Алгебра і элементарныя функцыі
Выдавец: Народная асвета
Памер: 659с.
Мінск 1967
Разгледзім некалькі прыкладаў на даследаванне знакаў кораняў квадратных ураўненняў.
1) х2—8х—9=0. Дыскрымінант гэтага ўраўнення роўны D = 64+36= 100>0, таму ўраўненне мае два розныя сапраўдныя корані. У выніку таго што Хіх2=—9, корані павінны мець розныя знакі, а паколькі Хі4х2=8, то абсалютная велічыня адмоўнага кораня менш дадатнага кораня.
2) х2+7х+10 = 0. Дыскрымінант гэтага ўраўнення роўны D = 49—40=9>0, таму ўраўненне мае два розныя сапраўдныя корані. Паколькі хгх2=10>0, то корані маюць аднолькавыя знакі. Акрамя таго, Хі+х2=—7, значыць, абодва корані адмоўныя.
3) х2—х+1=0. Для дадзенага ўраўнення D=(—I)2—4 = = —3<0. Значыць, гэта ўраўненне не мае сапраўдных кораняў.
Атрыманыя вышэй рэзультаты адносяцца толькі да прыведзеных квадратных ураўненняў. Але падобныя даследаванні можна правесці і для любых квадратных ураўненняў ах2|6х+ 4с=0. Для гэтага спачатку трэба пры дапамозе дзялення на a прывесці дадзенае ўраўненне да прыведзенага квадратнага ўраў
127
b c
нення x2+ “ %+ — =0, a затым для гэтага ўраўнення правесці
апісаныя вышэй разважанні.
Няхай, напрыклад, трэба даследаваць знакі кораняў ураўнення —Зх245х—2=0. Дыскрымінант гэтага ўраўнення роўны Д=25—24= 1 >0, таму яно мае два розныя сапраўдныя корані.
Падзяліўшы абедзве часткі ўраўнення на —3, атрымаем
5 2
х2х4у=0. Адсюль відаць, што корані дадзенага ўраў3 3 2
нення маюць аднолькавыя знакі, паколькі XfX2=x>0. Акрамя 5
таго, Хі+хг= >0. Значыць, абодва корані дадатныя.
Практыкаванні ’
He рашаючы дадзеных ураўненняў (№ 391—400), даследаваць знакі іх кораняў:
391. х2—4х+3=0. 396. 6х2—х—1 =0.
392. х2—6х+5=0. 397. —20х2—3x42=0.
393. х2—х—42 = 0. 398. х26х410=0.
394. х2—х—6=0. 399. Зх2 417=0.
395. х2+хф1 =0. 400. —5х24х—7=0.
401. Пры якіх значэннях fl корані ўраўнення х2+ (1—а)х—а=0
маюць аднолькавыя знакі і пры якіх — розныя?
402. Пры якіх значэннях а корані ўраўнення х2+ (a+6)x+ (2а— 1) (7а) =0 маюць аднолькавыя знакі і пры якіх — розныя?
§ 54.Раскладанне квадратнага трохчлена на лінейныя множнікі
У гэтым параграфе мы разгледзім наступнае пытанне: у якім выпадку квадратны трохчлен ах2\Ьх\с можна даць у выглядзе здабытку
(йіХф&і) (Аг^+^г)
двух лінейных адносна х множнікаў з сапраўднымі каэфіцыентамі «і, &і, fl2, bi (fliAO, аг=#0)?
1. Дапусцім, што дадзены квадратны трохчлен ах24~6х+с можа быць запісаны ў выглядзе
ax2+6x+c= (аіх+&і) (агх+бгЬ (0
128
авая частка формулы (1) ператвараецца ў нуль пры х = ——
ь 01
1 х= (йі і а2 па ўмове не роўны нулю). Але ў такім выпадку
лікі• і — — з яўляюцца коранямі ураўнення
ах2ф6х~|с=0.
Значыць, дыскрымінант квадратнага трохчлена павінен быць адмоўным.
2. Наадварот, дапусцім, што дыскрымінант D—b2—4ас квадратнага трохчлена ах2\~Ьх\с неадмоўны. Тады гэты трохчлен мае сапраўдныя корані Хі і х2. Скарыстаўшы тэарэму Віета, атрымаем
/ с \
ax2 + bx + с = a I х2 + — х + — I = a [х2 — (хх + х2) х + вд) =<
= а =
= а (х — х^ (х — х2).
Такім чынам, ах2{Ьх\с=а(х—Хі)(х—х2), (2)
дзе Хі і х2 — корані трохчлена ах2\Ьх\с. Каэфіцыент а можна ўнесці пад знак любога з двух лінейных множнікаў, напрыклад, a(х—xj) (х—х2) = (ах—ахі) (х—х2).
Але гэта азначае, што ў разглядаемым выпадку квадратны трохчлен ах2\Ьх\с можна даць у выглядзе здабытку двух лінейных множнікаў з сапраўднымі каэфіцыентамі.
Аб’ядноўваючы рэзультаты, атрыманыя ў пунктах 1 і 2, мы прыходзім да наступнай тэарэмы.
Тэарэма. Квадратны трохчлен ax2 + Ьх + с тады і толькі тады можна даць у выглядзе здабытку дзух лінейных множнікаў з сапраўднымі каэфіцыентамі
ax + bx + с — (а^ + &х) (а2х + Ь^, калі дыскрымінант гэтага квадратнага трохчлена неадмоўны (гэта значыць, калі гэты трохчлен мае сапраўдныя корані).
Прыклад 1. Раскласці на лінейныя множнікі 6х2—х—1.
. „1.1
Корані гэтага квадратнага трохчлена роуны Хі = — і х2=—.
Таму па формуле (2)
Прыклад 2. Раскласці на лінейныя множнікі х2фх+1.
Дыскрымінант гэтага квадратнага трохчлена адмоўныі £=12—4. Ь1 = — 3<0.
Таму дадзены квадратны трохчлен на лінейныя множнікі з сапраўднымі каэфіцыентамі не раскладваецца.
Практыкаванні
Раскласці на лінейныя множнікі наступныя выразы (№ 403— 406):
403. 6х2—7х+2. 405. х2—х+1.
404. 2х2—7ах+6а2. 406. х2—Зах+2я2—аб—Я
Скараціць дробы (№ 407, 408): і^ш+ь» іг^—і
VWbzP ' За!+5а2
Рашыць ураўненні: х _ 8 І£_ х—10 х—6_______________________х216х'+60
х 1 1
41 о —■—.
54(х—1) (а+1)(а+х) х2+(а—1)х—a
§ 55. Састаўпенне квадратнгга ўраўнення па зададзеных коранях
Дапусцім, што нам трэба саставіць квадратнае ўраўненне, коранямі якога былі б лікі Хі і х2. Відавочна, што ў якасці шукаемага ўраўнення можна выбраць ураўненне
a (х—Хі) (х—х2) — 0, (1)
дзе a — любы адрозны ад нуля сапраўдны лік. 3 другога боку, як было паказана ў § 51, кожнае квадратнае ўраўненне з коранямі Хі і х2 можна запісаць у выглядзе (1).
Такім чынам, формула (1) поўнасцю рашае пастаўленую вышэй задачу. 3 усіх квадратных ураўненняў корані Хі і х2 маюць ураўненні выгляду (1) і толькі яны.
Прыклад. Саставіць квадратнае ўраўненне, корані якога роўны 1 і —2.
А д к а з. Корані 1 і —2 маюць усе квадратныя ўраўненні выгляду
я(х1)(х+2)=0,
130
або ах2+м_2а=0, дзе a — любы адрозны ад нуля сапраўдны лік, Напрыклад, пры а=1 атрымліваецца ўраўненне
х2+х—2 = 0,
Практыкаванні
411. Саставіць квадратнае ўраўненне, коранямі якога былі б лікі:
а) 2 і — 3; б) — 1 і — 5; в) і 4; г)д 1
412—Саставіць квадратнае ўраўненне з цэлымі каэфіцыентамІ так, каб яго корані былі роўныя:
413. Саставіць квадратнае ўраўненне з цэлымі каэфіцыен5 1
тамі, корані якога роўны — іу, а сума ўсіх каэфіцыентаў роўна Зо.
414. Ці могуць коранямі квадратнага ўраўнення з натураль. 6 . 1 .
нымі каэфіцыентамі быЦь лікі і — у г
415. Саставіць квадратнае ўраўненне з цэлымі каэфіцыентамі, калі вядома, што адзін з кораняў роўньц
а) 2 + /'З; б) 3 — /1.
§ 56. Біквадратныя ўраўненні
Біквадратным.і называюцца ўраўненні выгляду ax4\bx2\c=0, (1)
дзе a, b і с — зададзеныя лікі, прычым а=йО.
Рашэнне такіх ураўненняў зводзіцца да рашэння квадратных ураўненняў. Сапраўды, дапускаючы ў (1) у=х2, атрымліваем ау2+Ьу+с=0.
Знайшоўшы з гэтага ўраўнення у і ўлічваючы, што у—х2, лёгка атрымаць х.
П р ы к л а д. Рашыць ураўненне х4—5х2—36=0.
Дапускаючы у=х2, атрымліваем у2—5у—36 = 0,
131
6*
адкуль уі =—4, 1/2=9. Паколькі у можа прымаць толькі неадмоўныя значэнні (бо у=х2), першы з гэтых кораняў з’яўляецца «пабочным». Значыць, х2=9, адкуль Хі =—3, х2=3.
Падобным спосабам можна рашаць і больш шырокі круг ураўненняў, a іменна ўраўненні выгляду
ах2П + Ьхп + с = 0, дзе п—любы натуральны лік. Дапускаючы тут
У = хп, мы прыходзім да квадратнага ўраўнення ау2 + by + с — 0. П р ы к л а д. Рашыць ураўненне
хв _ 7хз _ 8 = о.
Дапускаючы у = х3, атрымліваем
3 яна ідзе (і прытым даволі крута) усё вышэй і вышэй.
Гэта парабала мае наступныя асноўныя ўласцівасці:
1) Парабала у=х2 цалкам ляжыць у верхняй паўплоскасці. Гэта адпавядае таму, што функцыя у=х2 прымае толькі неадмоўныя значэнні. У пачатку каардынат парабала датыкаецца да восі абсцыс. Гэта самы нізкі пункт графіка; ён называецца вяршыняй парабалы.
132
2) Парабала сіметрычна адносна восі ардынат. Калі перагнуць рысунак 64 па восі у, то левая і правая часткі парабалы сумесцяцца. Гэта служыць графічнай ілюстрацыяй таго, што функцыя у=х2 не мяняе сваіх значэнняў пры змяненні знака ў аргумента:
(—х)2=х2,
Такія функцыі называюцца цотнымі;
2. Графік функцыі ў = ах2. Графік функцыі у=ах2, гэтак жа як і графік функцыі у = х2, лёгка будуецца
«па пунктах».
Спачатку разгледзім выпадак, калі а>0. На рысунку 65 дадзены графікі функцый у=ах2 пры а=ў; 1; 2. Ва ўсіх гэтых
выпадках
сіметрычныя адносна восі
атрымліваюцца крывыя.
ардынат і размешчаныя цалкам у верхняй паўплоскасці. Кожная з гэтых крывых накіравана ўверх. Гэтыя крывыя, таксама як і крывая у=х2, называюцца парабаламі. Пачатак каардынат з’яўляецца іх агульнай вяршыняй, а вось ардынат — іх агульнай воссю сіметрыі. 3 рысунка 65 відаць, што чым больш а, тым больш крутыя галіны парабалы у—ах2; чым менш а, тым яны больш пакатыя.
Цяпер разгледзім выпадак, калі а<0. На рысунку 66 дадзены крывыя у=ах2 пры а=; —1; —2. Гэтыя накіраваныя ўніз крывыя таксама называюцца парабаламі, Агульная вяршы
133
ня — пачатак каардынат — з’яўляецца іх найвышэйшым пунктам. Вось ардынат для кожнай з гэтых крывых служыць воссю сіметрыі. Чым большая абсалютная велічыня а, тым больш крутыя галіны парабалы; чым яна меншая, тым больш пакатыя галіны парабалы.
3. Графік функцыі у = а(х^)2. Параўнаем паміж сабой дзве функцыі у1 = а(х— р)а і у2 = ах2, дзе ₽>0. Няхай Мг— адвольны пункт графіка першай функцыі (рыс. 67). Тады яго каардынаты (х0, у0) звязаны суадносінай
Уо = “ (*о — Ю2
Але гэта суадносіна паказвае, што пункт Ж з каардынатамі (х0 — ₽, у0) павіяен належаць графіку другой функцыі. Значыць, кожны пункт крывой у = а(х — 8)2 атрымліваецца з адпаведнага пункта крывой у = а х2 (гл. рыс. 67) пры дапамозе пераносу (або зрушэння) управа па напрамку восі х на адлегласць р. Таму і ўся крывая у = а(х — ^у атрымліваецца пры дапамозе пераносу крывой у=ах2 управа на р.
Напрыклад, крывая у = 2(х—I)2 атрымліваецца з крывой у=2х2, калі апошнюю зрушыць на 1 управа (рыс. 68); крывая у—— 0,5(х—З)2 атрымліваецца зрушэннем крывой у = —0,5х2 управа на 3 адзінкі (рыс. 69).
У1
Рыс 69.
Вяршыняй парабалы у=ах2 з’яўляецца пункт з каардынатамі (0, 0), а воссю сіметрыі — прамая х=0. Пры зрушэнні ўправа па напрамку восі х на адлегласць р пункт з каардынатамі (0, 0) пераходзіць у пункт з каардынатамі (р, 0), а прамая 134
КНІГІ ОНЛАЙН
