Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Рыс, 70.
х=0 — у прамую х—р (рыс. 70). Таму вяршыняй парабалы у—а(х— —Р)2 будзе пункт з каардынатамі (Р, 0), а воссю сіметрыі — прамая х=р.
Парабала у—ах2 накіравана ўверх пры а>0 і ўніз пры а<0. Таму TaKi ж напрамак будзе мець і парабала ^«(хр)2,
Такім чынам, графікам функцыі у = а(хр)2 з’яўляецца парабала, накіраваная ўверх, калі а>0, і ўніз,
калі а<0. Вяршыняй гэтай парабалы з’яўляецца пункт з каардынатамі (р, 0), а воссю сіметрыі — прамая х = р.
Зусім гэтак жа не можа быць пабудаваны і графік функцыі у = а(хфр)2, дзе р>0. Ен уяўляе сабой парабалу, якая атрымліваецца пры дапамозе зрушэння парабалы у—ах2 улева на р. Гэта парабала накіравана ўверх, калі а>0 (рыс. 71а), і ўніз, калі а<0 (рыс. 716). Вяршыня яе знаходзіцца ў пункце з каардынатамі (—р, 0); воссю сіметрыі служыць прамая х=—р.
Рыс. 716,
На рысунку 72 вы бачыце графік функцыі у=2(х+1)2. Ён атрыман пры дапамозе паралельнага пераносу парабалы у=2х2
135
улева на 1. Графік функцыі z/=—0,5(х{3)2 (рыс. 73) атрыман пры дапамозе паралельнага пераносу парабалы у=—0,5х2 улева на 3.
4. Графік функцыі у = «(х— ₽)2 + у. Гэты графік атрымліваецца пры дапамозе зрушэння парабалы у — а(х — ^2 па напрамку восі у уверх на адлегласць у, калі т > 0, і ўніз на адлегласць —т, калі у < 0. У выніку зрушэння атрымліваецца парабала з вяршыняй у пункце, каардынаты якога роўны (р, у). Воссю сіметрыі такой парабалы служыць прамая х = р.
Пры зрушэнні ўверх або ўніз парабала г/=а(х—р)2 не мяняе свайго напрамку. Таму парабалы у=а(х—р)2+7 і у=а(х—р)2 маюць адзін і той жа напрамак: пры а>0 накіраваны ўверх, а пры а<0 — уніз.
У якасці прыкладу на рысунку 74 дадзен графік функцыі і/=0,5(хфЗ)2+1, які атрымліваецца зрушэннем графіка # = —0,5(хЦ3)2 уверх на 1. На рысунку 75 вы бачыце графік функцыі у=2(х—I)2—3, атрыманы з графіка у=2(х—I)2 зрушэннем уніз на 3 па восі сіметрыі.
5. Графік функцыі у = ах2 + Ьх + с. Як адзначалася ў § 49, квадратны трохчлен ах2 \Ьх \ с можна запісаць у выглядзе
й/ 4 іх ф с = a I х 4
2 b2 — 4ас 4а
Апошні выраз мае выгляд а(х—р)2+'у, дзе
a = а; ^ = —
у = ах2 + Ьх + с пункце I^;
2а ’
Ь2 — 4ас
~ 4а
Таму графікам функцыі
з’яўляецца парабала з вяршыняй у Ь2 — 4ас \ „
21. Воссю сіметрыі гэ/паіі
136
парабалы з’яўляецца прамая х ^ ——. Пры рабала накіравана ўверх, а пры a <,0 — уніз.
§ 58. Прыклады пабудавання графікаў квадратнай функцыі
П р ы к л а д 1. Пабудаваць графік функцыі.у=2х2+12х+17.
Пераўтворым квадратны трохчлен 2х2412х+17, вылучыўшы поўны квадрат:
2х2 + 12х + 17 = 2 х2 + 6х ф I =2 (х2 + 2 • Зх + 9)9+
17 2
= 2 (х + 3)2—у
= 2(х + 3)2 —1.
Цяпер пабудаванне графіка можна выконваць у наступнай паслядоўнасці.
1) «Па пунктах» будуем графік функцыі у=2х2 (I, рыс. 76).
2) Зрушваем гэты графік на 3 адзінкі ўлева. У выніку атрымліваем крывую у=2(х+3)2 (II, рыс, 76).
3) Гэту крывую апускаем уніз на 1 (Ш, рыс. 76). Атрыманая па
графік функцыі
рабала і ёсць
у=2х2+12х+17. Яе вяршыня мае каардынаты (—3; —1), а воссю сіметрыі з’яўляецца прамая х=—3.
Прыклад 2. Пабудаваць графік функцыі у=|—2х2+3].
Спачатку пабудуем графік функцыі у=—2х2+3 (рыс. 77а). Затым тую частку гэтага графіка, якая ляжыць вышэй восі х
137
яе —2х2+3>0), аставім без змянення, а тую частку графіякая ляжыць ніжэй восі х (для яе —2х2+3<0), адаб’ём сі.етрычна адносна восі х. Атрыманая ў выніку гэтага крывая (рыс.'77б, суцэльная лінія) і ёсць графік функцыі «/=[—2х243|.
Прахтыкаванні
Пабудаваць графікі дадзеных функцый:
416.^=—2х2+1. 422. у =—3х2+8х+3.
4177у = 0,5х2—2. 423. у=(х—3) (х—5)ф1.
418. г/=(х—2)43. 424.у = )—х2+2|.
419. #=(х+1)22. 425. у= 3х21|.
420. у=—2(х+1,5)2+1. 426. у=|х2+х—2|.
421. у=2х2Зх2. 427. у = |—х2+Зх2).
§ 59. Характарыстычныя пункты парабалы
Характарыстычнымі пунктамі парабалы у = ах2\Ьх\с мы называем яе вяршыню і пункты перасячэння з восямі каардынат.
Вяршыню мае любая парабала у=ах2^Ьх\с. Каардынаты гэтай вяршыні лёгка знайсці, вылучыўшы ў квадратным трохчлене ах2\Ьх\с поўны квадрат (гл. § 49). Напрыклад, для парабалы у = х2+4х|3 маем:
У х2+4х+3=(х+2)21.
Таму абсцыса вяршыні роўна —2, a ардыната —1 (рыс. 78).
Пункт перасячэння з воссю у мае таксама любая парабала y — ax2j\bx\c. Абсцыса пункта перасячэння роўна, відавочна, нулю, а ардыната с. Яна атрымліваецца, калі ў выразе ах2\Ьх\с дапусціць х—0. Напры
клад, пункт перасячэння парабалы
Рыс. 78. у=х2+4х+3 з воссю ардынат (рыс.
78) мае каардынаты (0, 3).
Пункты перасячэння з воссю х мае не ўсякая парабала у=ах2+Ьх+с. Калі дыскрымінант D — b2—iac дадатны, то
ўраўненне ах2+^х+с = 0 мае два розныя сапраўдныя корані:
— b + VD —b—VD
Х1~ 2в ; Х2~ 2«
У гэтым выпадку парабала у—ах2\Ьх\с перасякае вось х у двух пунктах з абсцысамі Xj і Х2. Так, для квадратнага трохчлена х2+4х+ЗО = 16—12—4>0. Гэты квадратнытрохчлен мае два корані: Xi —— 1; х2 = —3. Таму парабала у = х244х|3 пера
138
сякае вось х у двух пунктах (рыс. 78), абсцысы якіх роўны — 1 і 3.
Калі D = b2—Aac=0, то ўраўненне ох2+&х|с=0 мае два роўныя сапраўдныя корані хх = х2 =гэтым выпадку
/ , 6 V ўраўненне парабалы можна запісаць у выглядзе У ~ а\х ' •
Такая парабала датыкаецца да восі х у пункце з абсцысай —у Напрыклад, для квадратнага трохчлена х2 —2х + 1 D=0. Ураўненне х2 —2х + 1 = 0 мае два роўныя корані: хх = х2 = 1. Таму парабала z/ = x2 —2х+ 1 датыкаецца да восі х у пункце з абсцысай 1 (рыс. 79).
Калі D—b2—4ac<0, то ўраўненне ах2+Ьх]с=0 не мае сапраўдных кораняў. У гэтым выпадку парабала не перасякае восі х. Напрыклад, для квадратнага трохчлена х2+2х+3 D = —8<0. Ураўненне х2+2х+3 = 0 не мае сапраўдных кораняў. Парабала у—х2+2х+3 не перасякае восі х (рыс. 80),
Характарыстычныя пункты парабалы заўсёды карысна знаходзіць пры пабудаванні графіка функцыі у—ах2+Ьх+с. Гэта дазваляе больш дакладна пабудаваць графік.
Практыкаванні
Начарціць дадзеныя парабалы, указаўшы каардынаты характарыстычных пунктаў і ўраўненні восяў сіметрыі:
428. г/=3(х2)22.
429. у = —(х+1)2+3,
430. у = 3—2х—х2.
431. у=2х2—2х—4.
432. у = х2+12х+22:
433. t/=x(l—х).
139
§ 60. Экстрэмальныя значэнні функцыі
у = ах2 + Ьх + с
Найменшае, або мінімальнае, з усіх значэнняў, якія прымае квадратная функцыя у=ах2[Ьх\с, геаметрычна можна растлумачыць як ардынату самага нізкага пункта парабалы у=ах2\Ьх\с (рыс. 81), а найбольшае, або максімальнае, значэнне—як ардынату самага высокага пункта парабалы у=ах2\jbx^c (рыс. 82).
Калі а>0, то парабала у=ах2[Ьх\с ідзе неабмежавана ўверх (рыс. 81). У гэтым выпадку самага высокага пункта парабалы не існуе. Таму не існуе і максімальнага значэння функцыі у—ах2\Ьх^с. Але ў гэтым выпадку існуе самы нізкі пункт парабалы — яе вяршыня. З'начыць, існуе мінімальнае значэнне функцыі у=ах2\Ьх\с. Гэта мінімальнае значэнне (мы будзем яго абазначаць ут\п) роўна ардынаце вяршыні парабалы. Абсцыса гэтай вяршыні (абазначым яе xmin) дае тое значэнне аргумента х, пры якім дасягаецца мінімум функцыі у=ах2\Ьх\с.
І\алі а<0, то парабала у=ах2]Ьх]с ідзе неабмежавапа ўніз (рыс. 82). У гэтым выпадку самага нізкага пункта парабалы не існуе. Таму не існуе і мінімальнага значэння функцыі у = ах2{Ьх\с. Затое існуе самы высокі пункт парабалы — яе вяршыня. Значыць, існуе максімальнае значэнне дадзенай функцыі. Гэта максімальнае значэнне (мы будзем абазначаць яго Утах) роўна ардынаце вяршыні парабалы. Абсцыса гэтай вяршыні (абазначым яе хШах) дае тое значэнне аргумента х, пры якім дасягаецца максімум функцыі у=ах2]Ьх+с.
У § 57 было ўстаноўлена, што вяршыня парабалы у—ах2}+Ьх\с незалежна ад таго, дадатнае а ці адмоўнае, мае каардынаты:
b Ь2—4ас
Х=~2^’ У=
(1)
140
Таму можна сказаць, што калі а>0, то функцыя у=ах2\Ьх{с b2—4ac b
прымае найменшае значэнне t/min=— пры xmin—— — .
Найбольшага значэння гэтай функцыі не існуе. Калі а<0, то функцыя у = ах2 + Ьх } с прымае найбольшае значэнне (/шах = — _ 2тІ££ пры Найменшага значэння функцыі
4а * а
ў дадзеным выпадку не існуе:
Мінімальныя і максімальныя значэнні функцыі інакш называюцца экстрэмальнымі.
Прыклад 1. Знайсці экстрэмальнае значэнне функцыі у=2х2—4х—17 і ўказаць, пры якім значэнні х функцыя прымае гэта экстрэмальнае значэнне.
Паколькі каэфіцыент пры х2 дадатны, то дадзеная функцыя мае мінімальнае значэнне. Максімальнага значэння яна не мае. Каб знайсці мінімальнае значэнне, знойдзем каардынаты вяршыні парабалы у=2х2—4х—17. Для гэтага вылучым поўны квадрат:
2Х2 —4х— 17 = 2 х2 —2х
17
2
= 2 (х2— 2х +
= 2(х1)219. .^^^ — Адсюль робім вывад, што каардынаты вяршыні парабалы такія: х=1, у= — 19. (Гэтыя каардынаты, зразумела, можна было б атрымаць і па формулах (1), калі ў іх дапусціць а=2, 6 = —4, с= —17.) Значыць, мінімальнае значэнне функцыі у = 2х2— —4х—17 роўна —19. Яно дасягаецца пры х=1.
Прыклад 2. Знайсці экстрэмальнае значэнне функцыі у = —х2—4х+6 і высветліць, пры якім значэнні аргумента х яно атрымліваецца.
Паколькі каэфіцыент пры х2 адмоўны, то дадзеная функцыя мае максімальнае значэнне. Мінімальнага значэння яна не мае. Каб знайсці максімальнае значэнне, вылучым поўны квадрат: х24х+6= (х2+4х6) =[(х2+4х+4) 10] =
= _(х+2)2+Ю.
Адсюль робім вывад, што максімальнае значэнне дадзенай функцыі роўна 10. Яно дасягаецца пры х=—2.
Практыкаванні
Знайсці экстрэмальныя значэнні дадзеных функцый і ўказаць, пры якіх значэннях аргумента яны дасягаюцца (№ 434— 437):
434. у = 2х2+ 12x413. 436. у=|6х2х1|.
435. у=—2х2—4х—5; 437. (/=|4х2—4х—3|.
141
438. Даказаць, што калі сума дзвюх велічынь пастаянная, то іх здабытак максімальны тады і толькі тады, калі гэтыя велічыні прымаюць роўныя значэнні. (Гэта сцверджанне з’яўляецца натуральным абагульненнем тэарэмы аб пастаяннай суме на выпадак любых, а не толькі дадатных велічынь; гл. раздз. I, § 17.)
§ 61. Кгадратныя няроўнасці
Няроўнасці выгляду д е<. ;
й?+6х+с>0, йх2+&х+с>0, ах2}Ьх[с<0, ш2+&х+с^0, дзе a, b і с — зададзеныя лікі і й#=0, называюцца квадратнымі (або няроўнасцямі другой ступені).
У гэтым параграфе мы абмяжуемся толькі разглядам няроўнасцей выгляду
йх2+&х+оО.
Такія няроўнасці лепш за ўсё рашаць, выкарыстоўваючы геаметрычную ілюстрацыю. Разгледзім асобна два выпадкі: й>0 і а<0.
Выпадак 1. а> 0. У гэтым выпадку парабала у=ах2\\bx\c накіравана ўверх. Калі D = b2—4ac<0, то квадратны трохчлен ах2\Ьх\с не мае сапраўдных кораняў. Значыць, па
КНІГІ ОНЛАЙН
