КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

ат
—атп^ шт0 і ТрЭба было даказаць. Формула (3) даказана цяпер для любых натуральных лікаў т і п.
3	а ў в а г а. Адмоўныя паказчыкі дазваляюць запісваць дробы без назоўнікаў. Напрыклад,
v3*1; — =251; наогул, — =а6*. 3	5	b
Аднак не трэба думаць, што пры такім запісе дробы ператвараюцца ў цэлыя лікі. Напрыклад, З1 ёсцьтакіждроб, якіі, 2 251 — такі ж дроб, як і —, і г. д.
Практыкаванні 529. Вылічыць:
1)	З3; 2\ (1)® •
/	2 V2.	102.
' \ 3 / ’ ~ (=2)®’ 2 г і
1,5)	°.
2"® ’ (/ 3)
3) [64^j
5)		
IO”1 +
530.	Запісаць без назоўнікаў дробы:
°	2)	3)	4)
531.	Дадзеныя дзесятковыя дробы запісаць у выглядзе цэлых выразаў, выкарыстоўваючы адмоўныя паказчыкі:
1) 0,01;	2) 0,65;	3) 0,00033;
4) 0,5;	5) 7,125;	6) 75,75.
167
§ 72. Уласцівасці ступеней з цэлымі паказчыкамі
У § 68 і 69 мы даказалі наступныя ўласцівасці ступеней з натуральнымі паказчыкамі:
1)	(а • Ь)т = ат • Ьт,
2)	) =—;
\Ь ) Ьт'
3)	ат ■ ап = ат+п;
4)	ат:ап = ат~п;
5)	(а"‘)п = атп.
Усе гэтыя ўласцівасці справядлівыя і для ступеней з любымі цэлымі (дадатнымі, адмоўнымі і нулявымі) паказчыкамі, калі толькі лікі а і Ь не роўны нулю.
Дакажам, напрыклад, што пры а^О атап = ат+п,	(1)
дзе т і п — любыя цэлыя лікі.
Паколькі для натуральных лікаў т і п формула (1) ужо даказана, то нам застаецца разгледзець толькі наступныя тры выпадкі: 1) лікі т і п адмоўныя; 2) адзін з лікаў т і п дадатны, а другі — адмоўны; 3) хоць бы адзін з лікаў т і п роўны нулю.
В ы п а д а к 1. Няхай т і п — адмоўныя лікі. Тады па азначэнню ступені з адмоўным паказчыкам
11	1	.
ат.аП== _ 
сгт ап ата~п
Паколькі т і п адмоўныя, то —т і —п дадатныя. Таму а~т ■ сгп = ат~п = а~(т+п).
Значыць,	= 77777 • Выкарыстоуваючы азначэнне
ступені з адмоўным паказчыкам, запішам;
________=лт+п а(т+п)
Такім чынам, атап=ат+п.
В ы п а д а к 2. Адзін з паказчыкаў т і п дадатны, а другі — адмоўны. Няхай, напрыклад, m>0, a п<0. Па азначэнню ступені з адмоўным паказчыкам
168
Лік —п дадатны; значыць, па даказанаму ў § 71
____ — ат(п) _ ат+п і СГп
Таму
ат атап= ■= ат+п.
а~п
В ы п а д а к 3. Хоць бы адзін з паказчыкаў т і п роўны нулю. Няхай, напрыклад, т=0. Тады па азначэнню нулявой ступені атап — а°ап = 1 ап = ап,
але ат+п = а°+п = ап. Значыць, формула
ат.аП:=ат+п
правільная і ў гэтым выпадку.
Такім чынам, пры а=#0 формула атап—ат+п правільная для любых цэлых лікаў т і п.
Аналагічна могуць быць даказаны і астатнія чатыры ўласцівасйі ступеней з цэлымі паказчыкамі, упамянутыя ў пачатку гэтага параграфа.
П р ы к л а д ы.
1)	4М8=43=64;
2)	(З^З^^;
3)
= ”1 [3(ад)Га
1 + a"1 — 26"1 +
(іпа a”1 —1
і знайсці яго лікавае значэнне пры
а = _4; 6 = ^.
535.Пры якім паказчыку п ступень ап не залежыць ад асновы a?
170
§ 73. Функцыі у = хп пры п = 1, 2, 3
Кожнаму значэнню велічыні х формула У=хп,
дзе п _ натуральны лік, ставіць у адпаведнасць зусім пэўнае значэнне велічыні у. Такім чынам, гэта формула вызначае у як функцыю аргумента х. Разгледзім функцыі пры п=1, 2, 3.
1.	Функцыя у =~ х. Гэта функцыя вызначана для ўсіх значэнняў х. Таму можна сказаць, што вобласцю вызначэння функцыі у—х з’яўляецца сукупнасць усіх лікаў.
Дадзеная функцыя прымае любыя лікавыя значэнні. Мноства ўсіх значэнняў, якія прымае тая ці іншая функцыя, называецца вобласцю змянення гэтай функцыі. Таму можна сказаць, што вобласцю змянення функцыі у—х таксама з’яўляецца су
купнасць усіх лікаў.
Графік функцыі у=х (рыс. 94) ёсць прамая, якая праходзіць праз пачатак каардынат і дзеліць першы і трэці каардынатныя вуглы папалам, Гэты графік добра ілюструе ўласцівасці функ
цыі у—х.
Так, большаму значэнню аргумента х адпавядае і большае значэнне функцыі у. Напрыклад, пры х2>хі уі>У\ (рыс. 94).
Такія функцыі прынята называць манатонна ўзрастаючымі.
Функцыя У=х няцотная. Гэта азначае, што пры перамене знака аргумента на процілеглы яна, не змяняючыся па абсалютнай велічыні, мяняе свой знак на процілеглы. Графік функцыі у—х сіметрычны адносна па
чатку каардынат.	рыс 94.
2.	Функцыя у = х2. Гэта функцыя
была падрабязна вывучана намі ў раздзеле Ш. Вобласцю яе вымноства ўсіх сапраўдных лікаў, а вобласцю ўсіх неадмоўных лійаў. Графікам гэтаіі
значэння з’яўляецца змянення — мноства
функцыі з’яўляецца накіраваная ўверх парабала з вяршыняй у пачатку каардынат (рыс. 95). Як відаць з рысунка, пры адмоўных значэннях аргумента х функцыя у=х2 манатонна ўбывае. Гэта азначае, што з двух адмоўнык значэнняў аргумента большаму адпавядас меншае значэнне функцыі. ІІры дадатных значэннях аргумента функцыя у—х2 манатонна ўзрастае. Гэта азначае, што з двух дадатных значэнняў аргумента большаму адпавядае большае значэнне функцыі. Пры х—0 функцыя прымае най
171
меншае значэнне, роўнае нулю. Найбольшага значэння функцыя не мае.
Функцыя у=х2 цотная. Гэта азначае, што змяненне знака аргумента х на процілеглы не змяняе значэння функцыі у. Графік такой функцыі сіметрычны адносна восі у.
3.	Функцыя у = х3. Вобласцю вызначэння гэтай функцыі з’яўляецца мноства ўсі5Гсапраўдных'лікаў. Функцыя з’яўляецца ^яцотнаа, паколькі (—х)3=—х3, Таму для пабудавання яе графіка дастаткова скласці табліцу значэнняў толькі для дадатных
няў функцыі для адпаведных дадатных х толькі знакамі. Напры
1
1
клад, пры
1
Х “	4
х = у = gp таму пры у будзе роўны —пры
х = 2 у=8; таму пры х=—2 у будзе роўны —8 і г. д. Цяпер, выкарыстоўваючы складзеную табліцу і ўласцівасць няцотнасці функцыі у—х3, пабудуем графік гэтай функцыі (рыс. 96). Крывая, паказаная на рысунку 96, называецца кубічнай парабалай.
Кубічная парабала наглядна дэманструе, што функцыя у—х3 усюды манатонна ўзрастае, прымаючы любыя значэнні. Вобласцю змянення гэтай функцыі з’яўляецца сукупнасць усіх сапраўдных лікаў. Трэба асобна адзначыць паводзіны гэтай крывой паблізу пачатку каардынат. Тут кубічная парабала падыходзійь да восі, як бы адначасова і датыкаючыся да гэтай восі і перасякаючы яе.
Практыкаванні
536.	Якія агульныя ўласцівасці маюць функцыі у=х, у—х2 і у=х3?
537.	Пабудаваць графікі функцый:
а)	х3—1;	в) у=(х+2)3;
б)	у=(х—I)3; г) у=|х3|.
§ 74.	Функцыі у = хп пры п ~ — 1 і п = — 2
1.	Функцыя у=х1. Вобласцю вызначэння функцыі у — х~х, або у = —, з’яўляецца мноства ўсіх сапраўдных лікаў, акрамя
172
нуля. Гэта функцыя няцотная, паколькі ——^ = ——. Таму для пабудавання яе графіка дастаткова скласці табліцу значэнняў
Выкарыстоўваючы гэту табліцу і ўласцівасць няцотнасці функцыі у — х', пабудуем яе графік (рыс. 97). Гэты графік, як відаць з рысунка, складаецца з дзвюх крывых, адна з якіх цалкам знаходзіцца ў першым, а другая — у трэцім каардынатным вугле. Яны сіметрычны адна другой адносна пачатку каардынат. Разам гэтыя крывыя называюцца гіпербалай, а кожная з кры
вых паасобку — галіной гіпербалы.
Заўважым, што пры ўсіх дадатных значэннях х функцыя у=х~х манатонна ўбывае. Тое ж правільна і для ўсіх адмоўных значэнняў х. Аднак было б памылкова сцвярджаць, што гэта функцыя з’яўляецца манатонна ўбываючай усюды. Напрыклад, значэнню аргумента хі =— 1 адпавядае значэнне функцыі t/j = —1, а значэнню аргумента х2= + 1 — значэнне функцыі y2=l. Маем: х2>хі і Уі>У\. Для манатонна ўбываючай функцыі з х2>хі павінна вынікаць У2<Уі Але тут гэтая ўмова не выконваецца. Такім чынам, гаварыць, што функцыя у=х1 усю
ды манатонна ўбывае, нельга. Аднак можна сказаць, што гэта функцыя ўбывае на любым адрэзку, на якім яна вызначана (гэта значыць на любым адрэзку восі х, які не змяшчае нуля).
Функцыя у=х~{ прымае любыя лікавыя значэнні, акрамя нуля. Значыць, вобласцю яе змянення, гэтак жа як і вобласцю вызначэння, з’яўляецца мноства ўсіх сапраўдных лікаў, акрамя
нуля.
Трэба звярнуць увагу на паводзіны функцыі у=х~' паблізу пункта х=0. Калі значэнні аргумента х неабмежавана набліжаюцца да нуля, застаю^іся дадатнымі, то адпаведныя значэнні функцыі у неабмежавана ўбываюць. Калі ж значэнні аргумента х неабмежавана набліжаюцца да нуля, застаючыся адмоўнымі, то адпаведныя значэнні функцыі у неабмежавана ўбы
ваюць.
173
2.	Функцыя у = х2. Вобласцю вызначэння функцыі у = х2, або у = \, з’яўляецца мноства ўсіх сапраўдных лікаў, акрамя нуля. Паколькі
( х)2 =	1	= 1 = X"2,
'	'	(— х)2 X2
»
то функцыя у~х~2 цотная. Таму для пабудавання графіка гэтай функцыі дасгаткова скласці табліцу яе значэнняў толькі для дадатных значэнняў х:
X	1 4	1 2	3 4	1	2	3
2	1 У = х “ = ”	16	4	16 9	1	1 4	2 9
Значэнні гэтай функцыі пры адмоўных х роўны яе значэнням пры адпаведных дадатных х. ІІапрыклад,
Выкарыстоўваючы складзеную табліцу і ўласцівасць цотнасці функцыі у—х~2, пабудуем яе графік (рыс. 98). Ен складаецца з дзвюх галін, адна з якіх цалкам размешчана ў першым, а другая — у другім каардынатным вугле. Гэтыя крывыя сіметрычны адна другой адносна восі ардынат. Неабходна падкрэсліць, што ні адну з іх паасобку нельга лічыць графікам функцыі у=х~2. Толькі ўзятыя разам, яны ўтвараюць гэты графік.
Функцыя у=х~2, або у——^, прымае толькі дадатныя зна
чэнні. Таму графік яе размешчан цалкам вышэй восі х.
Калі значэнні аргумента х не