Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
П р ы к л а д ы.
Кораняў ул —81, ^р^ — 25 не існуе; У — 32 = — 2;
^~125 = — 5.
Практыкаванні
552. (В у с н а.) Якія з дадзеных выразаў не маюць сэнсу: /^9; ^—8; /^0^5; ^^81; / —'2?
553. Знайсці вобласці вызначэння наступных функцый:
а) у = /х1;
б) у^^х — \,
в) (/ = ’^ Зх2 + 5х — 2;
г) У^У^^ 2) (х — 7);
д) У — V х~ \ X \ \‘,
с) у = 1^3 — х + yz5x — 5.
§ 79. Здабыванне кораняў са здабытку і дзелі
Тэарэма 1. Корань nй ступені са здабытку дадатных лікаў роўны здабытку кораняў nй ступені з сумножнікаў, гэта значыць пры a > 0, & > 0 і натуральным п
y"ab = }/ a • )/ Ь.
б)
181
Д о к а з. Напомнім, што корань nй ступені з дадатнага ліку ab ёсць такі дадатны лік, nя ступень якога роўна ab. Таму даказаць роўнасць (1)— гэта ўсё роўна, што даказаць роўнасць
і I' a • у Ь^ = ab.
Па ўласцівасці ступені здабытку
(^.W4»^W‘
Але па азначэнню кораня nй ступені
^"о)я=а, {^ b)n=b.
Таму
^ ~а ■ V Ь^ = ab.
Тэарэма даказана.
Патрабаванне a > 0, & > 0 істотна толькі для цотнага п, паколькі пры адмоўных a і & і цотным п корані у a і у о не вызначаны. Калі ж л —няцотны лік, то формула (1) справядлівая для любых a і & (як дадатных, так і адмоўных).
Пры к ла ды.
/16=121 = /Тб /Т2Г =411 = 44;
/=125=27 =^ 125 ■ /27 = — 53 = — 15.
Формулу (1) карысна прымяніць пры вылічэнні кораняў, калі падкарэнны выраз даецца ў выглядзе здабытку дакладных квадратаў. Напрыклад,
fl532722 = //153 4=72) (153=727 =
= >225=81 = 159 = 135.
Тэарэму 1 мы даказалі для выпадку, калі пад знакам радыкала ў левай частцы формулы (1) стаіць здабытак двух дадатных лікаў. На самай жа справе гэта тэарэма правільная для любога ліку дадатных сумножнікаў, гэта значыць пры любым натуральным й^2:
п/" п/— п / n/~Z~
у ^ a^ ... ■ ak — у аг • у «2 ■ • • • • V ak
В ы н і к. Чытаючы гэту тоеснасць справа налева, мы атрымліваем наступнае правіла множання кораняў з аднолькавымі паказчыкамі:
Пп, П/ п /:
у ах • у о2 • ... • у оА = у Оі • а2 •... • ой.
182
Каб перамножьіць корані з аднолькавымі паказчыкамі, дастаткова перамножыць падяарэнныя выразы, пакінуўшы паказчык кораня ранейшым.
Напрыклад, / 3 / 8 • / 6 = /3'86 = /144= 12.
Тэарэма 2. Корань пй ступені з дробу, лічнік і назоўнік якога — дадатняя ліхі, роўны дзелі ад дзялення кораня той жа ступені з лічніка на корань той жа ступені з нлзоўніка, гэта значыць пры a > 0 і 6> 0
Даказаць роўнасць (2)—гэта значыць паказаць, што ( V — а
Па правілу ўзвядзення дробу ў ступень і азначэнню кораня пй ступені маем:
Тым самым тэарэма даказана.
Патрабаванне й>0 і 6>0 істотна толькі пры цотным п. Калі ж п няцотны, то формула (2) правільная і для адмоўных значэнняў а і Ь.
Пры клады.
/49 ~ 7 ’
3 / 64 _ /^64 _ —4 _ _4_
V ~ 27 ~ / 27 “ з ~ 3 '
п /~ п/ —
„ . п л / a v a
Вынік. Чытаючы тоеснасць 1/ —= „ _ справа налева, мы
V & у ь
атрымліваем наступнае правіла дзялгння дробаў з аднолькавымі паказчыкамі:
183
Каб падзяліць корані з аднолькавымі паказчыкамі, дастаткова падзяліць падкарэнныя выразы, пакінуўшы паказчык кораня ранейшым.
1/126 Напрыклад,
Практыкаванні
554. У якім месцы доказу тэарэмы 1 мы выкарысталі тое, што a і b дадатныя?
Чаму пры няцотным п формула (1) правільная і для адмоўных лікаў а і 6?
Пры якіх значэннях х правільныя дадзеныя роўнасці (№ 555560):
555^/х2 —9 = /х^З • /х + 3.
556. ^ (х — 2) (8 — х) = у^х —2 • }/8 — х.
55>К(х+ 1) (х —5) = /МП • /7^5.
558. /х(х+ l)(x + 2f = /'х • /х + 1 • /х + 2.
559. V (х — аУ3 = (/х —а)3.
560. F (х^ 5)2 = (3/Т^5)2.
561. Вылічыць:
a) / 1732 — 522; в) / 20№^56*;
б) /3732 252^; г) /242,52 — 46,52.
562. У прамавугольным трохвугольніку гіпатэнуза роўна
205 см, а адзін з катэтаў 84 см. Знайсці другі катэт.
563. _У колькі разоў
а) У 45 больш V 5;
§ 80. Здабыванне кораня са ступені.
Узвядзенне кораня ў ступень. Здабыванне кораня з кораня
Няхай a — адвольны дадатны лік, a m і п — натуральныя лікі, прычым т дзеліцца без астатку на п. Тады
У~а^ = a". (1)
Напрыклад, /5® = 5! = 25; р^ЗЧ = З3 = 27.
Іншымі словамі, правільная наступная тэарэма;
Тэарэма 1. Каб здабыць корань са ступені дадатнага ліку, паказчык якой дзеліцца нацэла на паказ
184
чык кораня, дастаткова паказчык падкарэннага выразу падзяліць на паказчык кораня, пакінуўшы аснову ступені ранейшай.
Д о к а з. На аснове правіла ўзвядзення ступені ў ступень маем:
(гп \п тп a п I = а " = ат.
Але гэта азначае, што
tn п /
у ат = ап .
Тэарэма 2. Каб корань з дадатнага ліку ўзвесці ў ступень, дастаткова ўзвесці ў гэту ступень падкарэнны лік, пакінуўшы паказчык кораня без змянення, гэта значыць пры a > 0
(п ,—\т п,
(2)
Сапраўды, (п ,—\т П/ п ,— п.— п/п^
ly a =у a • У a у a ==у аа ... а=у a™.
т т
Калі п — няцотны лік, то формула (2) правільная і для а<0.
П р ы к л а д ы.
(П)3 = Г25 = П;
(/1б)3 = ^Іб3 = ^ = 22 = 4;
(Г^)5 = Кнзр ^ F^32.
Тэарэма 3. Велічыня кораня з дадатнага ліку не зменіцца, калі паказчыкі кораня і падкарэннага выразу памножыць на адзін і той жа натуральны лік або падзяліць на іх агульны множнік.
Іншымі словамі: 1. Калі а>0 і т, п, k — натуральныя лікі, то
П /nk >7
У ат = ya"*. (3)
2. Калі я>0 і k — агульны дзельнік лікаў т і п, то
Даказаць формулу (3)—гэта значыць паказаць, што ' ат^\ = ат.
185
Па правілу ўзвядзення кораня ў ступень
( / amk I = V amkn.
Паказчык mkn ступені дзеліцца нацэла на паказчык nk кораня.
Значыць, па тэарэме 1
nkr— ў amkn = ат.
Таму
атА)л = ат.
Гэта і азначае, што
П , nk /г
у ат =у amk.
Доказ формулы (4) праводзіцца аналагічна. Прапануем вучням правесці гэты доказ самастойна.
П р ы к л а д ы.
Л = Ж 1^ = ^; '/^ = ^.
Тэарэма 4. Каб здабыць корань з кораня, дастаткова перамножыць паказчыкі гэтых кораняў, не змяняючы падкарэннага ліку, гэта значыць
п/~т, пт ,
у уГа = у a (a > 0).
(5)
Д о к а з. Па тэарэме 2
I у а) — у ап.
Велічыня кораня не зменіцца, калі паказчык кораня і паказчык падкарэннага ліку падзяліць на іх агульны множнік (тэарэма 3); таму тп)т ,— уап = уа.
Такім чынам,
т, у а.
Але па азначэнню кораня гэта і значыць, што
Напрыклад,
Практыкаванні
564. Спрасціць выразы:
1) 7?; 2) W; 3) 7R*;
4) R
186
565. Спрасціць выразы:
1)]//12)3; 4) У (і'3412;
2) К(1 У ^; 5) ]Г(/ 5 2)4;
з) ’/(Тм^; 6) Z(i /2)3
566. Спрасціць выразы:
і)/Г/і)\х+і)і4; 2)/(+* +1/
567. (В у с н а.) Спрасціць выразы:
1) V /б; 5) Z/10;
2) V /"5; 6) V /"7;
3) //1; 7) //R3);
4) К /—243; 8) //9.
§ 81. Вынясенне множніка зпад знака кораня і ўвядзенне яго пад знак кораня
Іншы раз падкарэнны выраз раскладаецца на такія множнікі, корані з якіх здабываюцца даволі лёгка. У такіх выпадках выраз можна спрасціць пры дапамозе вынясення множніка зпад знака кораня. Напрыклад,
/12 = /4 • 3 = / 4 /3=2/ 3;
/1250 = /625^2 = /54 2 = /53 /2=5/2.
Вынясенне множніка за знак кораня дазваляе спрасціць і больш складаныя выразы. Так,
/18 + / 50 — /98 = /9^2 + /2Г2 — /49^2 =
= 3/2+ 5/2'— 7/’2 = /~2;
/81 —/24 +/375 = /27^3 — /8^ + /125 ■ 3 =
= 3/"3 —2/1 + 5/^ =6/3.
187
Іншы раз бывае карысным, наадварот, увесці якінебудзь множнік пад знак кораня.
Няхай, напрыклад, трэба вылічыць набліжанае значэнне 7 |/ 8 з недахопам з дакладнасцю да 0,1. Увядзём 7 пад знак кораня. Для гэтага заўважым, што
7=^49.
Таму
7 /1 = /49 • /1 = /49^8 = ] 392.
Здабываючы корань з 392 звычайным спосабам, атрымаем наступнае' набліжанае значэнне гэтага кораня з недахопам з дакладнасцю да 0,1: /392^19,7. Калі б мы не_ўвялі 7 пад знак кораня, а вылічылі б набліжанае значэнне /8 з дакладнасцю да 0,1 (/8^2,8) і атрыманы рэзультат памножылі на 7, то атрымалі б 7/8^19,6, гэта значыць памыліліся б на 0,1. Гэты прыклад паказвае, якую карысць можа прынесці ўвядзенне множніка пад знак кораня.
Акрамя таго, увядзенне множніка пад знак кораня разам з іншымі пераўтварэннямі іншы раз значна спрашчае выраз. Напрыклад,
К16/1 ={Г /16^1 =У /2М =Y/2* =
= /"’ = /? = 2 /1.
Практыкаванні
568. He здабываючы кораняў, вызначыць, які з дадзеных лікаў большы:
а) 2 / 3 ці 3 / 2;
б) 2 /1 ці 3/1;
в) 5/7 ці 8 /1;
г) 3 /1 ці 4/1.
569. Вылічыць:
а) 2 /1 — /27 + 3 /12 — 2 /243;
б) /50 — 5 /1 + /1 + /128;
в) /1 + /250 — /686 — /16.
570. Спрасціць:
188
571. Вылічыць з дакладнасцю да 0,01: а) 2 /"7; б) 5 /1; в) /1;
г) 2/"7 +5ГЗ + ІК6.
572. Вылічыць:
а) (2/3 —3/2 + / 6) • (/6 — / 2 — 2/3);
б) (/“8 — 3 /1 + /ТО) • (/2 + //6 + 3 //4);
в) ГнГб + /Т) • (ГЗГ2£
г) (/a2 + / ab + /б2) • (/ a — V~b).
573. Што больш: а) / 2 або / 3; б) /І2 або /3;
в) / 8 або / 19;
г) ’/2 або УЗ?
§ 82. Множанне і дзяленне кораняў
1. Множанне кораняў. У § 79 было атрымана прагіла множання кораняў з аднолькавымі паказчыкамі:
Каб перамножыць корані з р о з н ы м і паказчыкамі, іх трэба папярэдне прывесці да агульнага паказчыка, а затым перамножыць так, як корані з аднолькавымі паказчыкамі.
Няхай, напрыклад, трэба памножыць у а на у Скарыстаўшы тэарэму 3, § 80, можна напісаць:
Адсюль
Напрыклад,
У якасці агульнага паказчыка для кораняў у а і у о зручней за ўсё ныбіраць найменшае агульнае кратнае лікаў п і т. Напрыклад, калі нам трэба памнсжыць т/ 2 на ■/ 32, то ў якасці агульнага паказчыка для дадзеных кораняў зручна выбраць лік 12, які з’яўляецца найменшым агульным кратным лікаў 4 і 6. _
Тэарзма 3, § 80, дае: ^ 2 = у^3, ^ 32 = ’у^322 = yG?*’. Таму
¥ 2 • ]/ 32 = '/23 • '^10 = = 2 ў" 2.
2. Дзяленне кораняў. У § 79 было атрымана правіла дзялення кораняў з аднолькавымі паказчыкамі:
Каб падзяліць корані з р о з н ы м і паказчыкамі, папярэдне трэба іх прывесці да агульнага паказчыка, а затым падзяліць як
корані з аднолькавымі паказчыкамі. Напрыклад,
Практыкаванні
574. Выканаць дадзеныя дзеянні:
а) ^а2 • '^ah д) '| Аа5 : V~a\
6) Ya2 • V а\ е) ^й* : і^;
в) • П . ]/Х
' * 6’ / 3 • /1
г) a / 4a • ]/ 4a • a2 • у^4a3;
575. Што больш:
а)
або
‘/З9
У25 б) або
|^24 ’
§ 83. Вызваленке ад радыкалаў у назоўніку дробу
Некаторыя дробы, якія маюць у назоўніку радыкалы, з дапамогай пераўтварэнняў могуць быць зведзены да дробаў, якія ўжо не маюць радыкалаў у назоўніках. Растлумачым гэта на радзе прыватных прыкладаў.
190
Прыклад 1. Вызваліцца ад радыкала ў назоўніку дробу 2
/3‘
Памножыўшы лічнік і назоўнік дадзенага дробу на / 3, ат2 22
КНІГІ ОНЛАЙН
