Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Гэтых заўваг ужо дастаткова для таго, каб мы маглі разгледзець некалькі тыповых прыкладаў ірацыянальных ураўненняў.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне
/х —2 + /1—х = 3.
150
Квадратныя корані можна здабываць толькі з неадмоўных лікаў. Таму дапушчальныя значэнні невядомай велічыні х павінны задавальняць сістэме няроўнасцей
х2>0, 1—х^О.
Першая няроўнасць гэтай сістэмы дае х^2, другая х^І. Відавочна, што адначасова гэтыя ўмовы выконвацца не могуць. Таму мноства дапушчальных значэнняў невядомай велічыні х у дадзеным выпадку пустое, гэта значыць не змяшчае ніводнага ліку. Але ў такім выпадку дадзенае ўраўненне не можа мець сапраўдных кораняў.
Разгледжаны прыклад вучыць нас пастаянна памятаць аб наступнай важнай акалічнасці. Перш чым рашаць тое ці іншае ірацыянальнае ўраўненне, трэба быць упэўненым, што мноства дапушчальных значэнняў невядомай велічыні не пустое. Калі ні адзін з лікаў не з’яўляецца дапушчальным для невядбмай велічыні, то можна адразу ж сказаць, што ўраўненне не мае кораняў.
П р ы к л а д 2. Рашыць ураўненне
У х + /1 — х = — 2.
Hi адзін з кораняў У х і ]/1—х не можа быць адмоўным. Таму ні пры якіх сапраўдных значэннях велічыні х сума гэтых кораняў не можа раўняцца —2. Значыць, дадзенае ўраўненне таксама не мае кораняў.
Заўважым, што тут не было неабходнасці даследаваць, якія значэнні можа прымаць невядомая велічыня х. Адсутнасць кораняў дадзенага ўраўнення мы ўстанавілі і без гэтага даследавання.
Мы разгледзелі два найпрасцейшыя прыклады ірацыянальных ураўненняў. У наступным параграфе будуць разгледжаны больш складаныя прыклады.
Практыкаванні
Паказаць, што дадзеныя ўраўненні не маюць кораняў:
471. /П + Ух + 3 = — 1.
472. ]/2х —7 + /7 = 0.
473. /3x^5 + /б^х = — 7.
474. f 4 4х + /Г=1 = 6.
151
§ 66. Прыклады рашэння ірацыянальных ураўненняў
Звычайны спосаб рашэння ірацыянальных ураўненняў заключаецца ў вызваленні іх ад радыкалаў і звядзенні да ўжо вывучаных намі тыпаў алгебраічных ураўненняў (напрыклад, да лінейных або квадратных). Дасягнуць гэтага іншы раз удаецца • шляхам пачленнага ўзвядзення ірацыянальнага ўраўнення ў ступень. Растлумачым гэта на радзе прыватных прыкладаў.
Прыклад 1. Рашыць ураўненне
х = /2х.
Мноства дапушчальных значэнняў велічыні х вызначаецца няроўнасцю х^2. Каб сярод усіх гэтых значэнняў знайсйі корані нашага ўраўнення, узвядзём абедзве яго часткі ў квадрат. У рэзультаце атрымаем
х2=2—х, х2+х_.2=0, адкуль
Хі = —2, х2=1.
Кожны з двух атрыманых лікаў трапляе ў мноства дапушчальных значэнняў велічыні х. Але гэта яшчэ не азначае, што —2 j і _ корані дадзенага ўраўнення. Да ўраўнення ж х2=2—х мы прыйшлі шляхам пачленнага ўзвядзення ў квадрат зыходнага ўраўнення
х = ]/2^.
Але да такога ж рэзультату мы прыйшлі б, калі б пачленна ўзвялі ў квадрат не гэта, а іншае ўраўненне х=— V 2—х, адрознае ад дадзенага. Такім чынам, у рэзультаце выкананых пераўтварэнняў мы можам атрымаць новыя, пабочныя корані ■ корані ўраўнення х=—]/2—х, якія нас у дадзеным выпадку не цікавяць. Вось чаму перш чым даць адказ на дадзеную задачу, неабходна зрабіць праверку атрыманых кораняў.
Пры х=—2 левая частка дадзенага ўраўнення прымае значэнне —2, а правая У4 = 2. Паколькі —2=0=2, лік 2 не ёсць корань дадзенага ўраўнення. Пры х=1 абедзве часткі нашага ўраўнення прымаюць значэнні, роўныя 1. Таму 1 — корань гэтага ўраўнення.
Значыць, дадзенае ўраўненне мае адзін корань х—1. Што ж датычыцца да ліку —2, атрыманага намі вышэй, то ён, як і трэба было чакаць, з’яўляецца коранем ураўнення х=— J 2—х,
П р ы к л а д 2. Рашыць ураўненне
х = 1 + Ух[ 5.
152
Мноства дапушчальных значэнняў велічыні ў дадзеным выпадку вызначаецца няроўнасцю х^—5.
Перанёсшы 1 з правай часткі ў левую і ўзвёўшы абедзве часткі атрыманага ўраўнення ў квадрат, мы прыходзім да ўраўнення
(хI)2 = (/Г+5)2.
х2—2х+1 =х45, х2—Зх—4 = 0, адкуль
Хі=4, х2= —1.
Праверка паказвае, што ў гэтых двух лікаў коранем дадзенага ўраўнення з’яўляецца толькі лік 4, Лік —1 з’яўляецца пабочным коранем.
Адказ. Дадзенае ўраўненне мае адзіны корань х=4.
П р ы к л а д 3. Рашыць ураўненне
/х^5 + ]/1О^х = 3.
Мноства дапушчальных значэнняў вызначаецца, відавочна, няроўнасцю
5^х^ 10.
Узвёўшы абедзве часткі дадзенага ўраўнення ў квадрат, мы атрымаем
х — 5 + 2 /7х^5ДТО^х)’+ 10 — х = 9,
2 КТх^бЙІО^О = 4, /0^5)710^x7 = 2.
3 апошнім ураўненнем мы зробім гэтак жа, як і з зыходным: узвядзём яго пачленна ў квадрат. У рэзультаце атрымаем
(х5) (10х)=4, х2+15х50=4, х215х+54 = 0.
Значыць, у рэзультаце двухкратнага пачленнага ўзвядзення дадзенага ўраўнення ў квадрат у спалучэнні з іншымі элементарнымі пераўтварэннямі мы прыйшлі да простага квадратнага ўраўнення, корані якога роўны
Х1 = 6, Х2 —9.
Праверка паказвае, што абодва гэтыя лікі з’яўляюцца коранямі дадзенага ўраўнення.
А д к а з. Хі=6, Хг=9. \
П р ы к л а д 4. Рашыць ураўненне
/х + 7 + /х— 1 =4.
Мноства дапушчальных значэнняў невядомай велічыні х вызначаецца ў дадзеным выпадку няроўнасцю х>1. Гэта ўраўненне можна было б рашыць тым жа спосабам, якім мы рашалі папя
153
рэдняе ўраўненне. Для гэтага нам прыйшлося б двойчы прымяняць метад пачленнага ўзвядзення ў квадрат.
Аднак у дадзеным выпадку лепш выкарыстаць наступны прыём. Памножым пачленна дадзенае ўраўненне на выраз /х+? — — Vх.— 1, супрэжаны* выразу ]/х 47 4}/х—1 У рэзультаце, выкарыстоўваючы формулу для здабытку сумы двух лікаў на іх рознасць, атрымаем
(/Г+7 + /^Л) (/Г+7 Кх~) =
= 4 (/7+7 —/7^1), або
(х + 7)(х1) = 4(/Г+7/Т^Т).
Адсюль
4 (1/T+7 — /7^1) =8, ]/х + 7 — /х — 1 =2.
Цяпер мы маем:
/ГЙ + УГЛ = 4,
/7+7 — /Т^Т = 2.
Складаючы пачленна гэтыя ўраўненні, атрымліваем
2 /х + 7 = 6, адкуль
/х + 7 = 3, х + 7 = 9, х = 2.
У працэсе рашэння дадзенага ўраўнення нам давялося абедзве яго часткі памножыць на /х|7/х1. Але ў рэзультаце такога пераўтварэння маглі атрымацца пабочныя корані. Вось чаму цяпер неабходна праверыць, ці з’яўляецца атрыманы лік 2 коранем зыходнага ўраўнення.
Пры х=2 левая частка дадзенага ўраўнення прымае значэнне
/9 + /Т = 3+ 1 =4.
Значыць, х=2 — корань дадзенага ўраўнення.
А д к а з. Дадзенае ўраўненне мае адзін корань х—2.
* Адзін выраз, які змяшчае знак радыкала, называецца супрэжаным другому выразу, які змяшчае знак радыкала, калі здабытак гэтых выразаў можна запісаць ужо без знака радыкала. Так, выраз/х + 7— Ух—1 з’яўляецца супрэжаным выразу ўх+7+Ух— 1> паколькі (ўх+ 7 + /х1)X X (р х + 7 — Кх — 1) = (х + 7) — (х — 1) = 8; выраз / а 4 1 будзе супрэжаным выразу У a — 1, паколькі (/а1)(/а+1)=а1, і г. д.
154
^„^ ть'
'іі¥іч !вны" —Г ?ЮЦЬ ПРЫкляп»
b
>а+тнні з’яўляецца важнан дянальных ураўненняў.
ожам страціць
I : о ....
састаўнон часткан рашэпня^па
Практыказанні
Рашыць ураўненні:
475. 1^7 +/Г=^3 = 2. 479. У 2х + 1 = 2 /7 — ] х —3.
476. /1 Зх = 3 + х. 480. У 1 + х/ х2 +”24 = х + 1.
477. 21 + ]/ 2х —7 = х. 481. /Ох +/й х = / 2а.
478. ]/4^х + )/5 + х=3. 482. У х^З — Ух + 3 = 2—]/10.
§ 67. 3 гісторыі развіцця алгебры
Метады рашэння квадратных ураўненняў бьілі вядомы яшчэ ў старажытдя часы. Яны выкладаюцца, наяр.ьіклад, у вавілонскіх рукапісах часоў цара амурапі (XX ст. да н. э.), у працах7>цражытнагрэчаскага матэматыка Е уліда (III ст. да н. э), у старажытных* кітайскіх і японскіх трактатах.
Многія матэматыкі старажытнасці рашалі квадратныя ўраўненні геаметмчным спосабам. Напрыклад, для рашэння ўраўнення х+10х=39 рабілі іступнае. Няхай АВ=х, ВС—5 ( = 10:2). На старане АС=АВ\ВС будаваўс квадрат, які разбіваўся на чатыры часткі, як паказана на^ рысунку У2. Ідавочна, што сума плошчаў 1, 2 і 3й частак роўна х+Юх, або 39.
Калі да гэтай плошчы дадаць плошчу 4й часткі, то ў рэзультаце атрывецца 64 — плошча ўсяго квадрата. Але гэта ж плошча роўна (х+5) , таму
іто АС=х+5. Такім чынам, (х+5)2=64, х+5=8, х=3.
У некаторых старажытных рукапісах змяшчаюцца прыклады рашэння пзыведзеных квадратных ураўненняў, якія па сутнасці адпавядаюць формуле
1 2
3 4
Праўда, задачы гэтыя рашаюцца не ў агульным выглядзе, а толькі пры пэўных лікавых значэннях каэфіцыентаў. Аднак метады рашэння не пакідаюць сумнення ў тым, што аўтарам іц былі знаёмы агульныя правілы. Тут трэба сказаць.зцто ў старажытныя часы літарныя абазначэнні яшчэ не выкарыстоўваліся. Сістэматычна іх увёў у мат^іатыку _ толькі французскі матэматык В і е т, чыё імя носіць вядомая нам тэарэма аб коранях прыведзенага квадратнага ўраўнення. Адмоўныя лікі таксама не былі шырока вядомы вучоным старажытнасці. Таму аб формуле (1) як такой, безумоўна, не магло быць С і гутаркі.
Дастаткова падрабязна метады рашэння квад
Рыс. 92. ратных ураўненняў выкладзены ў працах славутага
155
гэтай кнізе разглядаліся 1 &д гэтага —»■
,,„,пэп^ «ЯЛДЖЭбО».
ладачы на паўтарэнне
483. Якія вядомыя вам фізічныя законы апісваюцца пры дапамозе квадратных функцый?
484. Чаму роўны лік с, калі пры любых значэннях a і b vpavне™ йх+^+С:=0 заўсёды мае хоць бы адзін корань?
485. Пры якіх значэннях а корані ўраўнення
(«1)х2—2(а + 1)х+(аН) =0 роўныя паміж сабой?
486. Раскласці выраз
2х (2х+&) —a (4х—а) —ab
на лінейныя адносна х множнікі.
4$7’ Вядома, што пры любых значэннях х квадратны трохчлен ax +Ьх+с прымае дадатныя значэнні. Даказаць, штс а^’ V' можна сцвярджаць, што ў разглядваемым выпадкУ Адказ растлумачыць прыкладамі.
488. Вядома, што пры любых значэннях х
^І^ ~\~Ь [Х~\С\'^5 СІуХ^ \b2X\С2',
Даказаць, што йі^а2, ^і^с2. Ці можна сцвярджаць, што ў раз глядваемым выпадку bi^b2? г
489*. Рашыць ураўненне
490. Пры якіх значэннях х выраз „ « — 1 _
роунас T^w?
491. Рашыць ураўненне
х—1
прымае значэнне,
. bx 2аЬ
х4—— = j
х—2а х—2а
492. Пры якіх значэннях а корані ўраўнення х2+х—a (14a) — 0
маюць:
а) аднолькавыя знакі;
б) розныя знакі?
156
493. Ці могуць выразы х2ах+1 і 2х24а^+3 быць роўны пры трох розных значэннях х?
494. Пры якіх значэннях а няроўнасць
ах2+(а—1)х+(а—1) <0
выконваецца для ўсіх значэнняў х?
Рашыць няроўнасці (№ 495, 496):
495
х28х+15
496.
х+2 х2—7x4*6
497. Пры якіх значэннях а ўраўненне (2а1)х2+(3а)х+1=0 мае сапраўдныя корані?
498. Пры якіх значэннях а ўраўненне 5(10а)х210х+6а=0:
а) мае корані;
б) мае не больш аднаго кораня;
в) не мае кораняў;
КНІГІ ОНЛАЙН
