КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

Іншымі словамі, лікавая паслядоўнасць а}, а2, аэ, ... назыеаецца манатонна ўзрастаючай, калі для любога п
Прыкладам манатонна ўзрастаючай* лікавай паслядоўнасці з’яўляецца натуральны рад лікаў 1, 2, 3, 4, ... . Другім прыкладам
* Калі пры любым п ап+! > ап, то паслядоўнасць (а„) называецца манатонна неўбываючай. Напрыклад, паслядоўнасць 1, 1, 2, 2, 3, 3, . нг з’яўлясцца манатонна ўзрастаючай, але з’яўляецца манатонна неўбываючай.
310
Рыс. 199.
манатонна ўзрастаючай лікавай паслядоўнасці можа служыць паслядоўнасць
Рь Ps Pl» Рз2> • • •
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., упісаных у адну і тую ж акружнасць. Сапраўды, няхай АВ —старана квадрата, упісанага ў акружнасць 0 (рыс. 199). Апусцім на АВ перпендыкуляр з цэнтра акружнасці 0 і прадоўжым яго да перасячэння з акружнасцю ў пункце С. AC і ВС будуць, відавочна, старанамі правільнага васьмівугольніка. У трохвугольніку ABC
АС + ВС>АВ.
Паколькі р4 = 4АВ, ра = 4(АС 4 ВС), то ра > pt. Аналагічна паказваецца. што рм > ра, Рз2 > Рі» ■ Г' Д'
Калі кожны член лікавай паслядоўнасці,
пачынаючы з другога, меншы за папярэдні, то паслядоўнасць называецца манатонна ўбываючай.
Іншымі словамі, лікавая паслядоўнасць aL, аг, а3, ... называецца манатонна ўбываючай, калі для любога п
ап+1 < ап
Прыкладам манатонна ўбываючай* лікавай паслядоўнасці можа служыць паслядоўнасць
2 ’ 3 ’ 4 ’ •••’ п’ ’
Другім прыкладам манатонйа ўбываючай пасяядоўнасці з’яўляецца паслядоўнасць
Д4, ^8> Р16, Рз2> • • •
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., апісаных каля адной і той жа акружнасці. Доказ гэтага факта мы прапануем вучням правесці самастойна.
Манатонна ўзрастаючыя і манатонна ўбываючыя паслядоўнасці часам называюцца проста манатоннымі паслядоўнасцямі.
He трэба думаць, што ўсякая лікавая паслядоўнасць з’яўляецца манатоннай. Так, напрыклад, паслядоўнасць
— 1, 1, —1, 1,
* Калі пры любым п an+t < ап, то паслядэўнасць {ая} назыааецца манатонна неўзрастаючай Напрыклад, паслядоўнасць 1, 1, i, ^,	,
не з’яўлягцца манатонна ўбьіваючай, алг з’яўлягцца манатонна неўзрастаючай.
311
з агульным членам а„ — (—1)" не належыць ні да манатонна ўзрастаючых, ні да манатонна ўбываючых паслядоўнасцей. Тое ж самае можна было б сказаць і адносна паслядоўнасці
,11	11
2’3’	4 ’ 5 ’
1)л+1
з агульным членам ап =. Падобныя паслядоўнасці
атрымалі назву вагаючыхся паслядоўнасцей.
Практыказанні
935.	Якія з дадзеных паслядоўнасцей з’яўляюцца ўзрастаючымі, якія ўбываючымі і якія вагаючыміся:
а) 1,3, 5, . . ., 2п— 1, .. .;
в) sin 1, sin 2, sin3...............sin/?, .. .;
Ated
d'
'sir
д) 1, 4, 9, .... n2, . . .;
/А.1; —0,1; 0,01; —0,001; ...; (—O,!)^1; . ..?
936.	Даказаць, што паслядоўнасць з агульным членам
2/і A 	г
0/2 A 2«.+1	?
з’яўляецца ўзрастаючай. ^4cWi6'to.:i ,	—	: І
937.	Даказаць, што паслядоўнасць з агульным членам
2/143
з’яўляецца ўбываючай.
938.	Якой умове павінны задавальняць d, каб паслядоўнасць з агульным членам
an + b а"~ cn d
дадатныя лікі а, Ь, с і
была манатонна ўзрастаючай?
939.	Даказаць, што паслядоўнасць з агульным членам ап = \ —2іі— / ’ дзе а — некатоРЬІ дадатны лік, з яўляецца манатонна ўзрастаючай.
312
§ 129. Абмежазакыя і неабмежаваныя лікавыя паслядоўнасці
Лікавая паслядоўнасць {а„} называецца абмежаванай звеуху, калі ўсе яе члены менш некаторага ліку А:
ап< A (n = 1, 2, 3, ...).
Прыкладам такой паслядоўнасці можа служыць паслядоўнасць 12	3	п
2	’ 3 ’ 4 ’ ' ‘ ” n + 1 ......
усе члены якой менш' 1:
Тут у ролі А выступае лік 1. Замест яго можна было б вы5
браць 2, 3, g I г. д., паколькі любы лік разглядаемай паслядоўнасці менш кожнага з гэтых лікаў. Важна не тое, які лік выбраны ў якасці A, а тое, што хаця б адзін такі лік існуе.
Важным прыкладам паслядоўнасці. абмежаванай зверху, служыць паслядоўнасць
Рі^ Ps, Pie, Р32, ...	(1)
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., упісаных у адну і тую ж акружнасцв. Для доказу абмежаванасці гэтай паслядоўнасці мы зробім наступнае. Разам з дадзенай паслядоўнасцю разгледзім паслядоўнасць
Р„ Р^ Рй, Р32 ...	(2)
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., апісаных каля той жа самай акружнасці. Відавочна, што старана АВ правільнага 2лвугольніка, упісанага
ў акружнасць, менш стараны А'В'	Рыс. 200.
правільнага 2лвугольніка, апісанага каля гэтай акружнасці (рыс, 200). Таму
Pf < Р^.	(3)
Як было адзначана ў папярэднім параграфе, паслядоўнасць (2) з’яўляецца манатояна ўбываючай. Таму кожны член гэтай паслядоўнасці, пачынаючы з другога, менш першага члена Р4. Значыць, для любога п > 2
^2Л < Р^	(4)
3	(3) і (4) вынікае, што
Р2п < Рі
Але Рі = 8г, дзе г — радыус акружнасці. Такім чынам, для ўсіх п > 2
Ргп < 8л
313
Гэта няроўнасць і гаворыць аб тым, што паслядоўнасць (1) абмежавана зверху. Ролю А ў дадзеным выпадку адыгрывае лік 8г.
Калі члены абмежаванай зверху лікавай паслядоўнасці абазначыць пунктамі лікавай прамой, то ўсе пункты размесцяцца лявей пункта з абсцысай А (рыс. 201).
о	01	 Лікавая паслядоўнасць {ап\ наА зываецца абмежаванай знізу, калі рыс 2оіЎсе яе члены больш некаторага
ліку В:
ап>В (п=\, 2, 3, . ..). Прыкладам такой паслядоўнасці можа служыць натуральны рад лікаў
1,	2, 3, 4, 5, ... .
Ён абмежаваны знізу, паколькі ўсе яго члены больш нуля (В = 0). У якасці В можна было б знайсці і любы адмоўны лік або І, ^ і г д Як і ў выпадку паслядоўнасці, абмежаванай зверху, тут важна не тое, які лік выбраць у якасці В, а тое, што хаця б адзін такі лік існуе.
Важным прыкладам паслядоўнасці, абмежаванай знізу, з'яўляецца паслядоўнасць
Рь ?а> Рів> ^за, • • •
перыметраў правільных 4х, 8мі, 16вугольнікаў і г. д., апісаных каля акружнасці. У гэтым лёгка пераканацца пры дапамозе разважанняў, аналагічных тым, якія мы праводзілі вышэй пры даследаванні паслядоўнасці
Pt Р»’ Р1в> Рзі> ■ ■ ■ .
Калі члены абмежаванай знізу лікавай паслядоўнасці абазначыць пунктамі лікавай прамой, то ўсе пункты размесцяцца правей пункта з абсцысай В (рыс 202).
Рыс. 202.	Рыс. 203.
Лікавая паслядоўнасць, абмежаваная адначасова і знізу, і зверху, называецца абмежаванай.
Іншымі словамі, лікавая паслядоўнасць av а2, .. ., ап, ... называецца абмежаванай, калі існуюць лікі A і В такія, што пры любым п
A N будзе выконвацца няроўнасць
І«,  11 <5'
Гэта няроўнасць эквівалентна двайной няроўнасці < ал — 1 < е.
1 — е < ал < 1 + S.
Такім чынам, пры любым s > 0 існуе такі нумар N, пачынаючы з якога ўсе члены нашай паслядоўнасці ляжаць у інтэрвале ад 1— s да 1 + s (рыс. 205). У такіх выпад
з якой вынікае што
Рыс. 205.
ках гавораць, што лік 1 з’яўляецца прэдзелам лікавай паслядоўнасці.
Лік а называецца прэдзелам бесканечнай лікавай паслядоўнасіў ах, а2, .. ., ап, . .., калі для любога дадатнага ліку е існуе нумар N такі, tumo ўсе члены паслядоўнасці, пачынаючы з aNil, пападаюць у інтэрвал (а — $, a + е).
Іншымі словамі, лік а называецца прэдзелам бескаяечнай лікавай паслядоўнасці at, а2, ..., ап, ..., калі для любога дадатнага ліку е існуе нумар N такі, што для ўсіх п^ N
|а„ —а| < е.
Той факт, што а ёсць прэдзел лікавай паслядоўнасці а^, «2, • • •> ап, .... запісваецца наступным чынам:
liman = a п>х
316
(чытаецца: прэдзел* ап пры п, імкнучымся да бесканечнасці, роўны а).
Рэзультат, атрыманы ў пачатку гэтага параграфа, мы можам запісаць цяпер у выглядзе
§ 131. Прыклады
Разгледзім некалькі прыкладаў на вылічэнне прэдзелаў бесканечных паслядоўнасцей.
Прыклад 1. Даказаць, што прэдзел лікавай паслядоўнасці 4	6	8	2п
’ 3 ’ 4 ’ 5........ «+	1 ’
роўны 2:
Маем:
2«	9 п+ 1	=	2п — 2п — 2 п 4 1	=	— 2 п + 1	_2_ п + 1
Адсюль відаць, што з ростам п абсалютная велічыня \ап — 21 становіцца і застаецца як заўгодна малой.
Напрыклад, пры п > 20 гэта абсалютная велічыня менш 0,1, пры п > 200 яна менш 0,01 і г. д. Наогул, які б малы ні быў дадатны лік е, заўсёды можна знайсці нумар N такі, што для ўсіх п~> N будзе выконвацца няроўнасць
К —21<е
На самай справе, \ап — 2 | =
2
п + 1
. Таму напісаную вышэй ня
роўнасць можна перапісаць у выглядзе
2
n + 1	£’
адкуль
2	2
«+!>—, «>!+—.