Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Практыкаванні
Рашыць дадзеныя няроўнасці (№ 154—165) і адзначыць
атрыманыя рэзультаты на
154.
7х—6<х+12.
155.
156.
12х>45х;
лікавай прамой:
1573^>°
158. 97х>117х.
159.
160.
161.
ах\Ь > ах—Ь а—Ь а\Ь
2J7<0
Зхр5
ft>0).
162. ах+1>2—5х.
163. ах\Ь>3—2х.
164.
х—
хфі х—3
х—2
165.
2 4
х—1 х+1
3
а+1
—ах.
Пры якіх значэннях х вызначаны дадзеныя выразы (№ 166—
169^ ^^
166. /7 + Зх.
167. /5^х.
170. . Ці можа няроўнасць
173. |6х—а|=а—6х.
174. J ax— 11 = ях1.
не мець рашэнняў? Рашыць ураўненні: 171'. |4х—3|=Дх—3. 172. |72х|=2х7.
§ 22. Графічны спосаб рашэння няроўнасці тх > п
На адным і тым жа чарцяжы пабудуем графікі дзвюх функцый:
у = тх і у=п.
Калі т=#0, то прамая у = тх абавязкова перасячэ прамую
47
у=п (рыс. 27 для т>0 і рыс. 28 для ш<0). Абазначым пункт перасячэння гэтых прамых праз М. Абсцыса гэтага пункта ўяўляе сабой корань ураўнення тх=п і таму роўна ^. Калі т>0, то, як відаць з рысунка 27, тх будзе больш п для ўсіх х, большых, чым —. Калі т<0 (рыс. 28), то тх будзе больш п
Пры т —0 прамая у = тх супадае з воссю абсцыс (рыс. 29). Калі пры гэтым лік п адмоўны, то тх заўсёды будзе больш п. У гэтым выпадку любы лік х задавальняе няроўнасці тх>п. Калі ж лік п неадмоўны (рыс. 30), то ні пры якім значэнні х тх не будзе больш п.
Практыкаванні
Цашыць графічна дадзеныя няроўнасці:
175. 2х1>3. 177. 1—2х>7.
176. хф1>2х1. 178. 3>1—х.
§ 23. Сістэмы лінейных няроўнасцей
Сістэмай лінейных няроўнасцей называецца любая сукупнасць дзвюх або болый лінейных няроўнасцей, якія змяшчаюць адну і тую ж незядомую велічыню.
48
Прыкладамі такіх сістэм могуць служыць сістэмы: fx—1>0, f 1—х<2х—5, / 14х—3<7+9х,
(2х—8>0; (3—х>—5; { 1<х—3.
Рашыць сісіэму няроўнасцей — гэта значыць знайсці ўсе значэнні невядомай велічыні, пры якіх выконваецца кожная няроўнасць сістэмы.
Рэшым прыведзеныя вышэй сістэмы.
П р ы к л а д 1.
х—1 >0, 2х—8>0.
Размесцім адну пад другой дзве ■ лікавыя прамыя (рыс. 31) : на верхняй адзначым тыя значэнні х, пры якіх выконваецца першая няроўнасць (х> 1), а на ніжняй — тыя значэнні, пры якіх выконваецца другая няроўнасць (х>4). Параўноўваючы рэзультаты на лікавых прамых,
~гг ^»»^^^^^
1 4
| ^ЖЯУДЖІ
I 4
Рыс. 31.
заўважаем, што абедзве няроўнасці адначасова будуць задавальняцца пры х>4. Адказ. х>4.
П р ы к л а д 2.
1—х<2х—5, 3—х>—5.
Першая няроўнасць дае —Зх<—6, або х>2, другая —х>—8, або х<8. Далей робім гэтак жа, як і ў першым прыкладзе. На адной лікавай прамой адзначаем усе тыя значэнні х, пры якіх выконваецца першая няроўнасць сістэмы, а на дру. гой лікавай восі, размешчанай пад першай,— усе тыя значэнні
х, пры якіх выконваецца другая
g»/g»«^^^
2 8
Рыс. 32.
няроўнасць сістэмы (рыс. 32).
2 4
11^^^Be^^ei^^^^^^^^^^j^^^
2 4
Рыс. 33.
Параўнанне гэтых двух рэзультатаў паказвае, што абедзве няроўнасці адначасова будуць выконвацца пры ўсіх значэннях х, заключаных ад 2 да 8. Мноства такіх значэнняў х запісваецца ў выглядзе двайной няроўнасці 2<х<8.
Прыклад 3. Рашыць сістэму няроўнасцей:
14х3^7+9х, 1<х3.
49
Першая няроўнасць сістэмы дае 5x^10, або х<2, а другая х>4. Такім чынам, любы лік, які задавальняе абедзвюм няроўнасцям адначасова, павінен быць не больш 2 і больш 4 (рыс. 33). Але такіх лікаў не існуе. Таму дадзеная сістэма няроўнасцей не выконваецца ні пры якіх значэннях х.
Такія сістэмы няроўнасцей называюцца несумеснымі.
Практыкаванні
Рашыць дадзеныя сістэмы няроўнасцей (№ 179—184):
179. / 2х—1 > 1, (3х>0. 182. 1 [ 2х—3>х—3, [ 4х+3>8—х.
180. f 1—2х<—9, (Зх+КІЗ. 183. J [ Зх+7>9+2х, Г'; [5+х>2х42.
181. f 5х+3>8, | 0,7—3x^—2,6. 184. 1 [ х|4<2х, 1 1—х>—2.
Рашыць няроўнасці (№ 185, 186):
185. (2х+3)(22х)>0. 186. (2л) (2х15) (х+4) >0. _
Знайсці дапушчальныя значэнні літар, уваходзячых у дадзеныя няроўнасці (№ 187, 188):
187. /а^Т + /5 — За = / 3.
188. /9^2а + /За^б =
Рашыць няроўнасці (№ 189, 190):
189. 1<2х—5<2. 190. —2<1—сх^5.
191. Якой павінна быць тэмпература 10 л вады, каб пры змешванні яе з 6 л вады пры тэмпературы 15° атрымаць ваду з тэмпературай не менш 30° і не больш 40°?
192. Адна старана трохвугольніка роўна 4 см, а сума дзвюх другіх 10 см. Знайсці гэтыя стораны, калі яны выражаюцца цэлымі лікамі.
193. Вядома, што сістэма дзвюх лінейных няроўнасцей не выконваецца ні пры якіх значэннях невядомай велічыні. Ці можна сказаць, што асобныя няроўнасці гэтай сістэмы не выконваюцца ні пры якіх значэннях невядомай велічыні?
§ 24. Дробавалінейныя функцыі
У гэтым параграфе мы разгледзім некаторыя пытанні паводзін функцый выгляду
ах+&
V cx\d ’
(1)
60
дзе a, b, с і d — зададзеныя лікі, прычым с адрозна ад нуля. Такія функцыі называюцца дробавалінейнымі*.
Перш за ўсё адзначым, што дробавалінейная функцыя (1) „ . d
вызначана пры ўсіх значэннях аргумента х, акрамя х—.
Тыя значэнні аргумента, пры якіх вызначана функцыя, у матэматыцы прынята называць вобласцю вызначэння гэтай функцыі. Таму можна сказаць, што вобласцю вызначэння дробаваліней
d най функцыі (1) служыць мноства ўсіх лікаў, акрамя■.
Іак, вобласцю вызначэння функцыі у= ——будзе мно3 %
лікаў, акрамя —; вобласць вызначэння функцыі
ства ўсіх 2
складаецца з усіх лікаў, акрамя 1.
Цяпер на прыватным прыкладзе паглядзім, як можна высветліць, пры якіх значэннях аргумента х дробавалінейная функцыя прымае дадатныя значэнні, пры якіх — адмоўныя значэнні і пры якіх яна ператвараецца ў нуль.
Няхай
х—1
3—7х
Разгледзім асобна лічнік і назоўнік дадзенага дробу. Пры х>1 лічнік х—1 дадатны, а пры х<1— адмоўны. Гэты факт адзначаны на верхняй прамой рысунка 34: заштрыхаваная вобласць гэтай лікавай прамой адпавядае тым значэнням аргумента х, пры якіх лічнік х—1 дадатны, а незаштрыхаваная — тым значэнням аргумента х, пры якіх лічнік х—1 адмоўны. Рашаючы няроўнасць
3—7х>0,
3
атрымліваем х< —. Таму назоўнік 3—7х дадзенага дробу бу3
дзе дадатным пры х< — ; гэты факт адзначаны пры дапамозе
„ 3
штрыхоў на ніжняй лікавай прамой рысунка 34. Пры х> —назоўнік будзе, відавочна, адмоўным.
Параўнанне дзвюх лікавых прамых на рысунку 34 дае: пры 3
— <х<1 знакі лічніка і назоўніка дадзенага дробу супадаюць
* Звычайна, кажучы аб функцыях выгляду (1), дапускаюць, што ad—bc^Q. Гэту ўмову мы замяняем тут больш простай умовай с^О.
51
3
(абодва «»); пры х< — і пры х>1 яны розныя. Таму пры
3 , ж х1
= <х<1 дадзеная функцыя У=^—— прымае дадатныя зна
чэнні, а пры х< — і пры х>1 — адмоўныя значэнні. У пункце
1 3
х=1 яна ператвараецца у нуль, а пры х— — наогул не вызна
чана (рыс. 35).
। t/»z,^
7
■««wwyoy | |
1 . 7
7
Рыс. 34. Рыс. 35. \
Апісаным спосабам можна рашаць і некаторыя няроўнасці, якія змяшчаюць дробавалінейныя выразы. Пакажам, напрыклад, як рашаецца няроўнасць
Перанёсшы 4 у левую частку, атрымліваем эквівалентную няроўнасць
2 х—1
—4<0,
або
6—4х
х—1
' 7//////////////^Л
3
2
1
Рыс. 36.
Лічнік 6—4х атрыманага дробу дадатны пры х< — і адмоўны 3
пры х> —. Назоўнік х—1 дадатны пры х>1 і адмоўны пры 2 6—4х
х<1 (рыс. 36). Таму дроб ——р прымае адмоўныя значэнні
пры Х<1 1 х> — .
52
2
Такім чынам, няроўнасці <4 задавальняюць усе зна
ЧЭННІ Х< 1 1 х> —.
Падкрэслім, што дадзеную няроўнасць нельга рашаць шляхам пачленнага множання на х—1. Тады ж магла б атрымацца няроўнасць, не эквівалентная дадзенай. I на самай справе мы мелі б
2<4(х1),
6<4х, 3
Аказаліся страчанымі рашэнні х<1. Правільным з’яўляецца '3
адказ:
2 *
Практыкаванні
Знайсці вобласці вызначэння дадзеных дробавалінейных функцый (№ 194, 195) і ўстанавіць, пры якіх значэннях аргу
мента яны прымаюць дадатныя значэнні, пры значэнні і пры якіх ператвараюцца ў нуль:
194 2х5 3 , 7х+21
У~ 9Зх*^ 2х4 ’
Рашыць няроўнасці (№ 196—198):
якіх — адмоўныя
196. — <1. х
197. ^2'
198.
х+2 х)~3
199. Пры якіх х значэнні выразу і 2?
200. Рашыць няроўнасць
заключаны паміж 0 х—1
* 1—х
Знайсці дапушчальныя значэнні літар, якія ўваходзяць
дзеныя выразы (№ 201, 202):
У да
202.
: — 1 За
2а a — 5‘
Рашыць ураўненні:
203.
2х —4 х
2х — 4
х
204.
X— 1
1 —X
х — 3 3 — х'
53
205.
5х—10
Зх2
10 —5х
Зх2 '
206.
a — х _х — a b — х х — Ь'
§ 25. Няроўнасці, якія змяшчаюць невядомае пад знакам абсалютнай велічыні
У гэтым параграфе мы на прыватных прыкладах пакажам, як рашаюцца няроўнасці выгляду
| ах+b | <с і | axjb | >с. /
П р ы к л а д 1. Рашыць няроўнасць |2х—5| <1.
^^у^у^ і
1 0 1
Рые. 37.
Калі абсалютная велічыня некаторага ліку менш 1, то сам гэты лік павінен быць больш —1, але менш 1 (рыс. 37). Таму дадзеную няроўнасць можна запісаць у выглядзе двайной няроўнасці:
—1<2х—5<1.
Дадаючы да кожнай часткі такой няроўнасці лік 5 і дзелячы затым атрыманую няроўнасць пачленна на 2, мы прыходзім да наступнага рэзультату: 4<2х<6, 2<х<3.
Мноства такіх значэнняў х паказана на рысунку 38.
Iт1iW«R—।
П р ы к л а д 2. Рашыць
йййПіі । । , <^*'
3210123
Рыс. 39.
Першая з гэтых дзвюх
0 12 3 4
Рыс. 38.
няроўнасць | 3х | >2.
Калі абсалютная велічыня некаторага ліку больш 2, то сам гэты лік павінен быць або менш —2, або больш 2 (рыс. 39). Таму з дадзенай няроўнасці вынікае, што або
3—х<—2, або
3—х>2. няроўнасцей дае
—х<—5, або х>5,
64
а другая
—x>—1, або х<1.
Адказ. х<1; x>5. Мноства такіх значэнняў х паказана на рысунку 40 у выглядзе двух праменяў лікавай прамой.
rZ//ZZZ//////Z/^//Z//Z//^Z
0 12 3 4
'^^у^^^^
5 6
Рыс. 40.
Практыкаванні
Рашыць наступныя няроўнасці (№ 207—216):
207. | х — 2 |< 3. 212. | 2 —х| > 1.
208. | 1 — х | > 10. 213. |—2х+1|>5.
209. | 0,5х — 3 | < 0,5. 214. |х + 4|<3.
210. | 2х — 4 і >6. 215*. 3 + хі > і х .
211. | 1 + х| < 2. 216. | ах + 6 | < а.
Дадзгныя няроўнасці рашыць графічна: "
217. |х —3|<2. 218. | 1 — 2х 1 > 3. 219. ; х | : > 11 х |.
§ 26. Сістэма двух лінейных ураўненняў з двума невядомымі. Сумесныя і несумесныя сістэмы
Сістэмай двух лінейных ураўненняў перйіай ступені з двума невядомымі называецца сукупнасць ураўненняў выгляду
(aix+biy=cit ..
\ a2x\b2y=c2, ' '
дзе х і у — невядомыя велічыні; а\, bi, Сі і а2, Ь2, с2 — некаторыя
зададзеныя лікі.
Прыкладам сістэмы двух лінейных ураўненняў з двума не
вядомымі можа служыць любая з сістэм:
КНІГІ ОНЛАЙН
