Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
103
атрымліваюцца ў выніку паслядоўнага адкідвання ўсіх яго лічбаў, якія стаяць пасля коскі, пачынаючы з першай лічбы, потым з другой, затым з трэцяй і г. д. Напрыклад, для ліку ]/ 2 = = 1,41421... такімі набліжэннямі будуць:
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; . .7 .
Калі апошнюю лічбу кожнага з дзесятковых набліжэнняў ліку a павялічыць на 1, то мы атрым'аем паслядоўныя дзесятковыя набліжэнні ліку a з лішкам. Напрыклад, для ліку ]/ 2 такімі набліжэннямі будуць:
2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; .
Відавочна, што лік a большы за любое сваё дзесятковае набліжэнне з недахопам, але меншы за любое сваё дзесятковае набліжэнне з лішкам. Напрыклад, для ліку У 2
1 < У^ < 2
1,4< /1< 1,5
1,41 < /1< 1,42
1,414 < /^< 1,415
1,4142 < /І < 1,4143
1,41421 < /1< 1,41422 і г. д.
Цяпер дапусцім, што a ёсць перыядычны дзесятковы дроб з перыядам 0. Прыкладам такога ліку можа служыць лік 1,47= = 1,4700... . Дзесятковыя набліжэнні гэтага ліку з недахопам натуральна вызначыць як лікі
1; 1,4; 1,47; 1,470; 1,4700; ,
а дзесятковыя набліжэнні з лішкам — як лікі
2; 1,5; 1,47; 1,470; 1,4700; ....
Наогул, няхай нулявы перыяд ліку a пачынаецца з &га дзесятковага знака пасля коскі (напрыклад, для ліку 1,47 = = 1,470000 ... fe = 3). Тады яго першыя ^—1 дзесятковых набліжэнняў з недахопам і першыя k—1 дзесятковых набліжэнняў з лішкам вызначаюцца гэтак жа, як і ў выпадку, калі разглядаемы дроб з’яўляецца перыядычным з перыядам 0. Усе ж астатнія дзесятковыя набліжэнні лічацца роўнымі ліку а. Так, для ліку 0,373=0,37300 .. . дзесятковымі набліжэннямі будуць:
з недахопам: 0; 0,3; 0,37; 0,373; 0,3730; 0,37300; .., , з лішкам: 1; 0,4; 0,38; 0,373; 0,3730; 0,37300; ....
Відавочна, што ў такім выпадку лік a не меншы за любое сваё дзесятковае набліжэнне з лішкам.
104
Мы паказалі, як састаўляюцца дзесятковыя набліжэнні (з недахопам і з лішкам) для любых дадатных сапраўдных лікаў. Аналагічна можна вызначыць дз'есятковыя набліжэнні і для адвольных адмоўных лікаў. Мы не будзем прыводзіць тут агульных азначэнняў; пакажам толькі, як трэба знаходзіць дзесятковыя набліжэнні адмоўных лікаў на прыкладзе ліку
— /^ = — 1,41421... .
Як мы ведаем (гл. § 43), з двух адмоўных лікаў большы той, абсалютная велічыня якога меншая. Таму з атрыманых вышэй суадносін
1 < / 2<2
1,4 < /1 < 1,5
1,41 < УІ < 1,42
1,414 < 1'1 < 1,415
1,4142 < /1 < 1,4143
1,41421 < /1 < 1,41422
вынікае, што
2< :/2. < —1
1,5 < :/2 < — 1,4
— 1,42 < С/2 < — 1,41
— 1,415 < ;/2 < — 1,414
— 1,4143 < :/2< < — 1,4142
— 1,41422 < СУ 2 <—1,41421
Лікі, якія стаяць у левых частках гэтых няроўнасцей, натуральна назваць дзесятковымі набліжэннямі ліку /2з недахопам, а лікі, якія стаяць у правых частках,—дзесятковымі _набліжэннямі ліку — / 2 з лішкам. Відавочна, што лік — V 2 большы за любое сваё дзесятковае набліжэнне з недахопам, але меншы за любое сваё дзесятковае набліжэнне з лішкам.
Дададзім, нарэшце, што для сапраўднага ліку 0 таксама можна пабудаваць дзесятковыя набліжэнні з недахопам і дзесятковыя набліжэнні з лішкам. Кожнае з такіх набліжэнняў лічыцца роўным нулю.
Такім чынам, з кожным сапраўдным лікам а можна звязаць дзве бесканечныя паслядоўнасці лікаў:
“1 4 аз> <’ • • •;
а;, а;,«;, 4
105
Першая паслядоўнасць складаецца з дзесятковых набліжэнняў ліку а з недахопам, а другая — з дзесятковых набліжэнняў ліку а з лішкам. Пры гэтым
a' < a < a’,
aj a < a”, a' < a < a" i г. Д.
Важна адзначыць, што кожнае з дзесятковых набліжэнняў ліку a з’яўляецца рацыянальным лікам, хаця сам лік a можа быць ірацыянальным.
Практыкаванні
324. Знайсці некалькі першых дзесятковых набліжэнняў (з недахопам і з лішкам) для наступных дзесятковых лікаў:
а) /1; б) Г1; в) ~ г)^, д) 4; е) 4;
ч 5 ч 5
ж> Т 3)
325. Усе дзесятковыя набліжэнні сапраўднага ліку a з недахопам, пачынаючы з некаторага, супадаюць. Які лік а: рацыянальны або ірацыянальны?
326. Усе дзесятковыя набліжэнні сапраўднага ліку a з недахопам розныя. Ці можна сцвярджаць, што лік a ірацыянальны? Адказ растлумачыць на прыкладах.
§ 46. Складанне сапраўдных лікаў
Пакуль што мы ўмеем складваць адзін з другім толькі р ацыянальныя лікі. Як мы ведаем,
т k ml\nk
п I nl '
А вось які сэнс укладваецца ў суму двух лікаў, з якіх хаця б адзін ірацыянальны, мы яшчэ не ведаем. Нам трэба будзе зараз даць азначэнне таго, што разумеецца пад сумай a+Р двух адвольных сапраўдных лікаў a і [3.
Для прыкладу разгледзім лікі і і / 2. Запішам іх у выглядзе бесканечных дзесятковых дробаў
і = 0,33333
= 1,41421 ....
106
Спачатку складзём адпаведныя дзесятковыя набліжэнні дадзеных лікаў з недахопам. Гэтыя набліжэнні, як адзначалася ў канцы папярэдняга параграфа, з’яўляюцца р а ц ы я н а л ь н ы м і лікамі. А складваць такія лікі мы ўжо ўмеем:
0+1 =1
0,3+ 1,4 = 1,7
0,33+1,41 =1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142 = 1,7475 0,33333 + 1,41421 = 1,74754
Затым складзём адпаведныя дзесятковыя набліжэнні дадзеных лікаў з лішкам:
1+2 =3
0,4+1,5 =1,9
0,34 +1,42 = 1,76
0,334 + 1 415 = 1,749
0,3334 + 1,4143 = 1,7477
0,33334 + 1,41422 = 1,74756
Можна даказаць*, што існуе і прытым адзіны сапраўдны лік 7**, які большы за ўсе сумы дзесятковых набліжэнняў лікаў = і + 2 з недахопам, але меншы за ўсе сумы дзесятковых набліжэкняў гэтых лікаў з лішкам:
1 < 7 < 3
1,7 < 7< 1,9
1,74 <7 < 1,76
1,747 <7 < 1,749
1,7475 < 7 < 1,7477
1,74754 < у < 1,74756
Згодна з азначэннем гэты лік 7 і прымаецца за суму лікаў — і / 2:
Відавсчна, што 7 = 1,7475 ....
* Страгі доказ гэтага факта выходзіць за межы нашай праграмы і таму
тут не даецца.
** 7 — грэчаская літара, чытаецца: гама.
107
Аналагічна можа быць вызначана і сума любых іншых дадатных сапраўдных лікаў, з якіх хаця б адзін ірацыянальны. Сутнасць справы не зменіцца і ў тым выпадку, калі адно з складаемых, а можа быць і абодва, будуць адмоўнымі.
Калі лікі а і р рацыянальныя, то сума іх знаходзіцца па правілу складання рацыянальных лікаў (гл. § 36).
Калі ж хаця б адзін з іх ірацыянальны, то сумай a+р называецца такі сапраўдны лік, які большы за ўсе сумы адпаведных дзесятковых набліжэнняў гэтых лікаў з недахопам, але меншы за ўсе сумы адпаведных дзесятковых набліжэнняў гэтых лікаў з лішкам.
Вызначанае такім чынам дзеянне складання падпарадкоўваенна наступным двум законам:
1) камутатыўнаму закону:
a + ? = ? + а;
2) асацыятыўнаму закону:
(" + ?) + ! = а + (Н !)■
Даказваць гэта мы не будзем. Вучні могуць зрабіць гэта самастойна. Адзначым толькі, што пры доказе прыйдзецца скарыстаць ужо вядомы нам факт: складанне рацыянальных лікаў падпарадкавана камутатыўнаму і асацыятыўнаму законам (гл. § 36).
Практыкаванні
^^327. Дадзеныя сумы запісаць у выглядзе дзесятковых дробаў, указаушы не менш трох дакладных знакаў пасля коскі:
aj/^ + KS; Д) +/^;
б) J/1 + |; е) ^ + (“ ''^);
в) (— / 2) + /1; ®) у + ( V 5);
г) /"2 + (/’з); з) +/"2 +/*3
328. Знайсці некалькі першых дзесятковых набліжэнняў (з недахопам і з лішкам) для сапраўдных лікаў:
а) ^ + /7; б) У1 + /7; в) /7 + ( /^).
329. Зыходзячы з азначэння сумы сапраўдных лікаў, даказаць, што для любога ліку a
a + (— a) = 0.
108
330. Ці заўсёды сума двух бесканечных неперыядычных дробаў ёсць дроб неперыядычны? Адказ растлумачыць на прыкладах.
§ 47. Множанне сапраўдных лікаў
У гэтым параграфе мы пакажам, як можна прыйсці да натуральнага азначэння здабытку двух сапраўдных лікаў а і р, з якіх хаця б адзін з’яўляецца ірацыянальным. Пры гэтым мы будзем зыходзіць з таго, што множанне р а ц ы я н а л ь н ы х лікаў намі ўжо вывучана (гл. § 36).
Спачатку дапусцім, што лікі а і р — дадатныя Няхай, напрыклад, a = ў, а р = У 2. Запішам гэтыя лікі ў выглядзе бесканечных дзесятковых дробаў:
і = 0,33333 ... t
/ 2 = 1,41421 ....
Перамножым адпаведна дзесятковыя набліжэнні дадзеных лікаў з недахопам. Гэтыя набліжэнні з’яўляюцца р а ц ы ян а л ь н ы м і лікамі. А перамнажаць такія лікі мы ўжо ўмеем:
01 =0
0,3 1,4 =0,42
0,331,41 =0,4653
0,3331,414 =0,470862
0,33331,4142 =0,47135286
0,33333 • 1,41421 =0,4713986193
Затым перамножым адпаведныя дзесятковыя набліжэнні дадзеных лікаў з лішкам:
12 =2
0,41,5 =0,6
0,341,42 =0,4828
0,3341,415 =0,47261
0,33341,4143 = 0,47152762
0,33334 • 1,41422 =0,4714160948
Можна даказаць, што існуе і прытым адзіны лік у, які большы за ўсе здабыткі дзесятковых набліжэнняў лікаў = і р 2 з недахопам, але меншы за ўсе здабыткі дзесятковых набліжэнняў гэтых лікаў з лішкам:
109
0< 7 <2 0,42 < т < 0,6 0,4653 < 7 < 0,4828 0,470862 < 7 < 0,47261 0,474 35286 < 7 < 0,47152762 0,4713986193 < 7 < 0,4714160948
Згодна з азначэннем гэты лік 7 і прымаецца за здабытак лікаў
0
Відавочна, што 7=0,471 ... . Аналагічна можа быць вызначаны і здаб^так любых іншых дадатных сапраўдных лікаў, з якіх хаця б адзін ірацыянальны.
Цяпер тр’ба разгледзець выпадак, калі хаця б адзін з сумножнікаў а і 0 адмоўны. Калі адмоўнымі з’яўляюцца абодва сумножнікі a і р, то
Калі ж адзін з гэтых сумножнікаў з’яўляецца дадатным, а другі адмоўным, то
®^ = Н®1ЧМ
Напрыклад,
Нарэшце, калі хаця б адзін з сумножнікаў роўны нулю, то здабытак лічыцца роўным нулю, напрыклад,
/1 • 0 = 0,
0 • (— /1) = 0 і г. д.
Цяпер мы можам даць агульнае азначэнне здабытку двух сапраўдных лікаў.
Калі лікі a і 0 рацыянальныя, то здабытак іх знаходзіцца па правілу множання рацыянальных лікаў (гл. § 36).
Калі хаця б адзін з лікаў a і 0 ірацыянальны і абодва яны дадатныя, то здабыткам іх называецца такі сапраўдны лік, які большы за ўсе здабыткі адпаведных дзесятковых набліжэнняў гэтых лікаў з недахопам, але меншы за ўсе здабыткі адпаведных дзесятковых набліжэнняў гэтых лікаў з лішкам.
110
Калі абодва лікі а і $ адмоўныя, то
“■НІ“ЫН
Калі адзін з лікаў а і ^ з'яўляецца дадатным, а другі адмоўным, то
“•? = (і«Н?І).
Нарэшцё, калі хаця б адзін з лікаў a і {3 роўньь нулю, то
a • Р = 0.
Няцяжка паказаць, што вызначанае такім чынам дзеянне множання падпарадкоўваецца наступным законам:
1) камутатыўнаму закону:
a • р = [3 • a;
2) асацыятыўнаму закону:
(a • 5) • 7 = a • (Р • т).
Акрамя таго, для любых сапраўдных лікаў <х, р і у выконваецца суадносіна
(“ + Й ■ Т = «7 + Рь
якая выражае дыстрыбутыўны закон множання адносна складання.
КНІГІ ОНЛАЙН
