Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Рыс. 98.
абмежавана ўзрастаюць (або неабмежавана ўбываюць), адпаведныя значэнні функцыі у неабмежавана набліжаюцца да нуля, застаючыся ўвесь час дадатнымі. Пры неабмежаваным набліжэнні значэнняў аргумента х да нуля (як злева, так і справа) адпаведныя значэнні функцыі у неабмежавана ўзрастаюць. Вобласцю змянення функцыі у=х~2 з’яўляецца сукупнасць усіх дадатных лікаў.
174
Практыкаванні
538. Пабудаваць графікі функцый:
а) У = (х—ІГ1! г^НхГ1;
б) У = (х+ 2)1; Й У = х2 — 2;
в)«/ = |хЧ; ^у = 7Ті
§ 75. Корань яй ступені з сапраўднага ліку a
Няхай п — натуральны лік, большы або роўны 2, a a—адвольны сапраўдны лік. Тады коранем nй ступені з ліку а (абазначаецца ^ а) называецца лік, nя ступень якога рэўна а.
Напрыклад, ^ —8 = —2, таму што (—2)3 =— 8; ^ 81 = 3, таму што 34 = 81. Лік —3 таксама з’яўляецца коранем 4й стугіені з ліку 81, паколькі (—3)4 = 34=81.
Увайшло ў звычай корані другой ступені называць квадратнымі, а корані трэцяй ступені — кубічнымі. У выразах тыпу Y a лік 2 звычайна апускаюць і пішуць проста У а.
Фактычна корань nй ступені з сапраўднага ліку а мы вызначаем як корань ураўнення
хп = а.
Ураўненні, як мы ведаем, могуць мець, а могуць і не мець кораняў. Зусім гэтак жа корань nй ступені з ліку а можа існаваць, а можа і не існаваць. Калі ж ён існуе і колькі розных значэнняў можа ён прымаць? Гэта пытанне будзе разгледжана ў наступных параграфах.
Практьікаванні
539. У якую суму ператворыцца грашовы ўклад у а рублёў праз п год, калі штогадовы прырост складае р%?
540. Вызначыць штогадовы прырост, калі вядома, што праз кожныя 20 год уклад павялічваецца ў два разы.
541. Прадукцыйнасць працы павялічваецца кожны год на адзін і той жа лік працэнтаў у параўнанні з мінулым годам. У выніку за тры гады яна ўзрасла на 27%. На колькі працэнтаў яна павялічвалася кожны год?
542. На колькі працэнтаў трэба павялічваць прадукцыйнасць працы штогод, каб за 7 год яна вырасла ў два разы?
175
§ 76. Корань яй ступені з дадатнага ліку
Тэарэма 1. Для любога дадатнага ліку а існуе дадатны корань пй ступені.
Іншымі словамі, для любога натуральнага ліку п і любога дадатнага ліку а ўраўненне
хп = а
мае дадатны корань.
Мы не будзем даказваць гэту тэарэму, а скажам толькі, як можна знаходзіць набліжанае значэнне дадатнага кораня ступені п з дадатнага ліку а. Знойдзем, напрыклад, набліжанае значэнне V.
Пабліжанымі значэннямі кораня з дакладнасцю да 1 будуць, відавочна, 1 (з недахопам) і 2 (з лішкам^Каб знайсці першы дзесятковы знак набліжанага значэння у 2, знойдзем у радзе
1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0
два такія лікі, што стаяць побач, каб куб першага з іх быў менш 2, а куб другога — больш 2. Для гэтага возьмем з лікаў нашага рада сярэдні 1,5 і ўзвядзём яго ў куб. Мы знойдзем: 1,53= 3,375, што больш 2. Паколькі лікі, што стаяць справа ад 1,5, пры ўзвядзенні ў куб даюць рэзультат яшчэ большы, то мы можам адкінуць усю правую палавіну рада і далей выпрабоўваць толькі лікі:
1,1; 1,2; 1,3; 1,4;
Узвядзём у куб сярэдні з гэтых лікаў 1,2. Атрымаем 1,728, што менш 2. Куб ліку 1,1 будзе яшчэ меншы. Значыць, далейшаму выпрабаванню падлягаюць толькі лікі 1,3 і 1,4.
Узвёўшы ў куб 1,3, атрымаем 2,197, што больш 2. Значыць, мы знайшлі два лікі 1,2 і 1,3, такія, што куб першага з іх менш 2, а куб другога больш 2. Гэтыя лікі і будуць набліжанымі значэннямі |^2 з дакладнасцю да 0,1: 1,2 — з недахопам, a 1,3 — з лішкам.
Для знаходжання сотых доляў патрэбна выпрабаваць наступныя лікі:
1,21; 1,22; 1,23; 1,24; ...; 1,29
Узяўшы ў гэтым радзе сярэдні лік 1,25 і ўзвёўшы яго ў куб, знойдзсм 1,253= 1,953125, што менш 2. Значыць, цяпер трэба выпрабаваць толькі лікі
1,26; 1,27; 1,28; 1,29.
Маем: І,263=2,000376, што больш 2. Значыць, набліжанымі значэннямі /2 з дакладнасцю да 0,01 будуць: 1,25 (з недахопам) і 1,26 (з лішкам).
176
Калі дадзены працэс знаходжання паслядоўных дзесятковых знакаў кораня прадоўжыць далей, то мы будзем атрымліваць значэнні т/~2 усё з большай і большай дакладнасцю.
Мы паказалі на прыкладзе, як набліжана, але з любой ступенню дакладнасці можна адшукаць корань трэцяй ступені з дадатнага ліку 2. Такім жа чынам можна знаходзіць набліжаныя значэнні кораня любой ступені з любога дадатнага ліку.
п /
Адзначым, што каліу а дадзім у выглядзе канечнага дзесятковага дробу, то ў прынцыпе з дапамогай апісанага метаду значэнне кораня можна атрымаць абсалютна дакладна (а не набліжана).
Тэарэма 2. Усякі дадатны лік а мае роўна адзін дадатны корань ступені п.
Доказ будзем весці метадам ад адваротнага. Дапусцім, што існуе некалькі розных дадатных кораняў nй ступені з дадатнага ліку а. Няхай b і с — два такія корані. Тады
bn = cn = a. (I)
Паколькі лікі b і с розныя, то адзін з іх большы за другі. Няхай, напрыклад, Ь>с. Тады павінна быць Ьп>сп, але гэта супярэчыць суадносіне (1). Значыць, наша меркаванне аб існаванні некалькіх розных дадатных кораняў няправільнае. Такім чынам, існуе толькі адзін дадатны корань nй ступені з дадатнага ліку а.
А ці існуюць адмоўныя корані nй ступені з дадатнага ліку а? Адказ на гэта пытанне даюць наступныя тэарэмы.
Тэарэма 3. Адмоўны корань няцотнай ступені з дадатнага ліку не існуе.
Іншымі словамі, пры дадатным а ўраўненне
x2k^ — a
не мае адмоўных кораняў.
Доказ гэтай тэарэмы вельмі просты, і таму мы апускаем яго. Вучні без асаблівай цяжкасці могуць правесці яго самастойна.
Тэарэма 4. Адмоўны корань цотнай ступені з дадатнага ліку існуе і прытым толькі адзін. Ён адрозніваецца ад дадатнага кораня з гэтага ліку толькі знакам.
Д о к а з. Няхай b ёсць дадатны корань ураўнення
x2k = a (а>0).
Такі корань існуе па тэарэме 1. Але тады
b2h—a
177
I, значыць,
^b^ = a.
A гэта азначае, што адмоўны лік —Ь з’яўляецца коранем пй ступені з ліку а. Тым самым даказана існаванне адмоўнага кораня.
Дапусцім цяпер, што адмоўных кораняў ступені 2k з дадатнага ліку а некалькі. Няхай —Ь і —с — два такія корані. Тады (—b)2h= (—c)2h=a.
Адсюль вынікае, што
b2h — c2k = a.
Значыць, існуюць два розныя дадатныя корані ступені 2k з дадатнага ліку a: b і с. Але гэта супярэчыць тэарэме 2. Такім чынам, наша меркаванне аб існаванні двух розных адмоўных кораняў ступені 2k з ліку а няправільнае. Тым самым даказана адзінасць адмоўнага кораня.
Тэарэма 4 даказана.
Аб’ядноўваючы цяпер тэарэмы 1, 2, 3 і 4, мы прыходзім да наступнага вываду:
Існуе роўна адзін корань няцотнай ступені з дадатнага ліку. Гэты корань дадатны.
Існуюць роўна два корані цотнай ступені з дадатнага ліку. Гэтыя корані роўныя па абсалютнай велічыні і процілеглыя па знаку.
Прыклады. /32 = 2; /125 = 5; ^16= + 2; ^81 = + 3.
Практыкаванні
543. Знайсці ўсе значэнні кораняўі
а) /125; в) /4096;
б) /1296; г) /4096.
544. Ці можна сцвярджаць, што / 9 > / 4?
545. Знайсці ўсе значэнні, якія можа прымаць выраз /т+уі.
§ 77. Арыфметычнае значэнне кораня
У папярэднім параграфе было паказана, што любы дадатны лік мае два корані _цотнай ступені: дадатны і адмоўны. Напрыклад,/ 9 = ± 3; / 16 = + 2 і г. д.
Дадатны корань цотнай ступені з дадатнага ліку называецца яго арыфметычным значэннем_або арыфметычным коранем. Так, арыфметычным значэннем ]/ 9 будзе лік 3, а арыфметычным значэннем / 64 — лік 2.
178
2k__
Усюды ў далейшым пад у a (a > 0) мы будзем падразумяваць арыфметычны корань ступені 2k з ліку а. Напрыклад, ]/~16 = 4, } "25 = 5 і г. д. У сувязі з гэтым карысна адзначыць наступную важную формулу:
х, калі х > 0, — х, калі х < 0,
0, калі х = 0.
Іншымі словамі,
V X2 = |х|.
Памылкова было б напісаць V х2—х, таму што пры адмоўных значэннях х мы мелі б справу з адмоўным (неарыфметычным) коранем.
П р ы к л’а д ы.
1) / (4 —a)2 = |4a! =
4 — а, калі a < 4, a — 4, калі a > 4, 0, калі a = 4;
2) V (х2 + х + I)2 = х2 + х + 1.
У дадзеным выпадку знак модуля можна не пісаць, таму што пры любых значэннях х х2+х+1>0.
Практыкаванні
546. .Знайсці арыфметычныя значэнні кораняў: а) /'М2; в) / (2х23х+ I)2;
б) і/Тх+іУ2; г) /НЗхЯ^Л)2.
547^Пабудаваць графікі функцый:
а) у = УТх^Яі в) 0 = / ^;
б) У^^~> г) у = —/ х5.
548. ■Вылічыць суму
У(хіу + У (3 —х)2.
549. Пабудаваць графік функцыі
у = V (X— I)2 + /(3х)2.
550. Рашыць ураўненне
/ (х — 322 + / (5 — х)2 = 2.
179
551. Рашыць ураўненні:
a) / (х 4 6)2 = х 4 6;
б) /(1 — 2х)4 = (1 — 2х)2;
в) /(х2 + 2х — З)2 = х2 + 2х — 3;
г) /(8 — 4х — х2)2 = х2 + 4х — 8.
§ 78. Корань яй ступені з адмоўнага ліку —а.
Тэарэма 1. Кораняў цотнай ступені з адмоўнага лікў не існуе.
Іншымі словамі, ураўненне
х^=—а (а>0)
не мае сапраўдных кораняў.
Мы прапануем вучням даказаць гэту тэарэму самастойна.
Тэарэма 2. Існуе і прытым толькі адзін корань няцотнай ступені з адмоўнага ліку. Гэты корань адмоўны.
Іншымі словамі, ураўненне
x2k+i — __a (а>0)
мае адзіны корань. Гэты корань з’яўляецца адмоўным.
Д о к а з. Перш за ўсё пакажам, што корань няцотнай ступені 2^41 з адмоўнага ліку —а не можа быць дадатным. Калі б гэты корань (абазначым яго праз Ь) быў дадатным, то ў роўнасці b2h+i — —a левая частка была б дадатнай, а правая — адмоўнай.
Цяпер пакажам, што адмоўны корань няцотнай ступені 2^41 з адмоўнага ліку —а існуе.
Лік а дадатны, і таму ён мае дадатны корань ступені 2^41 (тэарэма 1, § 76). Абазначым яго праз Ь. Тады
Ь2ь+\=а
Адсюль вынікае, што
(—fc) 2ь+і = _^2й+і _ _а:
Але гэта і азначае, што адмоўны лік —Ь з’яўляецца коранем ступені 2^41 з адмоўнага ліку —а.
Засталося толькі паказаць, ште існуе не больш аднаго адмоўнага кораня няцотнай ступені 2^+1 з ліку —а.
Для доказу дапусцім адваротнае, гэта значыць, што існуе некалькі такіх кораняў. Няхай —b і —с — два такія корані. Тады (—б)2^^—а, (—c)2ft+’ = —a. (1)
180
Але паколькі лік 2^+1 няцотны, то
(_^+1 = —й2Л+1.
( — C'j 2Л|1 ■ —_^2/і}1^і
Таму з (1) вынікае, што
Р+1=йі С2Ь+1_.д
А гэта, у сваю чаргу, азначае, што дадатны лік а мае два розныя дадатныя корані ступені 2H1: b і с, але гэта супярэчыць тэарэме 2 з § 72.
Тэарэма поўнасцю даказана. Аб’ядноўваючы тэарэмы 1 і 2, мы прыходзім да наступнага вываду.
Кораняў цотнай ступені з адмоўнага ліау не існуе.
Існуе роўна адзін корань няцотнай ступені з адмоўнага ліку. Гэты корань з'яўляецца адмоўным.
КНІГІ ОНЛАЙН
