КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

ізабражэннем рацыянальнага ліку ў. Якім лікам адпавядаюць
пункты 298.
В, С і D?
На прамой зададзены два
пункты, якія служаць геамет
D С
і J A
0
Рыс. 53
рычным ізабражэннем рацыянальных лікаў а і Ь. Знайсці на гэтай прамой пункты, якія адпавядаюць лікам а\Ь і а—Ь. Т^^^^І
299. На пра'мбй 'зададзены два пункты, якія служаць геаметрычным ізабражэннем рацыянальных лікаў
86
афо і а—Ь. Знайсці на гэтай прамой пункты, якія адпавядаюць a » лікам а \ Ь.	9	d '
§ 38. Дзесятковая форма запісу рацыянал£яы
>іх лікаў
На практыцы звычайна карыстаюцца дзесятковай формай запісу рацыянальных лікаў. Так, замест — пішуць 0,5; замест 3	5
— — пішуць — 0,375; замест — пішуць 1,25 і г. д. Для прастаты ў далейшым мы будзем гаварыць толькі аб дадатных і правільных дробах, гэта значыць аб дробах, змешчаных у інтэрвале ад 0 да 1.
пт
Каб атрымаць дзесятковую форму запісу ліку —, трэба ш «вугалком» падзяліць на п. Як вядома з арыфметыкі, у рэзультаце такога дзялення атрымліваецца або канечны, або бесканвч5 ны перыядычны дзесятковы дроб. Пакажам гэта на ліках —,
_L  29
3 ‘ 110
5 | 16	1 1 3	29 | 110
50 0,3125	10 0,3333 ...	290 0,26363. .
48	9	220
—	— — —		
20	10	700
16	9	660
40	10	400
32	9	330
			.		
80	10	700
Таму ~ = 0,3125 16 = 0,3333 . 0	(канечны дзесятковы дроб); .. (бесканечны перыядычны	660 400 330 70 дзесятковы дроб
рыядам 3); 29 jjq =0,26363... (бесканечны перыядычны		дзесятковы дроб :
з пе
рыядам 63). Перыяд пачынаецца або адразу ж пасля (напрыклад, 0,333 ...), або пасля некалькіх дзесятковых знакаў,
з пекоскі
87
якія не ўваходзяць у перыяд (напрыклад, 0,26363 ...). Адпаведна гэтаму ўсе перыядычныя дзесятковыя дробы падзяляюцца на простыя (такія, як 0,333...) і змешаныя (такія, як 0,26363.,.).
Перыяд бесканечнага дзесятковага дробу, які атрымліваецца ў рэзультаце дзялення цэлых лікаў «вугалком», можа быць любым натуральным лікам; выключаецца толькі выпадак, калі ён складзен з адных дзевятак. (На строгім доказе гэтага факта мы спыняцца не будзем.) Адзначым яшчэ, што любы канечны дзесятковы дроб можна разглядаць як бесканечны перыядычны дроб з перыядам 0. Напрыклад,
0,37 —0,370000 :.„
6,14=6,140000...
і г. д. Такім чынам, любы рацьіянальньі лік можна даць у выглядзе бесканечнага перыядычнага дзесятковага дробу, перыяд якога адрозны ад 9.
Правільнае і адваротнае сцверджанне: любы бесканечны перыядычны дроб з перыядам, адрозным ад 9, з’яўляецца рацыянальным лікам.
Строга даказваць гэта мы таксама не будзем. Напомнім толькі вядомыя з арыфметыкі правілы ператварэння перыядычных дзесятковых дробаў у звычайныя. Для прастаты дапусцім, што ўсе разглядаемыя намі дзесятковыя дробы дадатныя і меншыя за адзінку.
Правіла 1. Для ператварэння простага перыядычнага дробу ў звычайны трэба зрабіць наступнае: у лічніку паставіць перыяд дзесятковага дробу, а ў назоўніку — лік, які складаецца з дзевятак, узятых столькі разоў, колькі знакаў у перыядзе дзесяпіковага дробу.
Напрыклад,
0,333333 ... = у = ji
45	5
0,454545 ... = 99 =у;
243	9
0,243243243 . . . = ggg" = дў.
П р а в і л a 2. Для ператварэння змешанага перыядычпага дзгсятковага дробу ў звычайны трэба зрабіць наступнае: у лічніку ўзяць лік, які стаіць у дзесятковым дробе да другога перыяду, мінус лік, які стаіць у дзесятковым дробе да першага перыяду; у назоўніку пірэба напісаць столькі дзевятак, колькі лічбаў у перыядзе, і прыпісаць да іх столькі нулёў, колькі лічбаў у зыходным дзесятковым дробе ад коскі да перйіага перыяду.
Напрыклад,
453 — 45	408	34
0,453333 . .. =	900	— 900 _ 75 ’
274527	2718	151
0,027454545 ... — 99000 — 99900 ~ 5500 ’
88
Заўважым, ^о^іесканечным перыядычным дробам з перыядам 9 таксама можна надаць горт сэнс, калі фармальна, выкарыстоўваючы правілы 1 і 2, запісаць іх у выглядзе адносіны двух цэлых лікаў. Напрыклад, правіла 1 ме z ,
9 	*
0,999999 .
Згодна з правілам 2
jS^^D
0,499999 .
0,679999 ..
49  4	45	1
• — 90 ~ 90 = 2 = 0,5;
679  67	612	68
900	= 900 = І00 = 0,68;
взоо "е&
/ ‘Оо
0,521999
5219 — 521	4698	522
9000	~ 9000 ~ 1000 — 0,522
і г. д. Усе дадзеныя тут бесканечныя перыядычныя дзесятковыя дробы з перыядам 9 аказаліся роўнымі канечным дзесятковым дробам, якія атрымліваюцца з дадзеных дзесятковых дробаў, калі дзесятковы знак, што стаіць перад першым перыядам, павялічыць на 1, а ўсе наступныя дзесятковыя знакі адкінуць. Можна даказаць, што гэта адносіцца не толькі да разгледжаных, але і да любых іншых перыядычных дзесятковых дробаў з перыядам 9. Адсюль вынікае, што любы канечны дзесятковы дроб можа быць дадзены ў выглядзе бесканечнага перыядычнага дробу двума рознымі спосабамі: з перыядам 0 і з перыядам 9. Напрыклад:
0,37 = 0,370000 ... = 0,0369999 . ..; '
0,6 = 0,600000 ... = 0,599999 ....
Гэта акалічнасць робіць больш цяжкім выкладанне тэорыі бесканечнасці перыядычных дзесятковых дробаў. Вось чаму ў далейшым мы ўмовімся зусім не гаварыць аб перыядычных дзесятковых дробах з перыядам 9, кожны раз за.мяняючы іх адпаведнымі перыядычнымі дробамі з перыядам 0.
Такім чынам, рацыянальныя лікі (і толькі яны!) можна даць ў выглядзе бесканечных перыядычных дзесятковых дробаў. А ці існуюць бесканечныя неперыядычныя дзесятковыя дробы? Гэта пытанне рашаецца станоўча. Каб пераканацца ў гэтым, дастаткова прывесці хаця б адзін прыклад бесканечнага неперыядычнага дробу. Такі прыклад дае, у прыватнасці, лік
0,101001000100001 ...
(пасля коскі выпісваюцца запар лікі 10, 100, 1000, 10000 і г. д.). Паспрабуйце даказаць, што дадзены дзесятковы дроб сапраўды з’яўляецца неперыядычным!
У наступных параграфах будуць разгледжаны канкрэтныя задачы, якія прыводзяць нас да бесканечных неперыядычных дзесятковых дробаў. j
Пракпіыкаванні
300. Дадзеныя лікі запісаць у выглядзе бесканечных дзесятковых дробаў:
301*. Дадзеныя дзесятковыя дробы ператварыць у звычайныя:	Л
а)	0,444444...;	г)	—0,573636...;
б)	10,521521...;	д)	2,001777...;	&
в)	4,636363 ...;	е)	7,090909	,
tn
302. Вядома, што нескарачальны дроб — можна даць у выглядзе канечнага дзесятковага дробу. На якія лікі можа дзяліцца без астатку лік м?
303*. Чаму пры дзяленні цэлых лікаў «вугалком» атрымліваюцца заўсёды перыядычныя дробы?
304*. Даказаць, што дроб
0,12345678910111213 ..., які атрымліваецца, калі пасля нуля выпісаць запар усе натуральныя лікі, не з’яўляецца перыядычным.
§ 39. Здабыванне квадратных кораняў з рацыянальных лікаў
Як мы ведаем, у мностве рацыянальных лікаў заўсёды выканальнае дзеянне множання. У прыватнасці, вызначаны здабытак tn т „
— • —. Гэты здабытак, як вядома, называевда квадратам ліку п п
т . ,	(
— 1 абазначаецца — :
п	\	/
т т
п I п п '
Такім чынам, калі некаторы лік з’яўляецца рацыянальным, то квадрат яго ёсць таксама рацыянальны лік. Гэты лік, відавочна, дадатны. А цяпер паставім адваротную задачу: ці ўсякі дадатны рацыянальны лік з’яўляецца квадратам некаторага рацыянальнага ліку? На мове алгебраічных ураўненняў гэта задача можа быць сфармулявана наступным чынам. Дадзена ўраўненне
х2 = а,
дзе a — некаторы дадатны р а ц ы я н а л ь н ы лік, х — невядомая велічыня. Ці заўсёды гэта ўраўненне мае р а ц ы я н а л ьныя корані? Адказ на гэта пытанне аказваецца адмоўным. Рацыянальны лік а можна выбраць так, што ўраўненне х2=а не будзе мець ні аднаго рацыянальнага кораня. У гэтым нас пераконвае, у прыватнасці, наступная тэарэма.
Тэарэма. He існуе рацыянальнага ліку, квадрат якога роўны 2.
90
Доказ будзем праводзіць метадам ад адваротнага. Дапусцім, што існуе рацыянальны лік —, квадрат якога роуны 2:
т
Калі цэлыя лікі т і п маюць аднолькавыя множнікі, то дроб —
можна скараціць. Таму з самага пачатку мы маем права дапус„ т
ціць, што дроб — нескарачальны;
3 умовы
т
п
2
= 2 вынікае, што
т2=2п2.
Паколькі лік 2п2 цотны, то і лік т2 павінен быць цотным. Але тады будзе цотным і лік т. (Дакажыце гэта!) Такім чынам, m—2k, дзе k — некаторы цэлы лік. Падстаўляючы гэты выраз для т у формулу т2 — 2п2, атрымліваем: 4k2=2n2, адкуль n2=2k2.
У такім выпадку лік п2 будзе цотным; але тады павінен быць цотным і лік п. Выходзіць, што лікі т і п — цотныя. А гэта су„ m
пярэчыць таму, што дроб — нескарачальны. Значыць, наша зыходнае дапушчэнне аб існаванні дробу —, які задавальняе умове I tn \
I — I =2, няправільнае. Застаецца прызнаць, што сярод усіх рацыянальных лікаў няма такога, квадрат якога быў бы роўны 2. Таму ўраўненне
х2 = 2
у мностве рацыянальных лікаў невырашальнае. Аналагічнае заключэнне можна было б зрабіць і аб многіх ураўненнях выгляду
х2—а,
дзе a — дадатны цэлы лік. Тым не менш у VIII класе мы неаднаразова гаварылі аб коранях такіх ураўненняў. А дадатнаму кораню ўраўнення х2=а мы нават далі спецыяльную назву — «корань квадратны з ліку а» і ўвялі для яго спецыяльнае абазначэнне: J/ а.
Такім чынам, сярод рацыянальных лікаў няма ліку V 2.
91
Таму дадзены лік належыць мноству нейкіх новых, яшчэ не вывучаных намі лікаў. Як жа ўявіць сабе гэтыя лікі? Каб адказаць на гэта пытанне, успомнім правіла для здабывання квадратных кораняў. У прымяненні да ліку 2 гэта правіла дае:
= 1,41421...
1
24 100
4 96
281 400
1 281
2824 11900
4 11296
28282 60400
2 56564
282841 383600
1 282841
100759
Працэс здабывання кораня ў дадзеным выпадку не можа закончыцца ні на якім кроку. У адваротным выпадку V 2 быў бы роўны некатораму канечнаму дзесятковаму дробу і таму быў бы рацыянальным лікам. А гэта супярэчыць даказанай вышэй тэарэме. Такім чынам, лік ] 2 аказваецца бесканечным дзесятковым дробам. Гэты дроб не можа быць перыядычным, інакш яго, як і ўсякі іншы бесканечны перыядычны дроб, можна было б запісаць у выглядзе адносіны двух цэлых лікаў. А гэта таксама знаходзіцца ў супярэчнасці з даказанай вышэй тэарэмай. Такім чынам, У 2 запісваецца ў выглядзе бесканечнага неперыядычнага дзесятховага дробу.
Такім чынам, да бесканечных неперыядычных дзесятковых дробаў нас прыводзіць, напрыклад, дзеянне здабывання кораняў з цэлых лікаў.
У наступных параграфах мы разгледзім яшчэ адну задачу, якая, наогул кажучы, ніяк не звязана са здабываннем кораняў, але таксама прыводзіць нас да бесканечных неперыядычных дзесятковых дробаў.
Праістыкаванні