КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

. tn р
чыкам, мы можам даказаць яе і для выпадку, калі — < —.
Напрыклад,
з
= 16*	6=16 2о=(24) 20 =2 5 = — =
16^	2^

Практыкаванні
585. Вылічыць:
4
а>9 2 ’ б) *
г) (25)"^; д) (27Г^32’5;
е) (6,25) 4 •
Вылічыць (№ 586—592):
|
з
2—(— 2)4+810’25.
587.	0,027 3 — — 4	+ 2560’75 — 3~’ + (5,5)°.
"'	\ о /
і
• 2 (ax) 3.
591.
a + х
а3 + х3
201
592.	(1 —a2) 2— 7—77!^Х
'	1 + a2(l — a2) 1
(1—a2)2+a2(l—a2) 2 1 —a3
(!/m>0; 2) m > п > 0; 3) m = n = 1?
594. Вылічыць
2
x +a
1 _д\_____L / _2	____
Зх 3 I 2 + fa + a 3 x 3
з
пры x = \1 — a 3 /	(0 < a < 1).
595.	Спрасціць выраз
 / з 2 W 2. 2A
^4 — &4 Ma4 + & 4 /	,—
Tt—V ab
a2 — b2
2 /2,5 (a —b)~' (Ю)~
1 1
§ 87. Функцыі y = xr пры r = ~ i r = —
Функцыя y = x2. Функцыя y — x2, або y = У x, вызначана для ўсіх неадмоўных значэнняў аргумента х; таму вобласцю яе вызначэння з’яўляецца сукупнасць усіх неадмоўных лікаў. Графік гэтай функцыі (пабудаваны «па пунктах») паказаны на
рысунку 99. Функцыя у—х2 прымае любыя неадмоўныя значэнні; таму вобласцю яе змянення з’яўляецца сукупнасць усіх неадмоўных лікаў.
Дадзеная функцыя з’яўляецца манатонна ўзрастаючан. I эта добра відаць на графіку, але можа быць строга даказана і без выкарыстання графіка. (3 двух дадатных лікаў большаму адпавядае большы квадратны корань.)
202
1 1
Функцыя у — х 3. Функцыя у — х3, або у ~У х, вызначанз для ўсіх сапраўдных значэнняў аргумента х. Аднак мы абмяжуемся разглядам яе паводзін толькі для дадатных значэнняў х.
і
Графік функцыі у—х3 для х>0 паказаны на рысунку 100. Як відаць з гэтага рысунка, паводзіны функцыі у — х3 пры х>0 зусім аналагічны паводзінам функцыі у=х 2 : яна прымае толькі дадатныя значэнні і з’яўляецца манатонна ўзрастаючай.
Практыкаванні
1
596.	Выкарыстоўваючы графік функцыі у=х2 , знайдзіце набліжаныя значэнні кораняў:
а) /І; б) j/l; в) /1.
597. Пабудаваць
графікі функцый:
b У = I * — 1;	6) у = Ух — 2;
2)у=]/^1;	7)і/ = }^2;
3) У = У х + 2;	8) у = Ух + 1;
^У=У~х + 2;	9)і/ = }/х+1;
5)	У ~ — ^У х\ 10) у = — 2^/ х.
598.	Як размяшчаюцца адзін адносна другога графікі функцый:
а) у = У х б) у = У~х
і у = Ух + а; і у = аУ х?
203
599.	На рысунку 101 вы бачыце графік функцыі y = y^~x. Памылкова чарцёжнік забыў адзначыць на чарцяжы адзінку даўжыні (маштаб). Як з дапамогай цыркуля і лінейкі вызначыць па чарцяжу адзінку даўжыні?
§ 83. Агульныя ўласцівасці ступенных функцый
Ступеннымі функцыямі называюцца функцыі выгляду у—ахг, дзе a і г — дадзеныя сапраўдныя лікі. Згодна з гэтым азначэннем паказчык ступені г можа быць як рацыянальным, так і ірацыянальным. Але паколькі мы яшчэ не ведаем, што такое ступень з ірацыянальным паказчыкам, то пакуль абмяжуемся толькі выпадкам, калі лік т рацыянальны. Акрамя таго, мы будзем лічыць, што а=1. Пасля таго як функцыя у—хг будзе вывучана, даследаванне функцый у—ахг не выклікае асаблівых цяжкасцей.
Некаторыя прыватныя прыклады ступенных функцый у = хг ^пры г = 1, 2, 3, — 1, —2, у, —^ ужо разглядаліся намі ў § 73, 74, 87. Зараз мы разгледзім уласцівасці функцыі пры любым рацыянальным г.
Паколькі ступень хг з рацыянальным паказчыкам г вызначана, наогул кажучы, толькі для дадатных значэнняў х, то і функцыю у=хг мы будзем разглядаць толькі для дадатных значэнняў аргумента х.
Ступенныя функцыі маюць наступныя асноўныя ўласцівасці.
Уласцівасць 1. Пры дадатных значэннях аргумента х ступенная функцыя у = хг прымае толькі дадатныя значэнні.
Сапраўды, калі г = 0, to xr= 1 > 0. Калі г = ~, дзе т і п— п
т
натуральныя лікі, то хг = х " =■/ хт. Але х > 0; значыць, хт
таксама больш нуля, таму і Ух™>0. Калі г =——, дзе т і п
204
___т ।	т
п — натуральныя лікі, то х ” = ——. Але х^ > 0, значыць, і
1
ТП Х^
0.
На рысунках 102—104 вы бачыце графікі ступеннай функцыі у=хг пры розных значэннях г.
Кожная з прыведзеных крывых размешчана вышэй восі х. Гэта і служыць графічным пацверджаннем 1й уласцівасці ступеннай функцыі.
Уласцівасць 2. Калі лік г дадатны, то пры дадатных значэннях аргумента х ступенная функцыя у = хг з’яўляецца манатонна ўзрастаючай.
Доказ. Няхай г = —>0, х2>^>0. Дакажам, што л'г>4
Гэта і будзе азначаць, што пры дадатных значэннях аргумента х функцыя у = хг манатонна ўзрастае.
Маем:
tn	т
—	п г	— п /
xf = Xjn = y Xi”1; х/ = х2" = у х2т.
Паколькі х2 > хх > 0, то х2т > х^, прычым абодва гэтыя лікі дадатныя. Таму і
п / п /
У х2т> / х^, т т
гэта значыць х2п > Xjл , або х2г > х/.
Як відаць з рысунка 103, крывыя у = хг з ростам х падымаюцца ўсё вышэй і вышэй. Гэта з’яўляецца графічным пацверджаннем 2й уласцівасці ступеннай функцыі.
Уласцівасць 3. Калі лік г адмоўны, то пры дадатных значэннях аргуменпга х функцыя у = хг з'яўляецаа манатонна ўбываючай.
/72
Д о к а з. Няхай х2 > хх > 0 і г =—, дзе т і п — нату
ральныя лікі. Пакажам, што
х2г < хіг
Гэта і будзе азначаць, што пры дадатных значэннях аргумента х функцыя у = хг манатонна ўбывае. Маем:
т ।	пі ।
х2г = х2“ “= —5^; х/ = хГ ^ = —
Х2 п	Xjп
205
Паколькі х2 > хх > 0, то па 2й уласцівасці ступеннай функцыі х2п>х1п. Значыць,
Рыс. 103.	Рыс. 104.
або x2r < x/, што і трэба было даказаць.'
У заключэнне адзначым яшчэ адну важную ўласцівасць ступеннай функцыі.
Уласцівасць 4. Калі лік г дадатны, то пры неабмежаваным набліжэнні х да 0 адпаведныя значэнні функцыі у = хг неабмежавана набліжаюцца да 0; пры неабмежаваным узрастанні х адпаведныя значэнні функцыі у = хг неабмежавана ўзрастаюць.
Калі лік г адмоўны, то пры неабмежаваньім набліжэнні х да 0 адпаведныя значэнні функцыі у = хг неабмежавана ўзрастаюць; пры неабмежаваным росце х адпаведныя значэнні функцыі у = хг неабмежавана набліжаюцца да нуля.
Гэту ўласцівасць ступенных функцый лёгка зразумець, калі разглядаць графікі, якія паказаны на рысунках 103 і 104. Строгага доказу гэтых уласцівасцей мы не прыводзім.
Практыкаванні
600. Што больш:
б) (2 / 3) 3 або (3 / 2) 3 ;
206
в)	0,357 3 або 0,358 3; 2	_
г)	(/21) 7 або (2/5) 7 ?
601.	Вядома. што т, п, р і q— натуральныя лікі, прычым
— >у. Што можна сказаць аб дадатным ліку а, калі: т р	т	р
a) а л > a ’; б) а ">а «?
602.	Якія з дадзеных лікаў больш 1 і якія менш 1:
6
в)
Задачы на паўтарэнне
603.	Якія вядомыя вам фізічныя законы апісваюцца з дапамогай ступенных функцый у=ахг? Які фізічны сэнс маюць у іх параметры а і г?
604.	Якія з прыведзеных ніжэй формул выражаюць тэарэмы і якія — азначэнні (т і п — адвольныя натуральныя лікі):
а)	а° = 1;	в) ап = / ап;
б)	а~т = ^; г) атап = ат~п?
605.	Пабудаваць графікі наступных функцый:
а)	у = / (х — 2)2 і у = х — 2;
6)	у = F(^+ I)3 і У = х+1;
в)	У =У2 і у — (х — 3)(х + 2).
606*. Вылічыць афх2 I 2 + I a — х2 2 пры х — 4(а — 1).
Вызваліцца ад радыкалаў у назоўніках дробаў (№ 607, 608):
3 + 4/"2 + 2/'35/1	2 + /3 + /1
OU/. 7=7—. DUO. 7=
1+/2—/6	1+/5—/3
Размясціць у парадку ўзрастання лікі (№ 609—611):
207
612. Даказаць формулы складаных радыкалаў:
(а>0, 6>0, / а2 —6>0)
Выкарыстоўваючы формулы складаных радыкалаў, спрасціць выразы (№ 613615):
613. /5 + 2]/'б.	614. /6 —/20.
615.	]/10^2]Ж.
616.	Даказаць, што пры 1^х^2
|Л + 2	= 2.
Рашыць ураўненні (№ 617—619):
Дадзеныя выразы (№ 620—623) спрасціць шляхам вынясення множнікаў за знак радыкала.
620.	У~^Ь.	622. /W.
621.	//^	623. /W.
624.	Размясціць у парадку ўзрастання лікі:
1; /"2;
208
625. Вылічыць
пры
х = 5,. у = 20.
626. Вылічыць
калі вядома, што

Раздзел V
ТРЫГДНАМЕТРЫЧНЫЯ ФУНКЦЫІ
§ 89.	Паняцце вектара і вохі
Усе велічыні, якія вывучаюцца ў матэматыцы і фізіцы, можна разбіць на дзве групы. Да адной групы адносяцца тыя велічыні, якія цалкам характарызуюцца іх лікавымі значэннямі. Гэта даўжыня, плошча, аб’ём, час, маса і іншыя велічыні. Калі мы скажам, што даўжыня алоўка 10 см або тэмпература паветра роўна —5°, то даўжыня алоўка і тэмпература паветра тым са«ым будуць поўнасцю вызначаны. Але побач з такімі велічынямі існуюць і велічыні, якія нельга поўнасцю ахарактарызаваць лікавымі значэннямі. 3 фізікі, напрыклад, вядома, што сіла, скорасць, паскарэнне і некаторыя іншыя велічыні характарызуюцца не толькі сваімі лікавымі значэннямі, але і напрамкамі. Калі на матэрыяльны пункт дзейнічае сіла 5 кГ, то для таго каб сказаць, да чаго гэта прывядзе, трэба ведаць яшчэ напрамак гэтай сілы. Для поўнага апісання падобных велічынь побач з лікавымі значэннямі неабходна задаваць і іх напрамкі.
Велічыні, якія поўнасцю вызначаюцца сбаімі лікавымі значэннямі, называюцца скалярнымі. Велічыні, якія характарызуюйца не толькі сваімі лікавымі значэннямі, але і напрамкамі, называюцца вектарнымі велічынямі.
Любую скалярную велічыню можна характарызаваць адрэзкам лікавай прамой. Напрыклад, даўжыню алоўка 10 см можна характарызаваць адрэзкам ОА (рыс. 105), даўжыня якога роўна даўжыні алоўка. Тэмпературу —5° можна характарызаваць на лікавай прамой адрэзкам ОВ (рыс. 105), дзе пункт В знаходзіцца ад пункта 0 на адлегласці ў 5 адзінак даўжыні і ляжыць злева ад 0, паказваючы, што на дварэ 5° марозу, а не цяпла.
Такая інтэрпрэтацыя вектарных велічынь была б няпоўнай. Але падобна да таго як скалярныя велічыні можна характарызаваць адрэзкам лікавай прамой, вектарныя велічыні можна характарызаваць накіраванымі адрэзкамі, або вектарамі.
210
Вектар ёсць накіраваны адрэзак, гэта значыць адрэзак з фіксаеаным становішчам свайго пачатку і свайго канца.
Напрамкам вектара лічыцца напрамак ад яго пачатку да яго канца. Звычайна вектар абазначаецца дзвюма літарамі, над якімі ставіцца стрэлачка, накіраваная вастрыём управа.
Пры гэтым першая літара абазначае пачатак вектара, а другая — канец. Так, вектары, якія паказаны на рысунку 106, абазначаюцца
AB, CD, EF.
Адзіна істотнай характарыстыкай адрэзка з’яўляецца яго даўжыня. Вектар жа мае некалькі характарыстык: пачатак, напрамак, даўжыню. Кожная з гэтых характарыстык з’яўляецца пасвойму важнай. Няведанне хаця б адной з іх робіць вектар нявызначаным.
Побач з паняццем вектара, або накіраванага адрэзка, вялікую ролю ў матэматыцы адыгрывае таксама паняцце накіраванай прамой, або восі.