Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
395.43 МБ
Па сутнасці гэта формула аб’ядноўвае ў сабе дзве няроўнасці: а'<_а і а<а". Гэтым і тлумачыцца назва «двайная няроўнасць».
Двайныя няроўнасці маюць усе тыя ўласцівасці, аб якіх мы гаварылі ў § 10—12, калі разглядалі звычайныя няроўнасці. Напрыклад, да кожнай часткі двайной няроўнасці можна дадаць любы лік k:
a'+&1а>1а".	(3)
Практыкаванні
103.	У якіх межах заключаны лік а, калі:
а) — 1,2<3а<6; б) —1,2<—За<6?
104.	У якіх межах заключана сума а\Ь, калі 1,1<а<1,2, а 5,5<&<5,6?
105.	У якіх межах заключана сума 2а+3&, калі 1,98<а< 1,99, а 0,55<6<0,56?
106.	У якіх межах заключана рознасць а—Ь, калі 0,1<а<0,2, a —0,2<6<0,1?
107.	У якіх межах заключаны здабытак ab, калі:
а) 0,6<а<0,7, 2,3<6<2,4;
в)4<»<т' зі<і<4!
28
§ 14. Строгія і нястрогія няроўнасці
Калі хочуць выразіць, што лік а не менш ліку b (іншымі словамі, а больш або роўна Ь), то выкарыстоўваюць знак ^ і пішуць а^Ь. Напрыклад, й2+1>1, |х|>0 і г. д. Калі трэба запісаць, што лік а не больш ліку b (іншымі словамі, а менш або роўна Ь), то выкарыстоўваюць знак ^ і пішуць а^Ь. Напрыклад, 1^1+а2, —1*|^0 і г. д.
Суадносіны а^Ь і а^Ь гэтак жа, як і суадносіны а>Ь і а<Ь, называюцца няроўнасцямі. Няроўнасці, якія змяшчаюць знак > або знак <, называюцца строгімі, а няроўнасці, якія змяшчаюць знак ^ або знак ^,— нястрогімі. Напрыклад, няроўнасці л<4 і 2л>6 — строгія, а няроўнасці 17^17 і 3^4 — нястрогія.
Усе выведзеныя вышэй уласцівасці строгіх лікавых няроўнасцей (§ 10—13) лёгка распаўсюджваюцца і на нястрогія няроўнасці. Напрыклад, калі а^Ь, то b^Lw, калі а^Ь, то а+с'^Ь+с і г. д.
Практыкаванні
108.	Ці можна пісаць так: 3^3; 5^4; «2+&2>й2; й2+&2^й2?
109.	а) Ці могуць адначасова выконвацца няроўнасці а<.Ь і а>Ь?
б) Ці могуць адначасова выконвацца няроўнасці а^Ь і а^Ь?
110.	Даказаць, што калі^>Ь і c^d, to a—Ob—d.
§15. Некаторыя спосабы доказу няроўнасцей
Даказаць няроўнасць, якая змяшчае некаторыя літары,— гэта значыць паказаць, што ёй задавальняюць любыя дапушчальныя або спецыяльна дадзеныя значэнні гэтых літар.
Існуюць розныя спосабы доказу няроўнасцей. Праілюструем
некаторыя з іх на канкрэтных прыкладах.'
Прыклад 1. Даказаць, што любыя дадатныя лікі задавальняюць няроўнасці
прычым знак роўнасці мае месца тады і толькі тады, калі
1ы спосаб. Разгледзім рознасць
Яе можна прывесці да выгляду:
2У^ =
a + Ь —2 ]f ab
2
“	2
a і b
(1) а — Ь.
29
Але (|/ a — К б)2>0. Таму —V ab>0. А гэта і азначае, што ^~ > ў at>. Знак роўнасці ў формуле (1) мае месца тады і толькі тады, калі / а —/6 = 0, г. зн. пры а — Ь.
2і спосаб. Дапусцім, што дадзеная няроўнасць правільная.
Тады, памножыўшы абедзве яе часткі на 2, атрымаем
a \ b > 2У ab.
Перанясём 2]/ ab у левую частку:
а + b — 2/а6>0.
Нарэшце, перапішам атрыманую няроўнасць у выглядзе (/а/<>0.	(2)
Апошняя няроўнасць, відавочна, правільная для любых дадатных лікаў а і Ь, прычым роўнасць у ёй дасягаецца тады і толькі тады, калі а=Ь. Такім чынам, дадзеную няроўнасць мы звялі да відавочнай няроўнасці. Цяпер, робячы ўсе разважанні ў адваротным парадку, мы дакажам дадзеную няроўнасць.
Для любых дадатных лікаў a і b маем:
(Г а/”й/ >0, або
a — 2 /аі f 6 > 0.
Знак роўнасці пры гэтым мае месца тады і толькі тады, калі а = Ь. Пераносячы —2/оі у правую частку, атрымліваем «+ 6 > 2 / ab, адкуль а ■ > ] ab.
Адразу цяжка было здагадацца, што пры доказе няроўнасці (1) трэба зыходзіць з відавочнай няроўнасці (2). Вось чаму папярэдне нам давялося зрабіць дапушчэнне, што няроўнасць (1) правільная, і атрымаць пры гэтым дапушчэнні няроўнасць (2).
П р ы к л а д 2. Даказаць, што калі здабытак дадатных лікаў х і у роўны 1, то (1]х)(14у)^4.
Д о к а з. Дапускаючы ў толькі што даказанай няроўнасці
a = 1, b = х, атрымаем >Ух, або ІДх >2/х. Аналагічна
паказваецца, што 1 + у > 2 / у. Пачленнае множанне атрыманых няроўнасцей дае:
(1+х)(1+у)>2/х2О.
30
або
(1 + *) (1 + 0) > 4 / ХУАле па ўмове ху = I. Таму
(1+х)(1+{/)>4.
Практыкаванні
Даказаць няроўнасці (№ 111 — 117):
111.	(х+у)2^4ху.
112.	х3+у3^х2у+ху2 (х>0, у>0).
113.	(а+&+с)2^а(&+с—a) \b(a[c—b) fc(a+6—с).
"4^ + 4> —+1 ("X, І»0).
b2 a2 a b
115.
2а
1+а2
116.	а2+і ^2. сг
117.
a+b a	, b
\\a\b	1+°	Ч"^
(а>0, 6>0).
118.	Самалёт ляціць з Масквы ў Кіеў і вяртаецца назад. У якое надвор’е гэты рэйс будзе зроблен хутчэй: у бязветранае або пры ветры, які дзьме з пастаяннай сілай у напрамку Масква  Кіеў?	.
119.	Даказаць, што паўперыметр трохвугольніка больш кожнай з яго старон.
120*. Даказаць няроўнасць
1	3	5	J 99 •	1
Т '7'6 ' 8 ”	' 100	10’
§ 16. Тэарэма аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным
Сярэднім арыфмегычным любьіх п лікаў а\, az, ■■■, ап называецца лік
Qi Ь fla ~Ь ■ ■ ■ 4~ ап п
Сярэднім геаметрычным дадатнмх лікаў а^, az, ..., ап называецца лік.
п — ў аг а2 ... ■ ап.
31
Напрыклад, для лікаў 2 і 8 сярэднім арыфметычным будзе • 2 + 8	.
лік —= 5, а сярэднім геаметрычным — лік у 2 • 8 = 4. Сярэдняе арыфметычнае лікаў 10, 10 і 80 роўна 10+10+80	1
3	3 ’
а сярэдняе геаметрычнае роўна
j/10 • 10 • 80 = уг 8000“= 20.
Для лікаў 5, 5 і 5 сярэднім арыфметычным будзе лік —	=
= 5, а сярэднім геаметрычным — лік / 5 ■ 5 • 5 = 5.
Заўважым, што ва ўсіх трох выпадках сярэдняе арыфметычнае аказалася не менш іх сярэдняга геаметрычнага, прычым роўнымі яны атрымаліся толькі ў трэцім прыкладзе, дзе ўсе лікі, што разглядаюцца, роўны адзін другому. I гэта не выпадкова. Існуе наступная агульная тэарэма.
Тэарэма. Сярэдняе арыфметычнае п дадатных лікаў не менш іх сярэдняга геаметрычнага:
й	г Я! • а2 ■ ... ■ ап.
Знак роўнасці ў гэтай формуле мае месца тады і толькі тады, калі ўсе п лікаў ай а2, ..., ап роўны паміж сабой.
У папярэднім параграфе было паказана, што для любых двух дадатных лікаў a і b справядліва няроўнасць
прычым знак роўнасці мае месца тады і толькі тады, калі а=Ь. Тым самым была даказана тэарэма аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным двух дадатных лікаў. У агульным выпадку доказ гэтай тэарэмы даволі грувасткі і таму тут не прыводзіцца.
Няроўнасць
а\ Ь . “ > У ab,
правільная для любых дадатных лікаў а і Ь, была вядома яшчэ ў старажытныя часы. Рысунак 22 дадзен намі для геаметрычнай інтэрпрэтацыі гэтай няроўнасці. На рысунку
CD = y~AD . DB, С0 = АО = — DB.
32
Абагульненне дадзенай няроўнасці на выпадак адвольнага ліку дадатных лікаў (тэарэма аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным) было зроблена французскім матэматыкам Кашы (1789—1857). 3 імем гэтага выдатнага вучонага звязаны 1 некаторыя іншыя
вывучэнне якіх, аднак, выходзіць за межы нашай праграмы.
Прыклад 1. Даказаць, што для любых лікаў a, b і с, якія маюць аднолькавыя знакі,
4+±+л>3.
о с a
Сапраўды, па тэарэме аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным a , b , с
важныя няроўнасці,
b ' с a 3
b	с
с	a ’
адкуль і вынікае П р ы к л а д 2. ку а справядліва
патрабуемая суадносіна.
Даказаць, што для адвольнага дадатнага ліняроўнасць
99а + 1 > 100'7а^
прычым знак роўнасці мае месца толькі пры а=1.
Ужываючы тэарэму аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным да 100 лікаў: а, а, ..., a, 1, атрымліваем іоо ’
99а + 1	І(>0/й—Г
~100“> ^й
адкуль вынікае патрабуемая суадносіна. Знак роўнасці мае месца толькі ў тым выпадку, калі ўсе 100 лікаў роўны паміж сабой, г. зн. пры а=1.
3 тэарэмы аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным вынікае наступны важны вынік.
Вынік. Калі здабытак п дадатных лікаў роўньі 1, ttto сума іх не менш п. Іншымі словамі, калі дадатныя лікі «і, а2...ап задавальняюць умове
^1’^2' • • • • dn = 1 ,
то
Сапраўды,
лі + ^2 + • • • + Лл > п.
(1)
Й1 + й2 + ■ • • + Яя . »/
>/ ^'«2
«л
адкуль і атрымліваецца няроўнасць (1).
2 Я. С. Качаткоў, К. С. Качаткова
33
На практыцы суадносіна (1) асабліва часта выкарыстоўваедца пры « = 2. Сума двух узаемна адваротных дадатных лікаў не менш 2:
а + А>2 0>О).
Практыяаванні
Даказаць няроўнасці (№ 121 — 129):
121.	(а + Ь) (7 + 7^ >4 («>0, і>0).
122.	/Т^+аЖ+І) < ~у (« + ^) + ў (“ + W (а > ° Ь> °> а>0, ^>0).
л+і	a bn
123.	у abn <—
124.	2а2 Д, + + с2 > 2а (Ь + с).
125.	(a + b)(b + с) (с + а)> 8abc (а > 0, 6 > 0, с > 0).
126.	/06	(а>0, 6>0).
127.	a + b + с > V ab + Ў Ьс + У ас (a > Q, Ь>0, с > 0).
128.	a2 + b2 + c2>ab + be + ас.
129.	(а +1)0+ 1) (а + с) 0 + с) > \8abc (а>0, 6>0, с>0).
130.	Даказаць, што калі сума дадатных лікаў a і b роўна 1, то:
а) а2 + Ь >	б) °4 +
131.	Якое найменшае значэнне можа прыняць сума а^^Ь2, калі а\Ь = 2, прычым лікі a і b дадатныя?
132*. Даказаць, што пры любым натуральным значэнні п
/	1 V+1 /	1 V .
(' + ^) >V + ^J •
§ 17.	Тэарэма аб пастаянкай суме і пастаянным здабытку
3 тэарэмы аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным вынікаюць дзве важныя тэарэмы, якія вельмі часта выкарыстоўваюцца пры рашэнні практычных задач.
Тэарэма аб пастаяннайсуме. Калі сума дзвюх даоатных велічынь пастаянная, то іх здабытак будзе найбольшым тады і толькі тады, калі гзтыя велічыні прымаюць розныя значэнні.
34
Напрыклад, калі сума дзвюх дадатных велічынь a і b роўна 10, то магчымы выпадкі: а = 1, 6 = 9; а=2, 6 = 8; а=3,5, 6 = 6,5; а = 4,1, 6 = 5,9; а = 5, 6=5 і г. д. Гэтым выпадкам адпавядаюць наступныя значэнні здабытку ab: 9; 16; 22,75; 24,19; 25. Найбольшы здабытак (25) будзе пры а = 6=5.
Д о к а з тэарэмы. Няхай сума дзвюх дадатных велічынь a і b роўна с. Тады па тэарэме аб сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным атрымліваем:
.a + 6	,— с
V ab < —g—■ a$0 г йб <
Пры гэтым, калі a = Ь, то Y ab = |; калі ж a ^ 6, to Y аЬ < ^. Значыць, Y ab будзе найбольшым пры a = Ь. Але тады, відавочна, і падкарэнны выраз будзе найбольшым пры a — Ь.
3 а д а ч а. Які найбольшы па плошчы ' прамавугольны ўчастак можна абгарадзіць плотам даўжынёй I?
Р а ш э н н е. Няхай даўжыня ўчастка роўна х, а шырыня у. Тады плошча яго будзе роўна ху. Па ўмове задачы 2х]2у=1, або х\у = 2 Паколькі сума х\у пастаянная, то здабытак ху будзе найбольшым пры х=у. Значыць, калі мы жадаем плотам даўжынёй I абгарадзіць найбольшы па плошчы прамавугольны ўчастак, то павінны абгароджваць участак, які мас /	/2
<1 2 3 456 7 8 9 10 11...89 90 >