Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Вядома, напрыклад, што пры разлівах ракі Ніла затапляліся велізарныя зямельныя ўчасткі старажытных егіпцян. Пасля таго як вада спадала, кожны павінен быў «знайсці» свой участак. Але без умення дакладпа вымяраць шырыню і даўжыню ўчастка зрабіць гэта было немагчыма.
Для таго каб паказаць, якім чынам паяўляюцца дадатныя дробы пры рашэнні задач вымярэння, мы напомнім, як вымяраюцца прамалінейныя адрэзкі. 3 усіх адрэзкаў выбіраюць якінебудзь адзін, напрыклад АВ (рыс. 47), і аб’яўляюць яго «адзінкай даўжыні». Калі ў вымяраемым адрэзку CD выбраная адзінка даўжыні ўкладваецца роўна п разоў (на рыс. 47 л = 3), то даўжыня адрэзка CD выражаецца лікам п.
A В д з
у , ...........С р
Рыс. 47. Рьгс. 48.
79
Але не заўсёды адрэзак АВ, які з’яўляецца адзінкай даўжыні, укладваецца ў вымяраемым адрэзку цэлы лік разоў. Так, напрыклад, на рысунку 48 адрэзак АВ у два разы даўжэйшы за вымяраемы адрэзак CD. Значыць, палавіна адрэзка АВ укладвасцца ў CD роўна адзін раз. Таму даўжыня адрэзка CD выражаецца дробавым лікам —. Наогул, калі адрэзак, выбраны ў якасці адзінкі даўжыні, у п разоў даўжэйшы за вымяраемы адрэзак, то даўжыня апошняга выражаецца лікам — . Магчымы п
А д і такі выпадак, калі пя частка адзінкі даў
k ' жыні АВ укладваецца ў вымяраемым адрэзку
CD роўна т разоў (гл. рыс. 49, на якім п = 3, і , । ^ w=4). У гэтым выпадку даўжыня адрэзка
Рыс. 49. CD выражаецца дробавым лікам —.
Такім чынам, увядзенне ў матэматыку натуральных лікаў і дадатных дробаў было выклікана практычнымі патрэбамі людзей. Пазней разам з гэтымі патрэбамі сталі з’яўляцца і патрэбы тэарэтычнага характару. Як вядома, натуральныя лікі і дадатныя дробы можна складваць і памнажаць адзін на другі, А вось адняць такія лікі адзін ад другога ўдаецца далёка не заўсёды. Напрыклад, рознасці 5—5 і 42 ніякімі натуральнымі лікамі
і ніякімі дадатнымі дробамі выразіць нельга. Значыць, дзеянне адымання ў мностве ўсіх натуральных лікаў і дадатных дробаў, наогул кажучы, невыканальнае. Патрэбы арыфметыкі яшчэ ў старажытныя часы паставілі перад матэматыкай неабходнасць увесці ў разгляд адмоўныя цэлыя лікі, нуль і адмоўныя дробы.
Адмоўныя лікі мы ўпершыню сустракаем у працах кітайскіх матэматыкаў III стагоддзя да н. э. He выключана магчымасць, што рэзультаты, якія змяшчаюцца ў гэтых працах, былі атрыманы яшчэ раней. У VI—XI стагоддзях адмоўнымі лікамі свабодна карысталіся індыйскія матэматыкі. У Еўропе адмоўныя лікі атрымалі канчатковае прызнанне толькі пасля прац французскага матэматыка Д э к а р т a (1596—1650).
Пасля ўвядзення адмоўных лікаў і нуля матэматыка стала мець усе рацыянальны.я лікі, гэта значыць лікі, якія т
можна запісаць у выглядзе адносіны —, дзе т і п — цэлыя лікі п
прычым п=А0. Сюды ўваходзяць усе цэлыя лікі (дадатныя, адмоўныя і нуль);
31
1
“5 10 о 0 0
80
і ўсе дробы (правільныя і няправільныя, дадатныя і адмоўныя);
10 6 .
Г ~Т1ГД
2 ’
Практыкаванні
289. Ці існуе сярод усіх натуральных лікаў: а^найменшы лік;
б) найбольшы лік?
290. Ці ёсць сярод усіх дадатных рацыянальных лікаў: а) найменшы лік;
б) найбольшы лік?
291. Ці ёсць сярод усіх недадатных рацыянальных лікаў: а) найменшы лік;
б) найбольшы лік?
292. Сярод усіх адмоўных лікаў, не перавышаючых па абса
. . 5
лютнан велічыні —
знайсці:
а) найменшы рацыянальны лік;
б) найбольшы рацыянальны лік;
в) найменшы цэлы лік.
293. Калі за адзінку даўжыні прыняць адрэзак АВ, то даўжыня адрэзка CD выразіцца лікам —. А якім лікам выразіцца даўжыня таго ж самага адрэзка CD, калі ў якасці адзінкі даўжыні выбраць адрэзак:
а) у & разоў меншы за адрэзак АВ',
б) у & разоў большы за адрэзак _ п
АВ7 Ч(_„^ші___,Д,
_2§4^Якімі лікамі выражаюцца даў ^ , A
жыні адрэзкаў C^Di, C2D2 і C3D3, да 2 ' D
дзеных на рысунку 50, калі за адзінку Ч—■<—ч—♦■—>—н—ч? даўжыні прыняць:
а) адрэзак СіА; б) адрэзак C2D2; Рыс 50
в) адрэзак C3DJ
§ 36. Дзеянні над рацыянальнымі лікамі
п . . т . k „
Як вядома, два рацыянальныя лікі — і — роўны і толькі ў тым выпадку, калі ml—nk. Напрыклад, — =
ў тым 2
д, пао
__5 Ю
колькі 16 = 32; ^—=—паколькі ( — 5) • (—14) = 7 • 10;
паколькі 05=10 і г. д.
1 5
81
Відавочна, што для любога цэлага ліку г, не роўнага 0, т__________________________ тг п пr ‘
Гэта вынікае з відавочнай роўнасці т(пг) — п(тг). Таму любы рацыянальны лік можна запісаць у выглядзе адносіны двух лікаў бясконцым лікам спосабаў. Напрыклад,
5 10 15
— 1 — 2 ~ 3 1 Г'
1 2 3 100 .
= = = 1 Г
7 14 21 700
„ 0 0 0 0 .
1 2 “ 3 100 1 Г‘ д'
У мностве ўсіх рацыянальных лікаў выканальныя дзеянні складання, множання, адымання і дзялення (акрамя дзялення на нуль). Напомнім, як вызначаюцца гэтыя дзеянні.
Сума двух рацыянальных лікаў ~ і — вызначаецца формулай:
т — ~п~Т
ml+nk пі
Здабытак двух рацыянальных лікаў ~ і вызначаецца формулай:
m k mk
п I пі
Зыходзячы з гэтых азначэнняў, можна даказаць, што для дзеянняў складання і множання рацыянальных лікаў справядлівы наступныя асноўныя законы:
1) камутатыўны (або перамяшчальны) закон складання:
2) асацыятыўны (або спалучальны) закон складання:
3) камутатыўны (або псрамяшчальны) закон множання: m k _ k m
п I ~ I п’
82
4) асацыятыўны (або спалучальны) закон множання:
5) дыстрыбутыўны (або размеркавальны) закон множання
адносна складання:
( m k \
9 п ' q I ' q’
Паколькі адзін і той жа
напрыклад, _ = ~ = _д_ =
рацыянальны лік дапускае некалькі запісаў
. ., | трэба было б паказаць, што сума і здабы
так раныянальных лікаў не залежаць ад таго, як запісаны складаемыя або сумножнікі. Напрыклад,
2 + 3 “ 4 + 9 ’ 2 ' 3 ~ 6 ‘ 6
і г. д. Аднак разгляд гэтых пытанняў выходзіць за межы нашай праграмы.
Складанне і множанне з'яўляюцца асноўнымі алгебраічнымі дзеяннямі. Што ж датычыцца адымання і дзялення, то гэтыя дзеянні вызначаюцца як адваротныя ў адносінах да складання і множання.
D I . .. ІП . k
гознасцю овух рацыянальных лікау •— і — называецца такі k m , m k
лік х, які ў суме з — оае —. Іншымі словамі, рознасцьг
I п П I
вызначаецца як корань ураўнення
Само па сабе гэта азначэнне яшчэ не гарантуе, што ад кожнага рацыянальнага ліку можна адняць любы другі рацыянальны лік. Але калі б нават такая гарантыя і была, то ўсё роўна заста
валася б не рэшаным пытанне,ці адназначна вызначаецца роз
m k . . m . k .
насць —— лікамі — і —; А што> кал1 існуюць два розныя k tn ~ „
рацыянальныя лікі Хі і х2, кожны з якіх у суме з — дае —? Тады * tn k
было б няясна, які з іх трэба прыняць за рознасць ——.
Усе
гэтыя сумненні вырашае наступная тэарэма, якую мы даём без доказу.
83
Рознасць любых рацыянальных лікаў ^ і ^ існуе і вызначана адназначна:
т k ml — nk п I пі ’
v ml — nk m k
У тым, што лік —^— з’яўляецца рознэсцю лікаў — i —, лёгка пераканацца непасрэдна праверкай. Сапраўды, па азначэнню сумы рацыянальных лікаў
k ml — nk knl + Iml — Ink Iml m
I + nl ~ Ini ~ Ini ~ n ’
k tn
A вось чаму няма ніякага іншага ліку, які ў суме з — даваў бы —^, высветліць больш цяжка.
v т . k „
Калі лікі — і — роуныя паміж сабон, то рознасць іх пера
твараецца ў нуль; калі ж гэтыя лікі не роўныя паміж сабой, то
рознасць іх або дадатная, або адмоўная. Пр
раць, што лік — большы за лік — ; калі п I
пі . k
гавораць, што лік — меншы за лік —. п I
т k
п I L
tn k
к
п I
Дзеллю ад дзялення рацыянальнага ліку — на рацыянальп’я
лік называецйа такі лік х, які у здабытку
з — дае —. Іншымі I п
m k
словамі, дзель — : — вызначаецца як корань ураунення
k
1
tn
a
I гэта азначэнне само па сабе яшчэ не гарантуе ні выканальнасці, ні адназначнасці дзялення для любых рацыянальных лікаў. Гэтыя пытанні вырашаюцца наступнай тэарэмай, якую мы таксама прыводзім без доказу.
Калі дзельнік адрозны ад нуля, mo дзель —: —
I п I
існуе і вызначана адназначна:
m k _ ml п ’ I ~ nk'
84
Калі ж дзельнік. —— роўны нулю, то дзель : у не існуе.
ml т
Той факт, што рацыянальны лік з’яуляецца дзеллю ад дзялення — на устанауліваецца даволі проста. На саман справе,
k ml kml т
I ‘ nk ~ Ink ~ п '
Больш цяжка пераканацца ў тым, што ніякі іншы лік не можа даць у здабытку k т
3 г лік —.
I п
Практыкаванні
295. Якія з дадзеных формул выражаюць азначэнні і якія — тэарэмы:
т , р mq+np. т Р _ тР
n q nq n q nq
m p mq—np' n q nq '
r)Zl;^ = 2^ (^0)?
n q np
§ 37. Геаметрычнае ізабражэнне рацыянальмых лікаў
Няхай Д ёсць адрэзак, прыняты за адзінку даўжыні, al — адвольная прамая (рыс. 51). Возьмем на ёй якінебудзь пункт і абазначым яго літарай 0. Кожнаму дадатнаму рацыянальнаму
т
ліку — паставім у адпаведнасць
пункт прамой I, які ляжыць справа т с о о в л і
ад 0 на адлегласці ў — адзінак J Т^"‘ о~ г
даўжыні. Напрыклад, ліку 2 будзе Рыс 51
адпавядаць пункт А, які ляжыць справа ад 0 на адлегласці ў 2 адзін
5
кі даўжыні, а ліку —пункт В, які ляжыць справа ад 0 на 5 4
адлегласці ў — адзінак даўжыні. Кожнаму адмоўнаму рацыя. k . ' „ , .
нальнаму ліку — паставім у адпаведнасць пункт прамон I, які
ляжыць злева ад 0 на адлегласці ў
j адзінак даўжыні. Так,
85
ліку —3 будзе адпавядаць пункт С, які ляжыць злева ад 0 на 3
адлегласці ў 3 адзінкі даўжыні, а лікупункт D, які ля
3
жыць злева ад 0 на адлегласці ў у адзінак даўжыні. Нарэшце,
рацыянальнаму ліку «нуль» паставім у адпаведнасць пункт 0, Відавочна, што пры выбранай адпаведнасці роўным рацыя/ 1 . 2\
нальным лікам напрыклад, і
, Q р ' 2 4 /
будзе адпавядаць адзін і той жа пункт, < Т а не роўным паміж сабой лікам —
' f____________ g розныя пункты прамой /. Дапусцім,
Н к_ . т
" і што ліку — адпавядае пункт Р, a
Рыс. 52 k
ліку jпункт Q. Тады, калі
•^> —, то пункт Р будзе ляжаць правей пункта Q (рыс. 52, «); калі ж — < —, то пункт Р будзе знаходзіцца лявен пункта Q
(рыс. 52, б).
Такім чынам, любы рацыянальны лік можна геаметрычна паказаць у выглядзе некаторага, зусім пэўнага пункта прамой. А ці правільна адваротнае сцверджанне? Ці ўсякі пункт прамой можна разглядаць як геаметрычны вобраз некаторага рацыянальнага ліку? Рашэнне гэтага пытання мы адкладзём да вывучэння § 44.
Практыкаванні
296. Паказаць пункты прамой, якія адпавядаюць наступным рацыянальным лікам:
7
— 3; j; 0; 2,6.
297. Вядома, што пункт А (рыс. 53) служыць геаметрычным
КНІГІ ОНЛАЙН
