КНІГІ ОНЛАЙН

Алгебра і элементарныя функцыі

Выдавец: Народная асвета

Памер: 659с.

Мінск 1967

395.43 МБ

форму квадрата. Старана такога квадрата роўна —, а плошча
Тэарэма аб пастаянным здабытку, Калі здабытак дзвюх дадатных велічынь пастаянны, то іх сума будзе найменшай тады і толькі тады, калі гэтыя велічыні прымуць роўныя значэнні.
Напрыклад, калі здабытак дзвюх дадатных велічынь a і b роўны 16, 16
то магчымы выпадкі: а=1, 6=16; а=2, 6=8; а=4, 6=4; a=5, b= g і г. д. о 1
Гэтым выпадкам адпавядаюць сумы а+6; 17; 10; 8; 8 g і г. д. Найменшая сума (8) будзе пры а=6=4.
Доказ гэтай тэарэмы аналагічны доказу тэарэмы аб пастаяннай суме. Прапануем вучням правесці яго самастойна.
3 а д а ч а. Якую найменшую даўжыню павінен мець плот, каб ім можна было абгарадзіць прамавугольны ўчастак, плойіча якога роўна S?
Рашэнне. Няхай даўжыня прамавугольнага ўчастка роўна х, а шырыпя у. Тады даўжыня плоту будзе роўна 2 (х + у) Плошча ўчастка роўна ху = S. Паколькі здабытак ху пастаянны, то сума х у будзе найменшай пры х = у— = /S. Значынь, найменшая даўжыня плоту роўна 2(pS + /S) = 4/S.
Практыкаванні
133.	Пры якіх дадатных значэннях a дадзеныя выддзы прымаюць найбольшыя лікавыя значэнні:	Х^	v^Y
а) ^(8	a); б) (1 + ^) (3 — 2a); в)* а Y 10 — a2?
134.	Пры якіх дадатных значэннях а дадзеныя выразы прымаюць найменшыя лікавыя значэнні:
1	,	8 a2 42
в)
135.	У круг радыупГ Р упісаць прамавугольнік найбольшай плошчы.
136.	3 круглай бэлькі дадзенага дыяметра d трэба выразаць бэльку прамавугольнага папярочнага сячэння так, каб колькасць адходаў была найменшай. Знайсці плошчу гэтага сячэння.
137.	Акно мае форму прамавугольніка. Якая павінна быць даужыня і шырыня гэтага акна, каб яно пры дадзеным перыметры р прапускала найбольшую колькасць святла?
Указанне. Колькасць прапускаемага святла тым большая, чым большая плошча акна.
138.	Рашыць ураўненні:
а)х+у = 2; б)х + —=1,5; в)х + —= —2.
139*. Адна брыгада павялічвала прадукцыйнасць працы штомесячна на 2%. Другая брыгада на працягу першага паўгоддзя павялічвала прадукцыйнасць працы штомесячна на 1%, а на працягу другога паўгоддзя штомесячна на 3%. Якая з гэтых брыгад дабілася большага павелічэння прадукцыйнасці працы за год?
§ 18.	Набліжаныя значэнні ліку. Уласцівасць абсалютнай велічыні сумы
На практыцы мы амаль ніколі не ведаем дакладньіх значэнняў велічынь. Ніякія вагі, якімі б дакладнымі яны ні былі, не паказваюць вагу абсалютна дакладна; любы тэрмометр паказвае тэмпературу з той ці іншай памылкай; ніякі амперметр не можа даць дакладных паказанняў току і г. д. К таму ж наша вока не можа абсалютна правільна прачытаць паказанні вымяральных прылад. Таму, замест таго каб мець справу з сапраўднымі значэннямі велічынь, мы вымушаны аперыраваць з іх набліжанымі значэннямі.
Той факт, шю а' ёсць набліжанае значэнне ліку а, запісваецца наступным чынам:
a « а':
Калі а' ёсць набліжанае значэнне велічыні а, то рознасць д=а—а' называецца пагрэшнасцю набліжэння*. Напрыклад, калі лік 3,756 замяніць яго набліжаным значэннем 3,7, то пагрэшнасць будзе роўна Д = 3,7563,7 = 0,056. Калі ў якасці набліжанага значэння ўзяць 3,8, то пагрэшнасць будзе роўна Д = 3,7563,8 = —0,044.
На практыцы часцей за ўсё карыстаюцца не пагрэшнасцю набліжэння Д, а абсалютнай велічынёй гэтай пагрэшнасці |Д|. У далейшым гэту абсалютную велічыню пагрэшнасці мы будзем называць проста абсалютнай пагрэшнасцю. Лічаць, што адно набліжэнне лепшае за другое, калі абсалютная пагрэшнасць першага набліжэння меншая за абсалютную пагрэшнасць другога набліжэння. Напрыклад, набліжэнне 3,8 для ліку 3,/56
* A — грэчаская літара; чытаецца: дэльта.
На насгупнай старовцы сустрэнецца яшчэ адна грэчаская літара е (чытаецца: эпсілон).
36
лепш, чым набліжэнне 3,7, паколькі для першага набліжэння |Д| — | —0,0441 =0,044, а для другога |Д| = |0,056| =0,056.
Лік а' называецца набліжаным значэннем ліку а з дакладнасцю да е, калі абсалютная пагрэшнасць гэтага набліжэння
меншая, чым е:
\а—а'\ <е.
Напрыклад, 3,6 ёсць набліжанае значэнне ліку 3,671 з дакладнасцю да 0,1, паколькі 13,671—3,6| = |0,0711 =0,071 <0,1.
Аналагічна 8 ку 5 3
3
— — можна разглядаць як набліжанае значэнне лі
2	1
дакладнасцю да —, паколькі
Калі а'<а, то а' называецца набліжаным значэннем ліку a з недахопам. Калі ж а'^а, то а' называецца набліжаным значэннем ліку а з лішкам. Напрыклад, 3,6 ёсць набліжанае зна3 чэнне ліку 3,671 з недахопам, паколькі 3,6<3,671, a= ёсць 8	.	.38
набліжанае значэнне ліку —= з лішкам, паколькі —^~>—<■
Калі мы замест лікаў a і b складзём іх набліжаныя значэнні а' і Ь', то рэзультат а'+b' будзе набліжаным значэннем сумы а+&. Узнікае пытанне: як ацаніць дакладнасць гэтага рэзультату, калі вядома дакладнасць набліжэння кожнага складаемага? Рашэнне гэтай і падобных ёй задач заснавана на наступнай уласцівасці абсалютнай велічыні: (
|а + & |< |а| + |&|.
Абсалютная велічыня сумы любых двух ліісаў нг пераўзыходзіць сумы іх абсалютных велічынь.
Д о к а з. Калі лікі a і Ь дадатныя, то і сума іх дадатная. У гэтым выпадку |а|=а, \b\=b, \a+b\=a+b і, значыць, |а+6| = |а|+ |&|. Калі лікі a і b адмоўныя, то і сума іх адмоўная. У гэтым выпадку |a| = a, \b\=—b, |а+&|=(а+і); таму |а+&| таксама раўняецца |а| + |&|.
Няхай, нарэшце, адзін з лікаў a і b дадатны, а другі адмоўны. Тады калі \а\>\Ь\, то \а + Ь \ = \ а\ — \Ь\; калі ж |а| < | 6 |, то | a + 6 | = | & | — |« |. У любым з гэтых выпадкаў рознасць двух дадатных лікаў | a | і j & | будзе меншай за іх суму. Такім чынам, калі адзін з лікаў a і b дадатны, а другі адмоўны, то
Н+^ I < I a | +1 b I •
Засталося разгледзець толькі выпадак, калі адзін з лікаў a і Ь, а можа быць і абодва, роўны нулю. Вучні без асаблівай цяжКасці могуць зрабіць гэта самастойна.
37
Прыклад. 11— 201 ^ 111 +1 — 201.
Сапраўды,
|l20| = |19|==19, |l| + |201 = l+20=21, 19^21,
Практыкаванні
140.	3 якой дакладнасцю можна вымяраць даўжыні пры дапамозе звычайнай лінейкі?
141.	3 якой дакладнасцю паказвае час гадзіннік?
142.	Ці ведаеце вы, з якой дакладнасцю можна вымяраць вагу цела на сучасных электрычных вагах?
143.	а) У якіх межах заключаны лік а, калі яго набліжанае значэнне з дакладнасцю да 0,01 роўна 0,99?
б)	У якіх межах заключаны лік а, калі яго набліжанае значэнне з недахопам з дакладнасцю да 0,01 роўна 0,99?
в)	У якіх межах заключаны лік а, калі яго набліжанае значэнне з лішкам з дакладнасцю да 0,01 роўна 0,99?
144.	Якое набліжэнне ліку ««3,14 лепш: 3,1 або 3,2?
145.	Ці можна набліжанае значэнне некаторага ліку з дакладнасцю да 0,01 лічыць набліжаным значэннем таго ж ліку з дакладнасцю да 0,1? А наадварот?
146.	У якім выпадку абсалютная велічыня сумы двух лікаў:
а)	меншая за суму абсалютных велічынь гэтых лікаў;
б)	роўна суме абсалютных велічынь гэтых лікаў?
147.	Даказаць няроўнасці:
а) |а—6|	|а|+ |6|;
б)* |а6|>||а||6||.
Калі ў гэтых формулах мае месца знак роўнасці?
§ 19. Набліжанае складанне і множанне на лік
Няхай а' ёсць набліжанае значэнне ліку а з дакладнасцю да еі, a b' — набліжанае значэнне ліку b з дакладнасцю да е2. Тады сума а'Ц6' будзе набліжаным значэннем ліку а}Ь. Якая ж дакладнасць такога набліжэння? Каб высветліць гэта пытанне, выкарыстаем уласцівасць абсалютнай велічыні сумы. Маем:
I (а+b) — (а'+Ь') | = | (а—а') + (6 —б') |
sC |о—а'| + 16—6'|.
Па ўмове
|а—а'|<еі, a |6—6'|<е2.
Значыць,
I (й+6) — (аДб') | <еі+б2.
Але ў такім выпадку можна сказаць, што а\~Ька'\Ь' з дакладнасцю да еі+ег. Такім чынам, мы даказалі тэарэму:
38
Тэарэма 1. Калі а^а' з дакладнасцю da е1( a b^b' з даісладнасцю да г2> tno a^b^.a \ b' з дакладнасцю да Bj 4 ®з*
П р ы к л а д ы. 1) 3 якой дакладнасцю можна знайсці суму двух лікаў, калі адзін з іх вядомы з дакладнасцю да 0,1, а другі — з дакладнасцю да 0,2?
Тэарэма 1 у дадзеным выпадку гарантуе дакладнасць 0,140,2=0,3.
2)	Суму |/ 10 4 / 12 трэба знайсці з дакладнасцю да 0,1. Будзем здабываць корані з 10 і 12 па вядомаму алгарытму:
/10 = 3,16...	/12 = 3,46...
9	9
§1 1	100	64 61	4	300 256
626 6	3900	686 3756	6	4400 4116
144	284
Двух дзесятковых знакаў зусім дастаткова. У гэтым выладку ксжнае са складаемых мы знаходзім з дакладнасцю да 0,01. Таму па тэарэме 1 сума /10 4/72^ 3,16 43,46 = 6,62 будзе знойдзена з дакладнасцю да 0,01 40,01 =0,02 <0,1. Згодна з патрабаваннем задачы канчаткова запішам: |/ 104/12 ^ 6,6. Абмежавацца пры здабыванні кораняў толькі адным дзесятковым зпакам было б нядобра. У гэтым выпадку мы знайшлі б набліжаныя значэнні складаемых з дакладнасцю да 0,1. Але тады ў нас не было б упэўненасці ў тым, што сума |/І04 / 12^3,1 443,4 = 6,5 будзе знойдзена з дакладнасцю да 0,1. Тэарэма ж 1 гарантавала б толькі дакладнасць 0,1 40,1 =0,2, якая нас не задавальняе.
Тэарэма 2. Калі а' — набліжанае значэнне ліку a з дакладнасцю да г, mo ka' ёсць набліжанае значэнне ліку ka з дакладнасцю да | £ ] е.
Йапрыклад, з дакладнасцю да 0,1 /10^3,1. Таму 5/10^ ~5 • 3,1 = 15,5 з дакладнасцю да 5 • 0,1 = 0,5. Аналагічна — 7 /10 ^ — 7.3,1 = — 21,7 з дакладнасцю да I — 7 I • 0,1 = = 70,1 =0,7.
Доказ тэарэмы 2. Калі а' ёсць набліжанае значэнне a з дакладнасцю да е, то |аа'|<е. Таму
\ka — to'| —\k(a — а')I = | / • |a — а'| < | £| ■ е, што 1 трэба было даказаць.
У заключэнне разгледзім наступны прыклад. Няхай з дакладнасцю да 0,1 я«а' = 2,7; 6«&'=3,6. Трэба знайсці набліжа
39
нае значэнне выразу 5а—36 і вызначыць дакладнасць гэтага набліжэння.
Маем:
5а—36 «5а'—36'=52,7—33,6=13,5—10,8 = 2,7.
Дакладнасць гэгага рэзультату можна ацаніць, выкарыстоўваючы ўласцівасць абсалютнай велічыні сумы:
| (5а—36) — (5+—36') | = | (5а—5а') —  (3636') | < 15а5а'| +13636'| = = |5(а—а') | + |3(6—6') | =5|а—а'| + +3|66'| <50,1+30,1=0,8.
Такім чынам, 5а—36 «2,7 з дакладнасцю да 0,8.
Практыкаванні
148.	На лікавай прамой зададзена становішча пункта, які адпавядае ліку а. Указаць на гэтай прамой:
а)	становішча ўсіх пунктаў, якія адпавядаюць набліжаным значэнням ліку а з недахопам з дакладнасцю да 0,1;
б)	становішча ўсіх пунктаў, якія адпавядаюць набліжаным значэнням ліку а з лішкам з дакладнасцю да 0,1;
в)	становішча ўсіх пунктаў, якія адпавядаюць набліжаным значэнням ліку а з дакладнасцю да 0,1.
149.	Вылічыць з дакладнасцю да 0,1:
а)	+"2 + /17;	в) 5 /~3;
. 2	a 367	1
б)	/12+ 7,	г) 546	75.