Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Практыкаванні
627. Якія з дадзеных велічынь з’яўляюцца скалярнымі і якія вектарнымі: аб’ём, скорасць, маса, паскарэнне, сіла току?
§ 90. Праекцыя вгктара на вось
Як вядома, праекцыяй пункта А на вось I называецца аснова В перпендыкуляра, апушчанага з пункта А на гэту вось (рыс. 107).
Праекцыяй еектара АВ на вось I называецца велічыня адрэзка А\В\, які злучае праекцыю пачатку дадзенага вектара
Рыс. 107, Рыс. 108.
211
з праекцыяй яго канца на вось I (рыс. 108—111). Гэта велічыня лічыцца дадатнай, калі напрамак вектара А}ВХ супадае з напрамкам eoci I, і адмоўнай у адваротным выпадку.
Разгледзім некалькі прыкладаў.
1. Вектар АВ даўжынёй г паралельны восі I. Калі напрамак гэтага вектара супадае з напрамкам восі / (рыс. 109,«), то яго праекцыя на вось I роўна г. Калі ж напрамак вектара АВ процілеглы напрамку восі / (рыс. 109,6), то яго праекцыя роўна —г.
Рыс. 109.
2. Вектар АВ перпендыкулярны да восі I (рыс. 110). У гэтым выпадку пункты A і В праектуюцца ў адзін і той жа пункт. Таму праекцыя АВ на вось I роўна нулю.
3. Вектар АВ, які мае даўжыню г, размешчаны адносна восі I так, як паказана на рысунку 111. Тады яго праекцыя на
Рыс. 110
Рыс. 111.
вось I роўна даўжыні адрэзка А\В\ або AC. 3 прамавугольнага
праць вугла 30°, роўны палавіне гіпатэнузы).
Практыкаванні
628. Як зменіцца праекцыя вектара на вось, калі:
а) даўжыню вектара павялічыць у два разы;
212
б) напрамак вектара змяніць на процілеглы, а напрамак восі пакінуць ранейшым;
в) напрамак восі змяніць на процілеглы, а напрамак вектара пакінуць ранейшым;
г) напрамак восі і напрамак вектара змяніць на процілег. лыя?
\629. Што можна сказаць аб узаемным размяшчэнні вектара і восі, калі пры змяненні напрамку вектара на процілеглы праекцыя гэтага вектара на вось не зменіцца?
§ 91. Свабодныя і звязаныя вектары
Як ужо адзначалася ў § 89, кожны вектар вызначаецца сваім пачаткам (або пунктам прыкладання), напрамкам і даўжынёй. Пункт прыкладання вектара асабліва важна ўлічваць пры ра« шэнні фізічных задач. Няхай, напрыклад, на дыск, замацаваны
Рыс. 112.
на восі (рыс. 112), дзейнічае сіла F—1 кГ, накіраваная вертыкальна ўніз. Калі гэта сіла прьікладзена ў пункце А, то дыск пад яе дзеяннем будзе вярцецца па гадзіннікавай стрэлцы. Калі гэта сіла прыкладзена да пункта В, то дыск будзе вярцецца супраць гадзіннікавай стрэлкі. Калі ж сіла F прыкладзена да пункта С, то дыск будзе знаходзіцца ў стане спакою.
У матэматыцы ў асноўным разглядаюцца толькі такія задачы, у якіх пункт прыкладання вектара не адыгрывае істотнай ролі. Прыкладам можа служыць хаця б наступная задача: які вугал утвараюць паміж сабой вектары AB і CD (рыс. 113)? У далейшым мы будзем мець справу толькі з такімі вектарамі. Яны называюцца свабоднымі, у адрозненне ад звязаных вектараў, для вывучэння якіх важна ведаць, дзе размяшчаюцца іх пачатковыя пункты. Свабодныя вектары, дзе б яны ні пачыналіся, заўсёды можна перанесці так, каб іх пачатковыя пункты супалі; напрамкі вектараў і іх даўжыні застануцца ранейшымі. Зручна лічыць, што пунктам прыкладання свабоднага вектара з’яўляецца пачатак каардынат. Таму ў далейшым мы будзем у асноўным разглядаць толькі вектары, якія выходзяць з пачатку каардынат.
213
§ 92. Каардынаты вектгра на плсскасці
Няхай хОу — прамавугольная сістэма каардынат. Праекцыі х і у вектара ОА (рыс. 114) на восі абсуыс і ардынат называюцца каардынатамі гэтага вектара. Каардынаты вектара звычайна за
пісваюцца ў выглядзе
(х, у), а сам вектар так: ОА—(х, у).
Разгледзім некалькі прыкладаў.
1. Няхай вектар ОА даўжыні г ляжыць на восі х і накіраваны ў той жа бок, што і вось х (рыс. 115, а). Тады ОАі=(г, 0). Калі б напрамак вектара ОА быў процілеглы напрамку восі х (рыс. 115,6), то мы мелі б ОА2= — (—г, 0). Аналагічна, вектар ОАз,
паказаны на рысунку 115, в, мае каардынаты (0, г), а вектар ОА^, паказаны на рысунку 115, г,—каардынаты (0, —г).
2. Вектар ОВі даўжыні г, што ўтварае з восямі каардынат (Г f \
Гэта лёгка даказаць, калі разгледзець прамавугольны трохвугольнік ОВ\С\.
на
в Рыс.
Аналагічна, вектары ОВ2, ОВ3 і ОВ^ паказаныя ках 116,6, в і г, адпаведна маюць каардынаты
рысун
0В2 =
г
0В3 =
ов.
г
214
Каардынаты з’яўляюцца вычарпальнай характарыстыкай любога вектара, таму што па каардынатах можна пабудаваць і сам вектар. Ведаючы каардынаты, лёгка знайсці і даўжыню вектара.
Рыс. 116.
Тэарэма. Квадрат даўжыні любога вектара роўны суме квадратаў яго каардынат.
Д о к а з. Няхай каардынаты вектара ОА роўны х і у, a даўжыня г. Пакажам, што
г2==х2+у2. (1)
Калі вектар ОА ляжыць на якойнебудзь каардынатнай восі, то, як было паказана вышэй, адна з яго каардынат роўна нулю, а другая або +г, або —г. У гэтым вы ^
падку роўнасць (1) правільная. Калі вектар ОА ляжыць у першай чвэрці с —
(рыс. 117), то (1) вынікае з тэарэмы Піфагора, якая прыменена да трохву / ।
гольніка АВО. Аналагічна будзе і ў ________——|Т
выпадку, калі вектар ОА ляжыць у якойнебудзь іншай чвэрці (дакажыце Рыс. 117 ,
гэта!).
3 даказанай тэарэмы вынікае наступны важны для далейшага в ы н і к: любая каардыната вектара па абсалютнай велічыні не перавышае даўжыні гэтага вектара. Іншымі словамі, калі вектар даўжынёй г мае каардынаты х і у, то
215
Сапраўды,
r2—x2\y2.
Таму r2^x2, адкуль \x\^r.
Аналагічна даказваецца, што |у|<г.
Практыкаванні /
630. Пабудаваць вектары з каардынатамі: (2; 5^ (0; 3); (4; 0); (1; 2); (0; 3); (7; 6).
631. Як зменяцца каардынаты вектара, калі:
а) напрамак вектара змяніць на процілеглы;
б) паменшыць даўжыню вектара ў два разы, не мяняючы напрамку?
632. Знайсці даўжыні вектараў з каардынатамі: (3; 4); (5; 12); (0; 75); (2; /І).
633*. Што ўяўляе сабой мноства канцоў вектараў, калі каардынаты (х, у) гэтых вектараў задавальняюць ураўненню
(Ха)2+(у6)2 = Г2?
§ 93. Абагульненне паняцця вугла і дугі
У геаметрыі мы разглядалі ў асноўным вуглы, меншыя за «поўны» вугал, гэта значыць за вугал у 360°. Часцей за ўсё (напрыклад, у трохвугольніках) гэта былі нават вуглы, меншыя за «разгорнуты» (180°). Але іншы раз нам даводзілася мець справу і з вугламі, большымі за 360°. Успомніце хаця б тэарэму аб вуглах выпуклага многавугольніка: сума ўсіх унутраных вуглоў выпуклага nвугольніка роўна
2d(n—2).
Згодна з гэтай тэарэмай сума ўнутраных вуглоў выпуклага пяцівугольніка роўна
2d 3=6^=540°.
Як жа ўявіць сабе такі вугал?
Люйы вугал можна разглядаць як фігуру, якая ўтвараецца вярчэннем праменя вакол свайго пачатковага пункта. Напрыклад, вугал у 90° атрымаецца, калі прамень ОА (рыс. 118, а) зробіць чвэрць поўнага абароту вакол пункта О. Аналагічна разгорнуты вугал атрымаецца, калі гэты прамень зробіць палавіну абароту вакол пункта О (рыс. 118,6); поўны вугал апісваецца ў выніку аднаго поўнага абароту (рыс. 118, в) і г. д. Вугал, большы за поўны, атрымаецца, калі прамень зробіць больш аднаго абароту вакол пункта О. Напрыклад, у выніку 1 — абароту
216
ўтвараепца вугал, у 1— разы большы за поўны (рыс. 119,«); у выніку двух абаротаў атрымліваецна вугал, у 2 разы большы
4
за поўны (рыс. 119,6). Падобныя вуглы апісваюць, напрыклад, стрэлкі гадзінніка, лопасці прапелера самалёта і г. д.
/А
б a
Рыс. 119.
У той час як сам прамень пры павароце вакол свайго пачатковага пункта апісвае вугал, любы яго пункт, які адрозніваецца ад пачатковага пункта, апісвае дугі акружнасці. Калі, напрыклад, прамень зробіць чвэрць поўнага абароту, то пункт /I (рыс. 120, а) апіша чвэрць поўнай дугі (гэта значыць чвэрць акружнасці радыуса ОА); пры двух поўных абаротах праменя
(рыс. 120,6) пункт А апіша дугу, якая ў два разы большая за поўную дугу, і г. д. Уяўленне аб такіх дугах дае, напрыклад, наматаная на шпульку нітка.
217
Прамень можна вярцець вакол пачатковага пункта ў двух напрамках: па гадзіннікавай стрэлцы і супраць гадзіннікавай стрэлкі. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі прынята называць дадатным, а па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Адпаведна гэтаму вуглы і дугі, атрыманыя пры вярчэнні восі супраць гадзіннікавай стрэлкі, прынята лічыць дадатнымі; вуглы і дугі, атрыманыя пры вярчэнні восі па гадзіннікавай стрэлцы, прынята лічыць адмоўнымі.
За адзінку вымярэння вуглоў і дуг, як і ў геаметрыі, мы прымем адпаведна вугал у 1 градус і дугу ў 1 градус.
Вугал у 1 градус — гэта вугал, які апіша прамень, зрабіўшы /зео частку поўнага абароту вакол свайго пачатковага пункта супраць гадзіннікавай стрэлкі. Пры такой адзінцы вымярэння вугал, які апісваецца ў выніку аднаго поўнага абароту супраць
гадзіннікавай стрэлкі, роўны 360°, а па гадзіннікавай стрэлцы
—360°. Вугал,паказаны на рысунку 121, а, роўны 360° 1у= 450°, 1 4
а вугал, паказаны на рысунку 121,6, роўны —360°1—=—540°.
Дуга ў 1 градус — гэта дуга, якую апісвае пункт праменя пры павароце гэтага праменя на вугал у 1 гра'дус. Напрыклад, дуга, паказаная на рысунку 122, а, роўна 1 у 360°—450°, а дуга, паказаная на рысунку 122,6, роўна —— 360°——270°.
Дугу ў 1 градус і вугал у І.градус не трэба атаясамліваць.
218
Гэта розныя, хаця і блізкія паняцці. Каб не блытаць іх, часам вугал у 1 градус называюць вуглавым градусам, а дугу ў 1 градус — дугавым градусам. Дуга заўсёды змяшчае столькі дугавых градусаў, колькі вуглавых градусаў змяшчае вугал, які ёіі адпавядае.
Рыс. 124.
У заключэнне прымем наступнае пагадненне. Няхай вугал <р* утвораны вярчэннем праменя ОА вакол пункта 0 (рыс. 123). Зыходнае становішча ОА гэтага праменя будзем называць пачатковай стараной вугла ф, а становішча ОА', якое ён зойме ў выніку вярчэння,— канечнай стараной вугла ф. Калі пачатковыя стораны двух роўных вуглоў супадаюць, то супадуць, відавочна, і іх канечныя стораны. Адваротнае сцверджанне, наогул кажучы, няправілыіае. Так, вуглы ў 45° і 45°4360°=405° (рыс. 124) не роўныя адзін другому, хаця пачатковыя і канечныя стораны іх супадаюць. /^'\ ^CL^
Практыкаванні k 1 $
634. Якія вуглы апісваюць мінутная і гадзіннікавая стрэлкі за: а) 5 мін; б) 5 гадз?
635. У якіх каардынатных чвэрцях заканчваюцца вуглы:
а) 75° і 75°; в) 140° і 140°;
б) 1000° і 1000°; г) 191° і 191°?
636. Ці могуць вуглы ср і —ф заканчвацца ў адной і той жа чвэрці? Ці могуць яны мець адну і тую ж канечную старану?
КНІГІ ОНЛАЙН
