctg a	sin a	cos a	sin2a + cos2a cos a	sin a	cos a • sin a sin a cos a	.
	:	j	= sura, sin a • cos a
Таму
:g a + ctg a
= ]/sin2a = |sina|.
21 c n o c а б. Перш за ўсё заўважым, што ctga+0; у адваротным выпадку не меў бы сэнсу выраз tga— —^—. Але калі ctg a+=0, то лічнік і назоўнік падкарэннага выразу можна памножыць на ctg a, не змяняючы значэння дробу. Значыць,
tga tga + ctga
tg a • ctg a tg a ■ ctg a + ctg2a
Выкарыстоўваючы тоеснасць
tg a • ctg a = 1 i 1 + ctg2a = cosec2a, атрымліваем
tga =	1	=	1	=
tg a + ctg a 1 + ctg2a cosec2a
273
Таму
I	Isin 3
y	tga+ctga 1
што i трэба было даказаць.
Заўвага. Патрэбна звярнуць увагу на тое, што левая частка даказанай тоеснасці (|sin a|) вызначана пры ўсіх значэн. нях а, а правая — толькі пры
Таму пры ўсіх дапушчальных значэннях a 1/ ;=
F tga + ctga
= |sina|. Наогул жа гэтыя выразы не эквівалентныя адзін другому.
Прыклад 3. Даказаць тоеснасць
(3	\	\
— п + a + cos (л — a) = cos (2^ + a) — 3 sin I —a I
Ператворым левую i правую часткі гэтай тоеснасці, выкарыстоўваючы формулы прывядзення:
/ 3	\
sin I — к + a I + cos (тг — a) = — cos a — cos a = — 2 cos a,
cos (2я + a) — 3 sin ^ |a j = C°S Я — $ C°S a = — $ cos a'
Такім чынам, выразы, якія стаяць у абедзвюх частках дадзенай тоеснасці, прыведзены да аднаго і таго ж выгляду. Тым самым тоеснасць даказана.
П р ы к л а д 4. Даказаць тоеснасць
sin4 a + cos4 a — 1 = — 2 sin2 a cos2 a.
Пакажам, што рознасць паміж левай і правай часткамі дадзенай тоеснасці роўна нулю. Маем:
(sin4 a + cos4 a — 1) — (— 2 sin2 a cos2 a) =
= (sin4 a + 2 sin2 a cos2 a + cos4 a) — 1 =
= (sin2 a + cos2 a)2 — 1 = 1 — 1=0.
Тым самым тоеснасць даказана.
Прыклад 5. Даказаць тоеснасць
1 — sin a _ cos a cos a — 1 + sin a '
Гэту тоеснасць можна разглядаць як прапорцыю. Але каб
. а с
даказаць справядлівасць прапорцыі ^=^, дастаткова пака
274
заць, што здабытак яе крайніх членаў ad роўны здабытку яе сярэдніх членаў Ьс. Так мы зробім і ў дадзеным выпадку. Пакажам, што
(1 — sin a) (1 4 sin a) = cos a • cos a.
Сапраўды,
(1 — sin a) (1 + sin a) = 1 — sin2a = cos2a.
Па гэтаму прыкладу можна было б зрабіць заўвагу, аналагічную заўвазе да прыкладу 2.
Практыкаванні
Даказаць тоеснасці (№ 754—763):
754.
sin a । 1 + cos a _ 2
1 4~ cos a sin a sin a '
755.
sin2a + 2 cos2a — 1
756.
ctg2a sin a 4 tg a , ТйЗГ = ‘е''
= sin2a.
757І
2 (sin'a 4 cosB«) 41=3 (sin4a 4 cos’a).
7S8. I I • '2 sin a ■ cos a = | sin a 4 cos a |.
759.) ctg2a — cos2a = ctg2a • cos2a.
760. | sin a | = } 7sec2a — 1) (1 — sin2a).
7614
2 cos2a — 1
cos a — sin a
4tga
Cnp
1 — 2 sin a cos a . /~ 1 — sin a
1 4 sin a 1 4 cos a	1 4* sin a 1 4~ cos a	
1 — cos a		| sin a |
,ь выразы	(№	764—769)
r		r
a
a
cos a 4 sin a 1 — tg2a | cos a |
765. /(1 + tga)2 4(1tga)2.
766.1
1 4 tga
767/
1 4 ctga '
1
1
1 4tg2a T 1+ctg^a'
275
768. ЛЖ. ctg a + ctg ft
1 + cos a + cos2 a
1 + sec a + sec2 a
770.	Знаксці значэнне выразу 3 sin a — 7 cos a
,	1
што tg a = —. o
o •	4 sin a — cos
771.	Знансш значэнне выразу —,
cos a — 4 sin a
што катангенс вугла a не вызначаны.
калі вядома,
калі вядома,
77О о .	.	5 sin a 4 6 cos a
772.	Знансці значэнні выразу !—;, калі вядома, што
cos a — sin a
ctg«=i
Даказаць тоеснасці (№ 773—779):
773.	ctg a	cosec a 4 1
	cosec a — 1	ctga
774.	sin a	1 — cos a
	1 + cos a	sin a
775.	tg a + ctg ft ctga + tgft	 tgactgft.
776.	tg| a + 2" 1	— 2 ctg la — — 1
111. sin I ct I — j + sin (a + z) + sin I a + y 11 +
+ sin (a + 2) = cos ^a + y j + cos (a J k) 4
/	3 \
+ cos I a + — it 1 + cos (a 4 2 k).
77&	1 + 2 sin a cos a _ tg a 4 1
sin2 a — cos2 a tg a — 1 '
779.
1 — 2 cos2 a sin a cos a
= tga —ctga.
276
§ 117. Лрксінус ліку a
Няхай пра вугал <р вядома толькі тое, што сінус яго роўны :
1 sin ? = у.
(1)
Ці зможам мы знайсці гэты вугал? 	1	it
Як вядома, sing = —. Таму магчыма, што Разам з тым з прычыны перыядычнасці сінуса it 1 'sin T = Т'
Таму не выключана таксама магчымасць, што ср = — 4 2к. Наогул, якім бы ні быў цэлы лік п, z 1 =	= 2"‘
sin + 2пк \ О
Значыць, шукаемым вуглом <р можа быць любы з вуглоў 0	0	о	о
і г. д. Такім чынам, па значэнню свайго сінуса вугал вызначаецца неадназначна.
Такой неадназначнасці, аднак, можна пазбегнуць, калі патрэбаваць, каб шукаемы вугал <р знаходзіўся ў пэўных межах. Напрыклад, пры дадатковай умове, што 0 <1, то роўнасць (2) наогул не вызначае ніякага вугла: пры любых жа значэннях <р
Далей будзем лічыць, што вугал змяняецца ў інтэрвале ад
даТ' Тады сінус яго неперарыўна ўзрастае ад —1 да +1 (рыс. 182). Якім бы ні быў лік а, што не перавышае па абсалют
най велічыні адзінкі, у інтэрвале
—т х ^ т
сінусоіда
У — sin х абавязкова перасячэцца з прамой у = а і прытым толькі ў адным пункце. Таму пры любым |о|^1 роўнасць (2) у інтэр
вале < <р у вызначае і прытым адзіны вугал <р. Гэты
вугал прынята называць арксінусам а і абазначаць arc sin a.
Арксінус а ёсць вугал,
які знаходзіцца ij інтэрвале ад
it
1
да + ^ (або ад — 90° да
90"), сінус якога роўны а.
П р ы к л а д ы.
1) arc sin — = —, або
arc sin ^ = 30°. Сапраўды, вугал
У
7Г
радыянаў пападае ў інтэрвал —
2) arc sin I	I = — — ,
Сапраўды, вугал у — 60° пападае яго роўны.
7Г 7Г
Т’ Т]’ 1
або arc sin ў інтэрвал
1 сінус яго роўны — . (^)=  60°[— 90°, 90°], і сінус
278
I
3) arc sin 1 = — або arc sin 1 =90°. Сапраўды, вугал y y pa
дыянаў пападае ў інтэрвал
Т’ “2
, і сінус яго роўны 1.
Аналагічна,
arc sin (— 1) = —у;
arc sin 0 = 0
і г. д.
Заўважым, што з роўнасці
sin л—0
нельга зрабіць вывад, што не пападае ў інтэрвал арксінусу ліку 0.
arc sin 0 = it.
к it
T’ T 1
Вугал жа ў « таму не можа
радыянаў раўняцца
Практыкаванні
780. Якія значэнні могуць прымаць велічыні а і Ь, калі ft —arc sin a?
781. Вылічыць:
a)
1	1^3
arc sin 0 + arc sin —= + arc sin1 arc sin 1;
2
6)
arc sin 0 + arc sin
1
— arc sin
V 3
2
+ arc sin (— 1);
b)
6 arc sin (— 1) — 12arcsin yH 5 arc sin
1
782^ a) Ці можна з роўнасці sin y = y— зрабіць вывад, што
arc sin —g— = ■4“?
б)	Ці можна з роўнасці sin 270°= — 1 зрабіць вывад, што arc sin(—1) =270°?
783.	(В у с н а.) У якіх чвэрцях заканчваюцца вуглы:
a)	arc sin 0,6;
б)	arc sin 0,9;
в) arcsin(—0,8);
г) arc sin(—0,1)?
279
^ Вылічыць:
a)	sinfarc sin 0,6);
6)	sin [arc sin (—0,8)];
b)	cos [arc sin (]/ 3 — X 2)];
. I . л \ r) cos I arc sin — I.
785.	Знайсці сінусы, косінусы, тангенсы і катангенсы вуглоў: a) arc sin 0,4; б) arc sin (—0,8),
786.	Даказаць тоеснасці:
a)	arc sin ^sin^ = ^;
6)	arc sin (sin 6) = 6 — 2;
b)	arc sin (— x) = — arc sin x.
§ 118. Ураўненне sinx = a
Кожны корань ураўнення
sinx=a	(1)
можна разглядаць як абсцысу некаторага пункта перасячэння сінусоіды z/ = sinx з прамой у—а, і, наадварот, абсцыса кожнага такога пункта перасячэння з’яўляецца адным з кораняў ураўнення (1).
Пры |а|>1 сінусоіда t/=sinx не перасякаецца з прамой у=а (рыс. 183). У гэтым выпадку ўраўненне (1) кораняў не мае.
Калі ж Іа|^1, то сінусоіда y = sinx і прамая у=а маюць
бясконца многа агульных пунктаў. У гэтым выпадку ўраўненне (1) мае бясконцае мноства кораняў.
Няхай 0<«<1. Тады ў інтэрвале О^х^л маем два пункты перасячэння: A і В (рыс. 184). Пункт А пападае ў інтэрвал ^х^	• Таму яго абсцыса роўна arc sin а. Што ж даты
280
чыцца пункта В, то яго абсцыса, як лёгка зразумець з рысун ка 184, роўна л—arc sin а. Усе астатнія пункты перасячэння сі нусоіды y=sinx з прамой у=а мы разаб’ём на дзве групы:
,.., Д2, /1і, /1і, /І2, • • • ;
.. „ В2, В\, B], в2,... .
Пункты першай групы аддалены ад /1 на адлегласці, кратныя 2л, і таму маюць абсцысы arc sin а[2п л, дзе п прабягае ўсе цэлыя
Рыс. 184.
лікі (п=0, ±1, ±2, ±3, .,.). Пункты другой групы аддалены ад В на адлегласці, кратныя 2л, і таму маюць абсцысы
л—arc sin a\2k л=—arc sin а+(2А|1)л,
дзе k прабягае ўсе цэлыя лікі (А=0, ±1, ±2, ±3}',..). Такім чынам, ураўненне (1) мае дзве групы кораняў;
x=arc sin а|2/г л	(2)
і х——arc sin а+(2Н1)л.	(3)
Лёгка зразумець, што абедзве гэтыя групы кораняў можна запісаць адной формулай х= (—l)m arc sin а+т л,	(4)
дзе т прабягае ўсе цэлыя лікі (т —0, ±1, ±2, ±3, .:.). Сапра^ ды, пры т цотным (т—2п) (4) ператвараецца ў (2), а пры няцотным (т = 2/г + 1)—у (3).
Такім чынам, пры 0<а<1 усе корані ўраўнення (1) задаюнца формулай (4).
Да такога ж рэзультату можна прыйсці і ў выпадку — 1<а<0, Мы не будзем падрабязна разбіраць гэты выпадак. Прапануем вучням зрабіць гэта самастойна, выкарыстаўшы рысунак 185.
Нам засталося разгледзець выпадкі, калі а = 0 і а = ±1.
281
Пры а=0 ураўненне
sin х—а
мае корані
х=піп,	(5)
дзе tn прабягае ўсе цэлыя лікі (т=0, ±1, ±2, ±3, ...). Такі ж рэзультат дае і формула (4) пры а = 0. Сапраўды, arc sin 0 = 0 і таму
( —l)m arc sin 0|т л = т л.
Значыць, формула (4) фармальна дае ўсе корані ўраўнення (1) і ў выпадку, калі а=0.
Рыс. 185,
Калі а=1, то коранямі ўраўнення sinx = a будуць лікі (гл. рыс. 186)
х = у + 2/г тс,	(6)
дзе k прабягае ўсе цэлыя лікі (й=0, ±1, ±2, ±3, ...). Формула (4) ахоплівае і гэты выпадак. Сапраўды, прымаючы ў ёй а=1 і ўлічваючы, што arc sin 1=^, атрымліваем
<Шеsinl + mtt — (— I)” у + m ir,